精品解析：山东青岛市即墨区2025-2026学年第二学期教学质量检测高二数学试题

2025—2026学年度第二学期教学质量检测 高二数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，B正确. 2. 下列函数是减函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次求出4个函数的单调性即可. 【详解】对于A，为减函数，正确； 对于B，，为增函数； 对于C，开口向下，在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于D，为增函数，D错误. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先分别化简 “”和“”，进而得到二者间的逻辑关系. 【详解】由，可得；由，可得； 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 某校高一学生报名参加个社团，每位同学从中随机参加一个社团，则甲、乙两位同学参加不同社团的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算总情况数，结合古典概型概率公式和对立事件概率和为求解. 【详解】由题知甲有6种选法，乙也有6种选法，总共有 种情况. 甲、乙参加同一个社团的情况共6种，因此同社团的概率为 ； “参加不同社团”是“参加同社团”的对立事件， 因此所求概率为：. 5. 函数是奇函数，且在上单调递减，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性与单调性分析即可. 【详解】因为函数是上的奇函数，所以且， 由，且定义域为关于原点对称， 所以函数是上的偶函数，即 又在上单调递减，当时，， 设，则， 因为，所以即， 所以， 即对，有，所以当时，函数在上单调递减， 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，由题意，因为， 所以，故B正确； 对于C，由，因为， 所以，故C错误； 对于D，由题意，因为， 所以，故D错误. 6. 从0，1，3，5，7中任取2个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_______个没有重复数字的四位数？（ ） A. 72 B. 108 C. 540 D. 648 【答案】D 【解析】 【分析】分从0，1，3，5，7 中取出的2个数字含 0、不含 0两种情况讨论，再分别搭配从 2，4，6中取出的2个数，最后组成无重复四位数. 【详解】从 2，4，6中取出的2个数一共种， 情况一：四位数不含0，从0，1，3，5，7 中取出的2个数字不含0一共种， 组成无重复四位数有种； 情况二：四位数含0，从0，1，3，5，7 中取出的2个数字含0一共种， 0不能在首位一共种， 则组成无重复四位数有种； 所以组成无重复四位数一共有种 7. 设，则函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令可得 ，把零点个数问题转化为求解函数的图象与直线的交点个数问题. 【详解】令可得 当时，，联立方程可得，解得， 此时仅一个交点； 当时，，联立方程解得， 此时仅一个交点； 当时，，由图象可知仅有一个交点， 综上所述，函数的图象与直线有3个交点. 8. 已知函数的定义域为，值域为，对任意，，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 是增函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据赋值法，结合已知条件判断AB；根据赋值法，结合基本不等式判断C；根据增函数的定义结合选项AB判断D. 【详解】对于A，令，则， 整理得，解得或. 令，则， 整理得，解得或. 因为，所以，，故A错误. 对于B，令，则， 整理得，解得或. 因为函数的值域为，所以，故B错误. 对于C，令，则， 整理得， 又，当且仅当时等号成立. 则，所以，当且仅当时等号成立，故C正确. 对于D，由选项AB中，，，， 因为，，所以不是增函数，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，，，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】应用分类讨论，结合对数函数的性质分析判断参数的大小关系即可. 【详解】当时，对数函数在上单调递增， 由，可得， 结合，得，A不符， B 符合，C不符； 当时，对数函数在上单调递减， 由，可得， 结合，得，D符合. 10. 设函数，下列说法正确的有（ ） A. 当时，在区间单调递增 B. 若，则有两个大于的极值点 C. 当时， D. 当时，不等式在恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求函数的导数，对A直接用导数判断函数的单调性可得；对B直接由判断函数的极值点可得；对C直接代入函数验证可得；对D对区间分两部分讨论：当时，由单调性判断可得，当时，分别可得，，进而可得，综上两部分可得结果. 【详解】由函数，， 对A选项 ，当时，， 在区间上，恒成立，因此在上单调递减，A错误； 对B选项 ，令，整理得​，由得， 得方程两个根， 所以有两个大于的零点，且是开口向上的二次函数， 当时，；当时，；当时，. 因此函数有两个大于的极值点，B正确； 对C选项， 当时： ，故C正确. 对D选项， 当时，，， 当，，单调递减；当，，单调递增. 当时，，因为在上单调递减，所以； 当时，在上单调递增，因此， ，显然，函数在上单调递减， 所以，即， 即当时，，因此. 综上所述，当时，不等式在恒成立，D正确. 11. 甲乙进行比赛，每一轮甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，，当其中人比另一人多胜轮就获得胜利，则（ ） A. 两轮结束后出现平局的概率为 B. 第4轮结束后甲获胜的概率为 C. 至多轮结束后甲获胜的概率与乙获胜的概率之比为 D. 甲获胜的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A，根据两轮比赛的所有胜负情况，结合独立事件概率乘法公式计算对应事件的概率即可判断；选项B，根据前两轮必须是平局，后两轮甲全胜，结合独立事件概率乘法公式计算该概率；选项C，设至多轮结束，甲获胜概率为，乙获胜概率为，以为例，至多2轮结束时，求得，，再根据比值判断即可；选项D，设甲最终获胜的概率为，分类讨论甲获胜概率并建立关于的方程即可. 【详解】选项A，两轮结束后出现平局，即两人各胜1轮，共2种情况（甲胜第一轮乙胜第二轮，反之亦然）， 概率为 ，A错误. 选项B，第4轮结束甲获胜，说明前两轮是平局，后两轮甲连胜： ，B正确. 选项C，设至多轮结束，甲获胜概率为，乙获胜概率为， 以为例，至多2轮结束时，，， 比值为，而，两者不一定相等，故C错误. 选项D，设甲最终获胜的概率为，可得： 前两轮甲连胜，甲获胜，概率； 前两轮乙连胜，甲失败，概率； 前两轮平局，概率，此时回到初始状态，甲获胜概率仍为. 列方程得： 整理得：，D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 13. 在的展开式中，的系数为_________； 【答案】 【解析】 【分析】将原式拆分为与两部分，随后分别利用二项式定理写出通项，各自计算出能构成的项的系数，最后将两部分系数相加得出结果. 【详解】由题意得， 对于其中的部分，展开通项为， 令得含的项为， 对其中的部分，展开通项为， 令即可得含的项为， 综上，含的项为，即的系数为. 14. 已知，（其中是自然对数的底数），则的最小值为_________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式将看成点与点距离的平方，再由条件得，点在曲线上，点恒在直线上，进而问题转化为求曲线上任意一点到直线的最短距离的平方，由直线的斜率及导数的几何意义可求切点坐标，从而可求最小距离及所求值. 【详解】因为的几何意义是点与点距离的平方： 由条件得， 即点在曲线上，点恒在直线上. 因此问题转化为：求曲线上任意一点到直线的最短距离的平方. 设曲线上一点， ， 因为直线的斜率为，令，，即. 令，则， 因为函数在上单调递增且，所以，得. 将代入，得，所以切点为.  所以切点到直线（即）的距离为，. 因此的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某农业科研团队为了研究某新型玉米品种的生长特性，选取了该农场一块试验田中的10株长势均匀的玉米，测量了每株玉米的叶片总面积（单位：）和对应的百粒鲜重（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 叶片总面积 6 8 7 9 8 5 7 10 6 7 百粒鲜重 21 27 24 28 26 20 25 29 23 27 经计算得：，，，， （1）根据以上数据建立百粒鲜重关于叶片总面积的经验回归方程，并预测当一株玉米的叶片总面积为时，其百粒鲜重约为多少克？（运算过程中，结果均精确到） （2）若该品种玉米的百粒鲜重近似服从正态分布，其中为样本均值，为样本标准差，若规定百粒鲜重超过 g即为“特级品”，试估算该农场种植的20000株玉米中“特级品”大约有多少株？（参考数值：随机变量服从正态分布，则，） 参考公式： 对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】（1），33.5 （2）455株 【解析】 【分析】（1）根据最小二乘法代入公式求解即可. （2）计算样本均值及标准差，确定正态分布参数，利用正态分布原则计算即可. 【小问1详解】 ，，，， 所以． ． 经验回归方程为． 所以玉米的叶片总面积为 时，百粒鲜重为． 【小问2详解】 ，， ， 由，得， 所以，“特级品”大约有株． 16. 已知， （1）若的图象经过点，求函数的定义域； （2）令，若存在零点，求的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入求，再求的定义域； （2）先表示出根据对数函数的定义得，，再根据在有零点求出的范围. 【小问1详解】 因为图象经过，所以． 解得． 所以． 由解得或， 所以定义域为． 【小问2详解】 ． 因为，所以，化简得： 则在有零点，即在有解． ， 即，解得． 17. 某科技公司研发了一款新型智能驾驶系统，为了确保系统在复杂环境下的稳定性，现对该系统进行仿真测试，已知测试题库中共有10种不同的虚拟场景，其中包含3种极端天气场景（暴雨、暴雪、浓雾）和7种常规天气场景．测试过程中，系统将随机邀请6位算法工程师，每位工程师从这10种场景中随机抽取3种进行测试，每位工程师完成测试后，系统将自动重置场景库，且不同工程师之间的测试相互独立． （1）求工程师甲抽取的3种场景中，恰好包含1种极端天气场景的概率； （2）设为6位工程师中，抽取的3种场景里至少包含1种极端天气场景的工程师人数，求随机变量的分布列与数学期望； （3）设为这6位工程师测试后，所有被测试到的极端天气场景的总测试时长（每测试1种极端天气场景需花费50小时算力），求的数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 ． （3）270 【解析】 【小问1详解】 设事件为甲工程师抽取的3种场景中恰好包含1种极端天气场景， 由古典概型概率公式得． 【小问2详解】 设事件为某一位工程师抽取的场景中至少包含1种极端天气场景， ． 由题意可知，随机变量服从二项分布． 的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 ． 【小问3详解】 设为一名工程师抽取的场景中包含极端天气场景数，的可能取值为，，，， 服从超几何分布，所以. 所以． 18. 设函数． （1）当时，求单调区间； （2）若时，，求的范围． 【答案】（1）增区间是，减区间是， （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数的区间符号确定区间单调性，即可得； （2）讨论、、，将不等式作对应转化，再应用导数研究在对应区间的最值，即可得参数范围. 【小问1详解】 当时，， 所以， 令，解得，令，解得或， 所以，的增区间是，减区间是，； 【小问2详解】 当时，，则， 当时，可化为， 令，则恒成立， 所以在上单调递增， 当时，取最小值，所以， 当时，可化为， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，取最大值，此时， 综上，的取值范围是. 19. 随着人工智能技术的发展，某智能零售店引入了库存管理系统，用于销售一款智能产品，系统通过历史数据分析预测销量，并自动执行补货策略，根据过去一年的销售记录，该智能产品的每周需求量是一个离散型随机变量，其概率分布列如下表所示： 0 1 2 3 0.3 0.5 0.1 0.1 系统采用以下自动补货策略： 每周末盘点库存，若当周结束后库存为0（即所有存货被售光），则自动补货2台，下周一开始前到货；若库存大于等于1台，则不补货；初始条件：第一周开始前，店内有2件智能产品，设第周开始前店内库存量（补完货后）为． （1）求第二周末盘点库存后，不需要补货的概率； （2）求的分布列； （3）已知当的趋向无穷大时，会趋向一个定值，基于和逻辑推演，从长远来看，求该智能零售店经营该产品需求大于供给的概率． 【答案】（1） （2） 1 2 0.4 0.6 （3）【解析】 【分析】（1）先算出第二周开始前库存取1、2的概率，再用全概率公式，结合两种库存下无需补货的对应概率，求出第二周末不用补货的总概率. （2）仅有1、2两种取值，依托的两种情况，再次用全概率公式分别计算与的概率，列出分布列. （3）设，根据递推关系构造等比数列，推导出通项；令取极限得到稳态下取1、2的固定概率，最后再用一次全概率公式算出需求大于供给的概率. 【小问1详解】 设第二周末盘点库存后不需要补货为事件， 所以，， 所以． 【小问2详解】 的可能取值为，， ， ． 所以的分布列为 1 2 0.4 0.6 【小问3详解】 设，则， 则， 令，，解得． 所以，所以是以为公比，为首项的等比数列. 解得，． 随着的趋向无穷大时，由指数函数的性质知： 趋向一个定值. 所以，． 设需求大于供给为事件， 由全概率公式得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期教学质量检测 高二数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答卷前考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上． 2．选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．所有试题的答案，写在答题卡上，不能答在本试卷上，否则无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是减函数的为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某校高一学生报名参加个社团，每位同学从中随机参加一个社团，则甲、乙两位同学参加不同社团的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 函数是奇函数，且在上单调递减，，则（ ） A. B. C. D. 6. 从0，1，3，5，7中任取2个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_______个没有重复数字的四位数？（ ） A. 72 B. 108 C. 540 D. 648 7. 设，则函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，值域为，对任意，，都有，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 是增函数 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，且，，，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，下列说法正确的有（ ） A. 当时，在区间单调递增 B. 若，则有两个大于的极值点 C. 当时， D. 当时，不等式在恒成立 11. 甲乙进行比赛，每一轮甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，，当其中人比另一人多胜轮就获得胜利，则（ ） A. 两轮结束后出现平局的概率为 B. 第4轮结束后甲获胜的概率为 C. 至多轮结束后甲获胜的概率与乙获胜的概率之比为 D. 甲获胜的概率为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是_________． 13. 在的展开式中，的系数为_________； 14. 已知，（其中是自然对数的底数），则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某农业科研团队为了研究某新型玉米品种的生长特性，选取了该农场一块试验田中的10株长势均匀的玉米，测量了每株玉米的叶片总面积（单位：）和对应的百粒鲜重（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 叶片总面积 6 8 7 9 8 5 7 10 6 7 百粒鲜重 21 27 24 28 26 20 25 29 23 27 经计算得：，，，， （1）根据以上数据建立百粒鲜重关于叶片总面积的经验回归方程，并预测当一株玉米的叶片总面积为时，其百粒鲜重约为多少克？（运算过程中，结果均精确到） （2）若该品种玉米的百粒鲜重近似服从正态分布，其中为样本均值，为样本标准差，若规定百粒鲜重超过 g即为“特级品”，试估算该农场种植的20000株玉米中“特级品”大约有多少株？（参考数值：随机变量服从正态分布，则，） 参考公式： 对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 16. 已知， （1）若的图象经过点，求函数的定义域； （2）令，若存在零点，求的范围． 17. 某科技公司研发了一款新型智能驾驶系统，为了确保系统在复杂环境下的稳定性，现对该系统进行仿真测试，已知测试题库中共有10种不同的虚拟场景，其中包含3种极端天气场景（暴雨、暴雪、浓雾）和7种常规天气场景．测试过程中，系统将随机邀请6位算法工程师，每位工程师从这10种场景中随机抽取3种进行测试，每位工程师完成测试后，系统将自动重置场景库，且不同工程师之间的测试相互独立． （1）求工程师甲抽取的3种场景中，恰好包含1种极端天气场景的概率； （2）设为6位工程师中，抽取的3种场景里至少包含1种极端天气场景的工程师人数，求随机变量的分布列与数学期望； （3）设为这6位工程师测试后，所有被测试到的极端天气场景的总测试时长（每测试1种极端天气场景需花费50小时算力），求的数学期望． 18. 设函数． （1）当时，求单调区间； （2）若时，，求的范围． 19. 随着人工智能技术的发展，某智能零售店引入了库存管理系统，用于销售一款智能产品，系统通过历史数据分析预测销量，并自动执行补货策略，根据过去一年的销售记录，该智能产品的每周需求量是一个离散型随机变量，其概率分布列如下表所示： 0 1 2 3 0.3 0.5 0.1 0.1 系统采用以下自动补货策略： 每周末盘点库存，若当周结束后库存为0（即所有存货被售光），则自动补货2台，下周一开始前到货；若库存大于等于1台，则不补货；初始条件：第一周开始前，店内有2件智能产品，设第周开始前店内库存量（补完货后）为． （1）求第二周末盘点库存后，不需要补货的概率； （2）求的分布列； （3）已知当的趋向无穷大时，会趋向一个定值，基于和逻辑推演，从长远来看，求该智能零售店经营该产品需求大于供给的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $