精品解析：山东省青岛市即墨第一中学2024-2025学年高二下学期期末模拟数学试题

高二数学模拟题6 一、单选题 1. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求得，令，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得. 故选：A. 2. 将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A. 90种 B. 150种 C. 180种 D. 250种 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知将书可以分成1，2，2和1，1，3两种，然后分配给3人，再利用分类加法原理可求得结果. 【详解】由题意可知将5本书可以分成1，2，2和1，1，3两种， ①若将书分成1，2，2三组，再分配给3人，则有种分法， ②若将书分成1，1，3三组，再分配给3人，则有种分法， 所以由分类加法原理可知共有种分法， 故选：B 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用指对数运算性质计算，结合分段函数求值即可. 【详解】由题意得： ， 故选：D. 4. 为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为（ ） 参考数据：,， A. 0.135％ B. 0.27％ C. 2.275％ D. 3.173％ 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出，将所求问题转化为求,利用正态曲线的对称性计算即得. 【详解】依题意，而， 所以测试成绩不小于86的学生所占的百分比为： 故选：C． 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 6. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质、特殊值对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，，如， 则，所以A选项错误. B选项，若，则，所以B选项错误. C选项，若，则， 所以由两边乘以得，所以C选项正确. D选项，若，， 则，所以D选项错误. 故选：C 7. 对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知函数有唯一零点为1，进而得在上有解，再根据二次函数零点分布求解即可. 【详解】∵，∴在R上单调递增， 又，∴有唯一零点为1， 令的零点为，依题意知，即， 即函数在上有零点， 令，则在上有解，即在上有解， ∵，当且仅当时取等号， ∴.即实数的取值范围是. 故选：B 8. 定义在R上的函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，构造函数，利用其单调性求解. 【详解】因为， 令，则， 所以在上递增， 所以，所以， 所以，故C错误； ， 因为定义在R上的函数满足， 所以函数是奇函数，所以，即，故A正确； ，即，B错误； ，，D错误， 故选：A 二、多选题： 9. 已知函数，则（ ） A. 的单调递增区间是 B. 在处取得极大值 C. 在点处的切线方程为 D. 若，则函数有两个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，可判断选项A、B的正误； 由导数的几何意义可求在点处的切线方程，可判断选项C; 由方程的交点，可判断选项D的正误. 【详解】由题意，， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，取得极大值； 当时，，单调递减；故选项A错误，选项B正确； 在点处的切线斜率， 所以切线方程为：，即，故选项C正确； 当时，, 当时，取得最大值； 当时，, 所以当，方程有两个交点，则函数有两个零点， 故选项D错误. 故选：BC 10. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ） A. 2次传球后球在丙手上的概率是 B. 3次传球后球在乙手上的概率是 C. 3次传球后球在甲手上的概率是 D. n次传球后球在甲手上的概率是 【答案】ACD 【解析】 【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D. 【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A正确； 第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误； 3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确； n次传球后球在甲手上的事件记为，则有， 令，则于是得， 故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以即，故D正确. 故选：ACD 11. 设A，B为同一随机试验的两个随机事件，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率和全概率公式求解. 【详解】对A，,A正确； 对B，根据全概率公式可得，,B错误； 对C，,C正确； 对D，, ,D正确； 故选:ACD. 三、填空题 12. 新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期x和全国累计报告确诊病例数量y（单位：万人）之间的关系如下表： 日期x 1 2 3 4 5 6 7 确诊病例数量y（万人） 1.4 1.7 2.0 2.4 2.8 3.1 3.5 根据表中的数据，适宜作为确诊病例数量关于日期的回归方程类型，则此线性回归方程___________；（精确到0.01） 参考数据：①；②.其中，. 参考公式：对于一组数据，，…，其回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：①，②. 【答案】 【解析】 【分析】利用给定的已知数据，结合公式即可求解. 【详解】由题意得：，， 根据公式得： ， 再由 ， 则此线性回归方程为 ， 故答案为： 13. 袋中有4个红球，个黄球，个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用选取问题组合数列式计算，即可求解未知量的值. 【详解】由取出的两个球都是红球的概率为，根据题意可得：， 解得：或（舍去）， 再由一红一黄的概率为，可得：， 所以，即， 故答案为：1 14. 已知函数若方程的实数根的个数有4个,则的取值范围是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据和的对应关系，做出的图像，分析关于的方程有几个实数根即可. 【详解】令，对于，的值对应两个的值，对应一个的值，结合的图像可知， 有四个根等价于方程的实数根的有个小于的根，作函数的图像如下图，当时，，于是不难分析得出． 故答案为： 四、解答题 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【小问1详解】 根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； 【小问2详解】 零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 16. 已知，求解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）令，可求得的值； （2）令，可求出的值，再与（1）中的等式作差，可求得的值； （3）分析可知当为奇数时，；当为偶数时，，可得出，即可得解； （4）在题干等式的两边同时求导，再令，可求得的值. 【小问1详解】 令，得①. 【小问2详解】 令，得②， 由①②，得， 所以. 【小问3详解】 因为， 的展开式通项为， 所以， 当为奇数时，；当为偶数时，. 所以. 【小问4详解】 ， 两边分别求导，得， 令，得. 17. “双十一”期间，某大型商场举行了“消费领奖”的促销活动，在规定的商品中，顾客消费满，200元（含200元）即可抽奖一次，抽奖方式有两种（顾客只能选择其中一种）. 方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个，黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出2球，每摸出1次红球，立减100元. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，不放回地摸出2个球，中奖规则为：若摸出2个红球，享受免费优惠；若摸出1个红球，1个黑球，则打5折；若摸出2个黑球，则抵扣现金50元. （1）某顾客恰好消费200元，选择抽奖方案一，求他实付现金的分布列和期望； （2）若顾客消费300元，试从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方式更合理? 【答案】（1）分布列见解析，160元 （2）选择方案二更合理 【解析】 【分析】（1）设实付金额为元，则可能取值为0，100，200，分别求出对应独立重复试验的概率，即可按定义求得分布列和期望； （2）选择期望较小的方案，方案一可先求出摸到红球的个数的期望，再进一步求即可；方案二设实付金额为，则的可能取值为0，150，250，通过古典概型求得对应分布列和期望. 【小问1详解】 设实付金额为元，则可能取值为0，100，200． 则，，， 则的分布列为 0 100 200 ∴（元） 【小问2详解】 若选方案一，设摸到红球的个数为，实付金额为，则， 由题意得，故． ∴（元） 若选方案二，设实付金额为，则的可能取值为0，150，250． 则，，． 则的分布列为 0 150 250 ∴（元） ∵， ∴选择方案二更合理． 18. 已知函数为实常数）． （1）若，求证：在上是增函数； （2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为. （3） 【解析】 【分析】(1)利用导数大于零即可证明；(2)利用导数讨论函数的单调性即可求解给定区间内的最值；(3)利用导数讨论单调性与最值，即可解决能成立问题. 【小问1详解】 由题可知函数的定义域， 因为,所以，所以， 令解得， 所以在上是增函数. 【小问2详解】 因为,所以，所以， 令解得，令解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有最小值为， 因为， 所以当时，函数有最大值为. 【小问3详解】 由得，即， 因为，所以，所以， 且当时，所以在恒成立，所以， 即存在时，， 令，， 令， 令，解得， 令，解得， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 所以时，恒成立， 所以， 所以实数的取值范围是. 19. 已知函数，其导函数的最大值为. （1）求实数的值； （2）若，证明：. 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先对求导，然后根据导数形式对进行分类讨论，通过导函数最大值为0，求得的值. （2）要证，则需证，再利用的单调性，证，利用条件把换掉，构造函数 证明，对求导，研究其单调性和极值，得到结论. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为，其导函数 记则. 当时，恒成立，所以在上单调递增，且. 所以，有，故时不成立； 当时，若，则；若，则. 所以在单调递增，在单调递减． 所以. 令，则. 当时，；当时，.所以在的单减，在单增. 所以，故. （2）当时，，则. 由（1）知恒成立， 所以在上单调递减， 且， 不妨设，则， 欲证，只需证，因为在上单调递减， 则只需证，又因为， 则只需证，即. 令（其中），且. 所以欲证，只需证， 由， 整理得：， ， 所以在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上单调递减， 所以有，，故. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，涉及分类讨论的数学思想，构造函数解决极值点偏移问题，题目较综合，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学模拟题6 一、单选题 1. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 将五本不同的书全部分给甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A. 90种 B. 150种 C. 180种 D. 250种 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 为弘扬“五四”精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从，据此估计比赛成绩不小于86的学生所占的百分比为（ ） 参考数据：,， A. 0.135％ B. 0.27％ C. 2.275％ D. 3.173％ 5. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知a，b，c，d均为实数，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 7. 对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的函数满足，且时，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题： 9. 已知函数，则（ ） A. 的单调递增区间是 B. 在处取得极大值 C. 在点处的切线方程为 D. 若，则函数有两个零点 10. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ） A. 2次传球后球在丙手上的概率是 B. 3次传球后球在乙手上的概率是 C. 3次传球后球在甲手上的概率是 D. n次传球后球在甲手上的概率是 11. 设A，B为同一随机试验的两个随机事件，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期x和全国累计报告确诊病例数量y（单位：万人）之间的关系如下表： 日期x 1 2 3 4 5 6 7 确诊病例数量y（万人） 1.4 1.7 2.0 2.4 2.8 3.1 3.5 根据表中的数据，适宜作为确诊病例数量关于日期的回归方程类型，则此线性回归方程___________；（精确到0.01） 参考数据：①；②.其中，. 参考公式：对于一组数据，，…，其回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：①，②. 13. 袋中有4个红球，个黄球，个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________. 14. 已知函数若方程的实数根的个数有4个,则的取值范围是 __________． 四、解答题 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知，求解： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. “双十一”期间，某大型商场举行了“消费领奖”的促销活动，在规定的商品中，顾客消费满，200元（含200元）即可抽奖一次，抽奖方式有两种（顾客只能选择其中一种）. 方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球1个，黑球4个）的抽奖盒中，有放回地摸出2球，每摸出1次红球，立减100元. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，不放回地摸出2个球，中奖规则为：若摸出2个红球，享受免费优惠；若摸出1个红球，1个黑球，则打5折；若摸出2个黑球，则抵扣现金50元. （1）某顾客恰好消费200元，选择抽奖方案一，求他实付现金的分布列和期望； （2）若顾客消费300元，试从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方式更合理? 18. 已知函数为实常数）． （1）若，求证：在上是增函数； （2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的值； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数，其导函数的最大值为. （1）求实数的值； （2）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $