精品解析：四川绵阳市三台中学2025-2026学年高一下学期7月教学质量检测数学试题

三台中学2025级高一下7月教学质量检测 数 学 试 题 考试时间：120分钟 总分：150 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，且m，，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时天气的温度大约是（ ） (参考数据，) A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. 是纯虚数 D. 在复平面内，复数对应的点位于第四象限 10. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于点），记平面平面，则下列判断正确的有（ ） A. 异面直线与所成角为 B. C. 存在点使得平面 D. 三棱锥的体积不变 11. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上. 12. 已知向量的夹角为，则__________. 13. 若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 14. 如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是平面内两个不共线的向量． （1）若，求证：，，三点共线； （2）若，求实数的值． 16. 海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为，． （1）救援出发时，船距离雷达站的距离为多少？ （2）判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（通过计算说明理由）？ (参考数据) 17. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点，点是的中点. （1）证明：，，，四点共面； （2）证明：直线平面； （3）若直线与平面的夹角的正切值为，求四棱锥的体积. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长； （3）若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值． 19. 如图，在四边形中，，，，，、分别在、上，，现将四边形沿折起，使． （1）证明：（折叠后）； （2）若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）折叠后，当三棱锥的体积最大值时，求出此时点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三台中学2025级高一下7月教学质量检测 数 学 试 题 考试时间：120分钟 总分：150 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由向量减法与加法的三角形法则可得. 2. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，可得：， ， ， . 3. 如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】因点E是的中点，点D是的中点， 所以 . 4. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，且m，，则 B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线面，面面关系判断各选项即可. 【详解】对于A，注意到当m，n平行时，直线l不垂直于平面，故A错误； 对于B，当这三点有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧时，平面与平面不平行，故B错误； 对于C，若，则直线不平行于平面，故C错误； 对于D，因，则在平面内的任意直线均与直线n垂直，又， 则在平面内的任意直线均与直线m垂直，由直线与平面垂直定义可知，故D正确. 故选：D 5. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥的表面积公式和侧面展开图，列出等式求得半径和母线长，即可求解. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为， 侧面展开图是一个半圆，，即， 圆锥的表面积为，， ，，圆锥的高. 6. 如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形和角边关系求出结果即可. 【详解】设树的高度为，由已知，得， 在中，. 化简得，解得. 所以树的高度为m. 故选：C. 7. 在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接、、、，即可证明、，从而得到为平面与平面的夹角，利用锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、、、， 在正三棱柱中，，所以， 又平面，平面，所以，，， 不妨令，则，所以， 所以为平面与平面的夹角， 又， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 故选：A 8. 如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时天气的温度大约是（ ） (参考数据，) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用图象求出函数解析式，然后将代入解析式求解即可. 【详解】对于函数， 由图象可知：，解得：， 设函数的最小正周期为，则， 所以，即，解得：，所以 又函数的图象经过， 所以，即， 所以，解得， 因为，所以，，所以， 当时，. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. 是纯虚数 D. 在复平面内，复数对应的点位于第四象限 【答案】ABC 【解析】 【详解】复数，则，所以的虚部是，A选项正确； ，B选项正确；是纯虚数，C选项正确； 在复平面内，复数对应的点，位于第二象限，D选项错误． 10. 如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于点），记平面平面，则下列判断正确的有（ ） A. 异面直线与所成角为 B. C. 存在点使得平面 D. 三棱锥的体积不变 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，因为正方体中，且为等边三角形， 故异面直线与所成角为，故A错误； 对于B，因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为，所以，故B正确； 对于C，因为，平面，， 所以平面， 又因为平面，所以，同理可得， 又因为，平面，，所以平面， 因为过点有且只有一条直线与平面垂直，故C错误； 对于D，因为，平面，平面，所以平面， 所以直线上任意一点到平面的距离都相等， 因为点在线段上，且直线到平面的距离为定值， 所以点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确. 11. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对A，，将点绕点逆时针旋转得到点， 则，故A正确； 对B，由题知，，所以是等边三角形， 则，故B错误； 对C，设，则， 所以，解得，则， 所以，故C正确； 对D，在方向上的投影向量为 ，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上. 12. 已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 可知. 13. 若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆台侧面积公式可得母线长，再求出圆台的高，利用圆台的体积求解即可. 【详解】设圆台母线长为，则，所以，所以圆台的高为， 所以圆台的体积为. 14. 如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点的中点的中点，连接，由面面平行的性质定理，即得截面多边形，分析可得多边形为正六边形，求出边长后计算面积即可. 【详解】 取的中点的中点的中点，连接， 则正六边形为对应的截面，又正六边形的边长为， 所以截面的面积为：. 故答案为：. 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是平面内两个不共线的向量． （1）若，求证：，，三点共线； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）因为，，， 所以 所以，则有， 因为与有公共点， 所以，，三点共线. （2）. 【解析】 【分析】（1）通过求证，即可证明； （2）通过向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以， ， 又因为，所以， 即， 因此实数的值为. 16. 海岸上建有相距海里的雷达站，某一时刻接到海上船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为，． （1）救援出发时，船距离雷达站的距离为多少？ （2）判断若船以30海里每小时的速度前往处，能否在1.5小时内赶到救援（通过计算说明理由）？ (参考数据) 【答案】（1）60海里 （2）能在小时内赶到救援 【解析】 【分析】（1）在中，求出，利用正弦定理求解即可； （2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断. 【小问1详解】 在中，因为，, 所以,. 又, 所以由正弦定理可得，即，解得, 所以A船距离雷达站C的距离为60海里. 【小问2详解】 在中，根据正弦定理可得, 即,解得, 在中，由余弦定理可得, 解得, 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而, 所以能在小时内赶到救援. 17. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点，点是的中点. （1）证明：，，，四点共面； （2）证明：直线平面； （3）若直线与平面的夹角的正切值为，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明：因为，分别是，的中点，所以. 因为四边形是矩形，所以， 则，所以，，，四点共面. （2）证明：因为是等边三角形，是的中点，所以， 由四边形为矩形，得， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面， 又平面，所以， 因，平面, 所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由条件证明，即得，，，四点共面； （2）先由面面垂直证明平面，得，再证，由线面垂直的判定定理即可得证； （3）取中点，连接，证明，分别过点与作，，证明平面，平面，即得是直线与平面所成的角，借助于求出，进而求得，最后利用四棱锥的体积公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 取中点，连接，则， 又因，所以，，则得，故， 分别过点与作，，垂足分别为， 因平面平面，平面平面， 平面， 故平面，平面， 所以是直线与平面所成的角，是四棱锥的高. 因为是等边三角形，，则， ，， 在中，依题意，解得. 在中，，解得，所以， 故四棱锥的体积是. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）求角A； （2）若的面积为，内角A的平分线交边于点E，，求的长； （3）若，边上的中线，设点O为的外接圆圆心，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式化简条件等式，借助于内角范围即可求解角； （2）利用三角形面积公式求出边，再由等面积即可求得； （3）利用余弦定理与关于中线的向量数量积的运算求得，结合图形，分别求出，再将所求式利用数量积的转化即可求得. 【小问1详解】 由及正弦定理，得. 又因为， 代入整理得. 因为，所以， 则， 即，解得或， 由，则； 【小问2详解】 由，解得. 又因为，所以. 因为角A的平分线交边于点E，所以. 由，可得， 解得. 【小问3详解】 在中，由余弦定理，得①， 由边上的中线，则， 两边平方得， 则，即②， 联立①和②，解得， 设边的中点分别为，由点为的外接圆圆心， 则，， ， ， 所以. 19. 如图，在四边形中，，，，，、分别在、上，，现将四边形沿折起，使． （1）证明：（折叠后）； （2）若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （3）折叠后，当三棱锥的体积最大值时，求出此时点到平面的距离． 【答案】（1）在四边形中， 因为，，所以， 所以将四边形沿折叠后，有. 因为，，所以. 因为、平面，，所以平面， 因为平面，所以. （2）存在， （3）. 【解析】 【分析】（1）证明出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）先下结论：折叠后在线段上存在一点，使得平面，此时，然后过点作交于点，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论； （3）设，则，则，利用锥体的体积公式可得出三棱锥的体积关于的表达式，利用基本不等式可求得三棱锥体积的最大值及其对应的值，然后利用等体积法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 折叠后在线段上存在一点，使得平面，此时， 理由如下：当时，， 如图，过点作交于点，连接，则， 因为四边形为矩形，所以，所以，则， 又因为，，所以且， 故四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 所以折叠后在线段上存在一点，使得平面，且. 【小问3详解】 设，则，则， ， 因为平面，所以 ， 当且仅当时，即当时，三棱锥的体积取最大值， 此时，，，， 因为平面，平面，所以， 由勾股定理可得， ， 同理可得， 在中，，，所以， 因为，所以， 由余弦定理可得， 故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以， ， 设到平面的距离为，由， 即 ，解得. 当三棱锥 的体积最大值时，点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $