精品解析：四川绵阳市三台中学2025-2026学年高一下学期5月教学质量检测数学试题

三台中学2025级高一下5月 教学质量检测 数 学 试 题 考试时间： 120分钟 总分：150 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 2. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，点在边上，点，分别在线段，上，且有，，，则 A. B. C. D. 5. 在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知中，，点在线段上运动，且满足，当取到最小值时，的值为(　　) A. B. C. D. 7. 在菱形中，为边上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 13 8. 已知的内角的对边分别为．若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的有（ ） A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 棱台的侧面一定不是平行四边形 C. 棱锥的侧面是全等的三角形 D. 圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形 10. 中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形． B. 若，则点的轨迹一定通过的内心． C. 若为重心，则 D. 若点满足，则 11. 已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，且，则的最小值为 B. 若，且，则的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上. 12. 已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为___________. 13. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 14. 如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________. 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求； （2）若与垂直，求实数的值. 16. 在中，角的对边分别为，若，其中， （1）求角的大小； （2）若的面积为． ①求的值； ②求的值． 17. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求角； （2）已知，当取最小值时，求外接圆的半径． 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面． （3）求直线与平面所成角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三台中学2025级高一下5月 教学质量检测 数 学 试 题 考试时间： 120分钟 总分：150 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，所以． 2. 已知单位向量，满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，而，则， 因此，又，所以与的夹角为． 3. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知， 则，解得， 在方向上的投影向量为：． 4. 在中，点在边上，点，分别在线段，上，且有，，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题易知，，，，根据向量的减法法则，可得，带入求得结果. 【详解】如图，∵，∴.∵，∴.∵，∴.∴ .故选B. 【点睛】本题考查了向量的四则运算，熟悉向量的四则运算是解题的关键，属于较为基础题. 5. 在棱长均为 2 的正三棱柱 中， 是棱 的中点， 是侧面 内任意一点 (包含边界)，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用几何法取直线 与平面 所成角的正弦值的临界状态可得答案. 【详解】如图，正三棱柱 棱长均为 2，取 的中点为 ， 则 平面 ， 当点 是靠近点 的四等分点时， ，则 平面 ， 此时直线 与平面 所成角的正弦值最大为 1； 当点 与 重合时，此时 最长， 即 ， 因为正三棱柱 中， 是棱 的中点， 所以点 到平面 的距离为 ， 此时直线 (即 ) 与平面 所成角的正弦值最小，为 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值取值范围是 . 故选： D. 6. 如图，已知中，，点在线段上运动，且满足，当取到最小值时，的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系，计算P点坐标，得到的式子得到答案. 【详解】以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系 不妨设 则， 当时取最小值 故答案选D 【点睛】本题考查了向量的计算，函数的最值，建立直角坐标系可以简化运算. 7. 在菱形中，为边上一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】建系，由向量模长的坐标表示即可求解 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系． 则， ， 当且仅当时取等号． 故选：A 8. 已知的内角的对边分别为．若，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【详解】由和余弦定理，可知，因此； 则， 因此是以角为直角的直角三角形. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 下列说法正确的有（ ） A. 棱柱的侧面一定是平行四边形 B. 棱台的侧面一定不是平行四边形 C. 棱锥的侧面是全等的三角形 D. 圆柱的侧面沿一条母线展开，则展开图不一定是矩形 【答案】AB 【解析】 【分析】利用棱柱，棱台，棱锥和圆柱的定义和结构特征逐一判断选项即可. 【详解】对于A，由棱柱的结构特征知，其侧面都是平行四边形，故A正确； 对于B，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故B正确； 对于C，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，故C错误； 对于D，因圆柱的母线垂直于两底面，故圆柱的侧面沿一条母线展开得到的一定是一个矩形，故D错误. 10. 中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为锐角三角形． B. 若，则点的轨迹一定通过的内心． C. 若为重心，则 D. 若点满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据可确定角为锐角，但不一定为锐角三角形，可判定A；根据单位向量、共线向量的概念可判断B；根据向量的加法运算可确定C；根据向量的数量积以及向量模的运算可确定D． 【详解】选项A：若，则，因此角为锐角，但不一定为锐角三角形， 故A错误； 选项B：因为分别表示方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线一致． 若，则的方向与的角平分线一致，所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确； 选项C：若为的重心，设边的中点为， 则，故C正确； 选项D：设的中点为，若点满足，则点为外心， 于是有．又， 则 ，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，且，则的最小值为 B. 若，且，则的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，连接，推导出平面平面，推导出为点的轨迹，可求出的最小值，可判断A选项；推导出平面，则点的轨迹为线段，可求出长的最小值，可判断B选项；过点作分别交、于点、，连接、、，推导出平面，可知点的轨迹为线段，当时，的长取最小值，可判断C选项；延长交线段于点，推导出平面平面，可知点关于平面、关于直线的对称点都在平面内，结合“将军饮马”思想求出长的最小值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点作交于点，过点作交于点，连接， 因为，平面，所以平面，同理可证平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 当时，平面，则平面，故点的轨迹为线段， 因为，所以，则，同理可得， 又因为，，则是边长为的等边三角形， 当点为的中点时，，此时的长取最小值， 此时，A对； 对于B选项，如下图所示，连接、， 易知、都是边长为的等边三角形，且为的中点， 所以，， 又因为、平面，，所以平面， 当时，平面，则，故点的轨迹为线段， 由勾股定理可得，同理可得， 故当为的中点时，，此时的长取最小值，且，B对； 对于C选项，过点作分别交、于点、，连接、、， 因为为正的中心，则，因为，则， 因为三棱锥为正四面体，则平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 当时，则平面，所以，故点的轨迹为线段， 延长交于点，则为的中点，因为为正的中心，则， 因为，所以，故， 由余弦定理可得， 故，同理可得， 由余弦定理可得， 所以， 当时，的长取最小值，此时， 故长的最小值为，C错； 对于D选项，如下图所示： 延长交线段于点，则点为线段的中点， 因为、均为等边三角形，所以，， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 故点关于平面、关于直线的对称点都在平面内， 因为平面，平面，所以， 易知， ， 设点关于直线、的对称点分别为、， 由对称性可知，，， 所以 ， 在中，，， 由余弦定理可得， 所以， 由余弦定理可得， 故， 由对称性知，， 所以， 当且仅当、为线段分别与线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为，D对. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答卷中的横线上. 12. 已知圆台的上下底面半径分别为2，3，侧面积为，则该圆台的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆台的侧面积公式得圆台的母线长，由勾股定理得圆台的高，再由圆台的体积公式得圆台的体积. 【详解】圆台的上底面半径，下底面半径，设圆台的母线长为，高为， 由圆台的侧面积公式得，解得， 由勾股定理得， 由圆台的体积公式得， 故答案为：. 13. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 14. 如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，再根据三棱锥的体积公式求解. 【详解】连接，交于点，交于点，连接，， 设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上， 所以点即为点在平面上的射影，即平面， 因为平面，所以， 因为为对角线、的交点，所以， 即，所以为三棱锥外接球的球心， 则三棱锥外接球的半径，则，解得， 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则， 在中，，即三棱锥的高为， 则三棱锥的体积. 四、解答题：15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求； （2）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由向量的坐标运算及模的公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标公式列出方程求解即可. 【小问1详解】 由，， 可得：， 所以. 【小问2详解】 ，， 因为与垂直， 所以， 解得. 16. 在中，角的对边分别为，若，其中， （1）求角的大小； （2）若的面积为． ①求的值； ②求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由便得到，进行数量积的坐标运算便可得到，从而得出； （2）①利用余弦定理及三角形面积公式计算可求；②利用正弦定理求得，再由三角恒等变换计算可求的值. 【小问1详解】 因为，则， 又， 所以， 由正弦定理得， 即， 又是内角，则, 所以，即, 又是内角，则. 【小问2详解】 ①在中，，由（1）及余弦定理得 ， 又，， 联立解得，或（舍去）； ②由正弦定理可得，， 因为，，所以， 所以， 由可知， 所以， 故. 17. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 因为且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面； 【小问2详解】 由平面平面，得， 连接，由且，所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，， 又平面，平面， 由平面，所以平面平面； 【小问3详解】 由平面，平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 故为二面角的平面角，即 设，在中，，作，垂足为， 由（2）知，平面平面，平面平面平面，所以平面， 则为直线在平面上的投影，所以为直线与平面所成的角， 在中，， 所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 在中，内角的对边分别为，且分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求角； （2）已知，当取最小值时，求外接圆的半径． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正三角形面积公式可先把转化成关于的式子，再结合余弦定理求角. （2）由第（1）问已经得到所以可以先用余弦定理把表示成的函数，再利用基本不等式求最值，最后用正弦定理求外接圆半径. 【小问1详解】 （1）由题意， 则，即， 由余弦定理．因为，所以． 【小问2详解】 （2）因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时，所以， 由正弦定理可知外接圆直径， 所以，所以外接圆的半径为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面． （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【小问1详解】 证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. 【小问3详解】 正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $