精品解析：山东威海市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集运算求解即可. 【详解】已知集合， 集合，由可得或或，所以集合， 所以，故B正确. 2. 已知根据某样本数据可得到回归直线方程，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据经验回归方程恒过即可求解. 【详解】由题知，，即， 解得. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由初等函数及复合函数的求导法则逐一判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 4. 已知函数定义域为，且满足，当时，，则（ ） A. 10 B. 5 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【详解】由 ，得 ， 因为 ，所以 ． 5. 已知随机变量，且，，则（ ） A. 0.12 B. 0.24 C. 0.48 D. 0.62 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到正态分布曲线关于对称，利用正态分布曲线的对称性，求得和，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由，可得正态分布曲线关于对称， 因为，可得， 又由，所以. 6. 已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断分段函数在和上都各自单调递增，结合分段点处函数值突变导致单调性改变，得出在上不单调等价于区间包含，解不等式. 【详解】当时，，求导得，因此在上单调递增; 当时，，在上单调递增，也单调递增， 因此在上单调递增. 两段各自都是单调递增，但在分界点处： ，而时，， 若区间上函数不单调，则区间必须包含分界点， 即满足：  ，解得， 即的取值范围是. 7. 现安排包含甲、乙的名志愿者到，，三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，则甲、乙被分配到同一个社区的安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据捆绑法、分步乘法计数原理及排列组合知识求解即可. 【详解】把甲、乙看作一个整体，相当于将个元素分成组，每组至少个元素，分组方式只能是， 则分组的方法数为， 将分好的组全排列，分配到个社区，方法数为， 故总方法数为种，故C正确. 8. 已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造辅助函数，求导分析的单调性，利用是奇函数的性质，推导的奇偶性，进而得到的单调性，进而利用奇函数性质化简待解不等式，结合的单调性求解. 【详解】已知时，构造函数， 求导得， 时，分子，分母，故， 即在上单调递增. 又是奇函数，， 则， 故是偶函数，由对称性得在上单调递减，且. 由，原不等式可化为：， 当时，不等式两边除以得：， 因为在单调递减，故. 当时，不等式两边除以得：， 因为在单调递增，故. 综上，不等式的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校为了解学生在选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查了200名高一学生，得到如下数据：（ ） 选择物理科目 未选择物理科目 男生 80 20 女生 50 50 附：， （） 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 从调查的学生中随机抽取1人，则抽到的人未选择物理科目的概率为 B. 从调查的男生和女生中各随机抽取1人，则抽到的人都选择物理科目的概率为 C. 从调查的学生中随机抽取1人，则“抽到的人是女生”与“抽到的人选择物理科目”相互独立 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为选择物理科目与性别有关 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A选项：未选择物理科目的人数为，总人数为200，故概率为：，所以A正确； 对于B选项：男生选择物理的概率为，女生选择物理的概率为， 从男生和女生中各抽1人，两人都选物理的概率为：，不是，所以B错误； 对于C选项：设事件为“抽到女生”，事件为“抽到选物理”，若两者相互独立，则需， 因为，，故两者不相互独立，所以C错误； 对于D选项：由列联表得，所以， 因为，对应，所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为选择物理科目与性别有关，所以D正确． 10. 已知，，，则（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，由， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故B正确； 对于C， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 若存在实数，使得，则 B. 当时，过原点且与曲线相切的直线不存在 C. 当时，方程有3个不相等的实数根 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对函数求导并研究函数的单调性和最值，A由题设有求参数判断，B由导数的几何应用及切线所过的点，利用斜率相同得判断参数的存在性，C令，利用导数及零点存在性定理、奇函数的对称性判断零点个数即可，D令，利用导数研究其区间单调性即可判断. 【详解】对于，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因此在处取得最大值， 对于A：若存在实数使，只需，则，解得，正确， 对于B：当时，，设切点为，切线过原点，则斜率为， 由，联立得， 因为存在实数，所以过原点的切线存在，错误， 对于C：方程等价于，令， 由且定义域为，即为奇函数， 显然，即是一个根，而，则， 因此在右侧附近小于0，在左侧附近大于0， 令且，则，故在上单调递增， 所以，故在上，而， 因为，且时， 因此，在上必有一个根，根据奇函数的对称性，在上也必有一个根， 综上，共三个不相等的实数根，正确， 对于D：令，则， 当时，，且， 因此，即在上单调递增， 因为，所以时，即，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为__________． 【答案】 【解析】 【详解】， 令， 解得：， ， 的系数为：． 13. 若是函数的极值点，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由求解后再检验即可. 【详解】因为， 所以， 由题意可得， 解得， 当时，， ， 令，得， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 是函数的极值点，符合题意， 所以. 14. 对于任意的实数，设函数取，两个函数值中的最小值，若恰有2个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用零点与方程思想，结合二次函数分类讨论零点存在的区间，即可得到参数的取值范围. 【详解】设，，则 ， 由二次函数的判别式 ， 当时，，此时， 由于有两个零点，都满足， 所以的两个零点就是的两个零点，故满足题意； 当 时，，， 此时由于，开口向上， 的两零点分别位于 和 ，都满足 ， 所以的两个零点就是的两个零点，故满足题意； 当 时，，， 此时由于，开口向上，有一个零点在 ，另一个零点在 ， 所以的一个零点和在 的一个零点就是的两个零点，故满足题意； 当时，的零点为，由于有两个零点， 仍然满足只有两个零点，故满足题意； 当时，的零点为，由于有两个零点， 此时有三个零点和，故不满足题意； 当 时，，， 因为，所以设两个零点分别为，则， 可知，此时有四个零点和，此时不符合题意， 综上，的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）设集合，，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质和对数运算法则进行计算即可. （2）根据对数函数的性质以及集合的包含关系计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，， 可得， 所以， 即， 所以，解得． 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以， 可得， 所以， 由题意可知，， 因为，所以． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若的最小值为0，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，两种情况求解即可. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，由，可得切点为， 所以所求切线方程为，即． 【小问2详解】 因为， ①当时，，所以在上单调递减， 因此无最小值，不符合题意； ②当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此的最小值为， 解得， 综上可知，． 17. 已知袋中有2个红球，2个黄球，6个蓝球，且所有球的形状、大小、质地相同，从中随机地连续抽取3次，每次取出1个球． （1）若每次抽取后都不放回，求恰好取到2个蓝球的概率； （2）若每次抽取后都放回． （i）求至少2次取到蓝球的概率； （ii）记取出球的颜色种数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）（i） （ii） 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据组合和排列计数计算有利事件数和总样本数，再结合古典概型求概率； （2）（i）根据二项分布，先计算单次取蓝球的概率，再分别计算恰好2次取到蓝球、恰好3次取到蓝球的概率，相加得到结果； （ii）确定的所有可能取值，分别计算每个取值对应的概率，列出分布列后，再根据数学期望的公式计算期望. 【小问1详解】 由题意可知，恰好取到2个蓝球的概率为． 【小问2详解】 （i）由题意可知，每次取到蓝球的概率为， 所以至少2次取到蓝球的概率为： ． （ii）由题意可知，的取值范围是， 因为每次取到红球、黄球的概率都为， 所以， ， ， 因此的分布列为 1 2 3 所以． 18. 甲、乙两名射击运动员每次射击击中靶心的概率分别为，，两人进行3局射击比赛，每局比赛各射击一枪，若一方击中靶心且另一方未击中靶心，则击中靶心的一方获胜，否则双方平局，各次射击击中靶心与否相互独立．记甲获胜的局数为． （1）若，． （i）求每局双方平局的概率； （ii）若已知乙在第1局比赛中击中靶心，求（）； （2）设，，记的最小正零点为，证明：当时，；当时，． 【答案】（1）（i）（ii） （2）因为， 所以，， 因为， 所以，， 可得，， 当时，，所以，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，得最小正零点； 当时，，所以，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 可得，又， 所以存在唯一的，使得， 所以最小正零点． 【解析】 【分析】（1）（i）利用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率即可；（ii）记事件为“乙在第1局比赛中击中靶心”，事件为“”，依次确定并求出、，再应用条件概率公式求概率； （2）由题意，从而有，应用分类讨论及导数研究的零点，即可证. 【小问1详解】 （i）由题意可知，每局双方平局的概率为； （ii）记事件为“乙在第1局比赛中击中靶心”，事件为“”，则， 因为每局甲胜的概率为，所以， 综上，. 【小问2详解】 略 19. 已知函数的导函数． （1）记函数，求的单调区间； （2）设是曲线在点处的切线． （i）当时，证明：除点外曲线在直线的上方； （ii）当时，过点的直线与垂直，，与轴的交点分别为，，求的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）（i）由题意得，直线的方程为， 即证在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可得， 由（1）知的单调递增区间为和，单调递减区间为， 可得的极大值点是，极小值点是， ①当时，因为，所以， 因为，，所以，可得， 所以，可得，所以在上单调递减， 所以； ②当时，因为，所以在上单调递增， 所以，可得，所以在上单调递增， 所以， 综上可得，，即除点外曲线在直线的上方． （ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，进而求得函数的单调区间； （2）（i）求得的方程，转化为即在上恒成立，令，求得，分和，两种情况讨论，得到，即可得证； （ii）由（i）求得和得到，令，得到，令，利用导数求得的单调性和最值，即可求解. 【小问1详解】 因为，可得， 令，解得或；令，解得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 （i）略； （ii）由（i）知，直线的方程为， 令，可得，即， 直线的斜率为，因为过点的直线与垂直，可得， 则直线的方程为， 令，可得，即 所以， 因为，且， 所以， 令，则， 因为，所以，可得， 令，可得， 所以在上单调递减，可得， 所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知根据某样本数据可得到回归直线方程，且，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数定义域为，且满足，当时，，则（ ） A. 10 B. 5 C. 3 D. 5. 已知随机变量，且，，则（ ） A. 0.12 B. 0.24 C. 0.48 D. 0.62 6. 已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 现安排包含甲、乙的名志愿者到，，三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，则甲、乙被分配到同一个社区的安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某校为了解学生在选科时是否选择物理科目与性别的关系，随机调查了200名高一学生，得到如下数据：（ ） 选择物理科目 未选择物理科目 男生 80 20 女生 50 50 附：， （） 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 从调查的学生中随机抽取1人，则抽到的人未选择物理科目的概率为 B. 从调查的男生和女生中各随机抽取1人，则抽到的人都选择物理科目的概率为 C. 从调查的学生中随机抽取1人，则“抽到的人是女生”与“抽到的人选择物理科目”相互独立 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为选择物理科目与性别有关 10. 已知，，，则（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 11. 已知函数，则（ ） A. 若存在实数，使得，则 B. 当时，过原点且与曲线相切的直线不存在 C. 当时，方程有3个不相等的实数根 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为__________． 13. 若是函数的极值点，则__________． 14. 对于任意的实数，设函数取，两个函数值中的最小值，若恰有2个零点，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）设集合，，若，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若的最小值为0，求的值． 17. 已知袋中有2个红球，2个黄球，6个蓝球，且所有球的形状、大小、质地相同，从中随机地连续抽取3次，每次取出1个球． （1）若每次抽取后都不放回，求恰好取到2个蓝球的概率； （2）若每次抽取后都放回． （i）求至少2次取到蓝球的概率； （ii）记取出球的颜色种数为，求的分布列及数学期望． 18. 甲、乙两名射击运动员每次射击击中靶心的概率分别为，，两人进行3局射击比赛，每局比赛各射击一枪，若一方击中靶心且另一方未击中靶心，则击中靶心的一方获胜，否则双方平局，各次射击击中靶心与否相互独立．记甲获胜的局数为． （1）若，． （i）求每局双方平局的概率； （ii）若已知乙在第1局比赛中击中靶心，求（）； （2）设，，记的最小正零点为，证明：当时，；当时，． 19. 已知函数的导函数． （1）记函数，求的单调区间； （2）设是曲线在点处的切线． （i）当时，证明：除点外曲线在直线的上方； （ii）当时，过点的直线与垂直，，与轴的交点分别为，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $