河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2024-2025学年高一下期期末测试数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高一下期期末测试 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A D C C B C B AB BD BCD 12． 13．37 14. 15．(1) (2)． 【分析】（1）写出样本空间，设出事件，列举出满足要求的样本点，得到答案； （2）在（1）基础上，事件“为整数”，得到事件共有3个样本点，得到答案. 【详解】（1）样本空间可记为 ，共包含20个样本点． 设事件“为偶数”，， 包含8个样本点，则． （2）由（1）得样本空间共包含20个样本点， 设事件“为整数”， 因为，，， 所以，包含3个样本点， 则． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理和正弦定理即可求出A的大小； （2）运用正弦定理和二倍角的余弦公式化简，再利用基本不等式求解的最小值. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 即， 由正弦定理可得， 所以 ， 又因为A不为直角，且，则， 则，所以. （2）由（1）可知：由 ，可得，， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 17．(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3) 【分析】（1）先利用三角形的中位线得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先证明，，再由线面垂直的判定定理证明平面，再用面面垂直的判定定理证明即可； （3）由（2）可知平面，先找到在平面内的射影，再根据线面角的定义，得到即为与平面所成的角，在中求解即可. 【详解】（1） 设，连接， 在三棱柱中， 底面，且为正三角形， 三棱柱为正三棱柱，侧面为正方形， 为的中点，又为的中点，在中有， 平面，平面，平面； （2）连接， 底面，平面， ， 又为正三角形，为的中点，， 又，又平面，平面， 平面，又平面，平面平面； （3）由（2）可知平面，即为在平面内的射影， 即为与平面所成的角， 三棱柱为正三棱柱，且， ，， . 18．(1)76分 (2) (3)平均数，方差21 【分析】（1）先根据“第 1 组的频数的平方为第 2 组和第 4 组频数的积”，得“第 1 组的频率的平方为第 2 组和第 4 组频率的积”求，，求该组数据的第70百分位数即可. （2）根据古典概型求概率. （3）根据平均数与方程的概念求新数据的平均数与方程. 【详解】（1）由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知， 第1组的频率的平方为第2组和第4组频率的积， 所以，解得 ， 又 ，解得， 所以， 成绩落在 内的频率为：，落在内的频率为： ， 设第70百分位数为，则，解得 ， 所以晋级分数线划76较为合理. （2）由图可知， 按分层抽样法， 两层应分别抽取 4 人和 2人， 分别记为 和 ， 则所有的抽样有： ， 共 15 个样本点， "抽到的两位同学来自不同小组"，则 ， 共 8 个样本点， 所以 ． （3）因为 ， 所以， 所以 ， 所以 ， 剔除其中的 和 86两个分数， 设剩余 8 个数为 ，，平均数与标准差分别为 ，则剩余 8 个分数的平均数： 方差：. 19. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2024-2025学年高一下期期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，集合，那么（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，若与共线，则实数的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 3．已知直线平面，点，那么过点且垂直于直线的直线（    ） A．只有一条，不在平面内 B．有无数条，一定在内 C．只有一条，且在平面内 D．有无数条，不一定在内 4．下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（   ） A． B． C． D． 5．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（    ） A．与为互斥事件 B． C．与为相互独立事件 D．与互为对立事件 6．记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（    ） 1 学科网（北京）股份有限公司 A．充要条件 C．充分不必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知实数，则（      ） A． B． C． D． 8．已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．对于向量，，，实数t，下列判断不正确的是（   ） A．若，，则 B．若，且，则 C．若，且，则的充要条件是 D．若，且，则对任意实数t，都有 10．已知非零复数，，其中为纯虚数，则（    ） A．若，则为纯虚数 B．若与互为共轭复数，则 C．若，且为纯虚数，则 D．若，则的虚部为0 11．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，且平面，过三点作正方体截面，则（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．动点的轨迹是一条线段 C．三棱锥的体积是定值 D．若为上一点，则线段长度的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．计算 ． 13．现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时 分钟． 14．已知正三棱锥的外接球是球O，正三棱锥底边，侧棱，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）从2，3，4，8，9中任取两个不同的数，分别记为a，b． (1)求为偶数的概率； (2)求为整数的概率． 16．（15分）在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且A不为直角. (1)若，求A的大小； (2)求的最小值. 17．（15分）如图，在三棱柱 中，底面，且为正三角形，，为的中点. (1)求证: 直线平面 (2)求证：平面 平面 (3)求与平面所成的角的正切值. 18．（17分）某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩 作为样本进行统计． 将成绩进行整理后，分为五组 ， ，，， ，其中第一组的频数的平方为第二组和第四组频数的乘积.请根据下面的频率分布直方图，解决以下问题． (1)若根据这次成绩，学校准备淘汰 70% 的同学，仅保留 30% 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？(四舍五入精确到 1 分) (2)从样本数据在 两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取 6 名同学，再从这 6 名同学中随机选出 2 人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了 10 名同学的分数： ，已知这 10 个分数的平均数 ． 方差 ，若剔除其中的最高分 98 和最低分 86，求剩余 8 个分数的平均数与方差． 19.（17分）已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值. $$