精品解析：黑龙江哈尔滨市第十二中学校2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

2025—2026学年度下学期末考试 高二 数学试卷 2026-7 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8道小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，所以. 2. 在等比数列中，公比为.已知，则是数列单调递减的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的单调性结合充分条件和必要条件的定义即可得出结论. 【详解】解：， 当时，， 所以数列单调递减，故充分性成立， 若数列单调递减，则，即，故必要性成立， 所以是数列单调递减的充要条件. 故选：C. 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，函数，其定义域为，关于原点对称， 且，所以是奇函数，且在上单调递减，所以A符合题意； 对于B，函数，则满足，即函数的定义域为， 所以函数为非奇非偶函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，且， 可得函数为偶函数，所以C不符合题意； 对于D，函数，根据幂函数的性质得，函数在上单调递增，所以D不符合题意. 4. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有条件的基本不等式计算可得. 【详解】因为正实数满足， 所以， 当且仅当等号成立，将代入解得. 即时等号成立，所以的最小值为9. 故选：C 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可. 【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则， 因此，解得． 故选：A． 6. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得，再由，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 整理得，即， 则. 7. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 可得且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以在点处的切线方程为，即. 8. 已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. （1，4） C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数单调性及复合函数单调性性质分类讨论计算求解. 【详解】当时，指数函数在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，不符合题意； 当时，指数函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，结合题意可知，则， 所以的取值范围为． 故选：A. 二、多项选择题（本题共3道小题，每题6分，共18分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 10. 已知在数学测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则（ ） （参考数据：，） A. 该校学生成绩的均值为70 B. 该校学生成绩的标准差为4 C. D. 该校学生成绩及格率超过95% 【答案】ABD 【解析】 【详解】由学生的成绩服从正态分布，得该校学生成绩的均值，标准差，AB正确； ， ，C错误； ，D正确. 11. 已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是周期为2的周期函数 B. 的图象关于对称 C. 当时 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】由可得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A错误； 由和偶函数性质，得， 因此，图象关于直线对称，故选项B正确； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，，所以， 从而的值域为，在此区间上，所以， 故恒成立，选项D正确. 三、填空题（本题共3道小题，每题5分，共15分） 12. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为，偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为： 13. 若复数，则________． 【答案】 【解析】 【详解】复数， 所以. 14. 设，则满足的实数x的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出图像,结合图像判断题出函数的单调性,即可求解. 【详解】作出函数的图像 如图，满足 ，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：该不等式的求解利用的是函数的单调性，用数形结合法解决更为直观. 四、解答题（本题共5道题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15. 甲罐中有个红球，个白球，乙罐中有个红球，个白球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． （1）求在甲罐中取出白球的条件下，乙罐中取出红球的概率； （2）求乙罐中取出红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）明确条件概率场景，甲取出白球后更新乙罐球数，用乙罐红球数量除以总球数直接求出条件概率； （2）划分甲取白球、红球两个互斥完备事件组，分别计算各自概率与对应条件概率，代入全概率公式即可． 【小问1详解】 设“从甲罐取出白球”为事件，“从乙罐取出红球”为事件， 若发生，乙罐中红球数仍为，白球数变为，总球数为，则； 【小问2详解】 设“从甲罐取出红球”为事件， 甲罐中红球数为，白球数为，总球数为，则，， 若发生，乙罐中红球数变为，白球数仍为，总球数为，则； 所以． 16. 已知等差数列的公差为2，且成等比数列， （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求解； (2)分组求和. 【小问1详解】 由题知 即解得， 所以. 【小问2详解】 . 17. 近期热播电影《给阿嬷的情书》非常火爆，某影评网站统计了名观众对该电影的评分情况，得到如下表格： 评价等级 ★ ★★ ★★★ ★★★★ ★★★★★ 人数 以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．现从全国所有观众中随机抽取名． （1）求恰有人评价为五星，人评价为四星的概率； （2）记其中评价为五星的观众人数为，求的分布列与数学期望、方差． 【答案】（1） （2）的分布列如下表所示： 期望为，方差为 【解析】 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的期望和方差公式可得出、的值. 【小问1详解】 由题意可知从全国所有观众中随机抽取名观众，该观众评价为五星的概率为， 该观众评价为四星的概率为， 现从全国所有观众中随机抽取名，则恰有人评价为五星，人评价为四星的概率为. 【小问2详解】 由题意可知，， ，， ，， 所以随机变量的分布列如下表所示： 由二项分布的期望和方差公式可得，. 18. 已知数列满足，． （1）证明为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）数列中，由，得， 而，所以， 因此为等比数列，其首项为1，公比为2. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证. （2）因为，利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据（1）可得，即， 则， 所以. 19. 已知函数，定义域为. （1）讨论的单调性； （2）求当函数有且只有一个零点时，的取值范围. 【答案】（1） 当时，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分和，根据二次方程根的个数以及韦达定理分析判断的符号，进而可得的单调性； （2）参变分离可得，构建，求导，利用导数判断的单调性，进而可得结果. 【小问1详解】 因为， （ⅰ）当，即时，则在内恒成立， 可知在内单调递增； （ⅱ）当，即或时，可知有两个不相等的根， 不妨令，可知， ①若，因为，可知， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； ②若，因为，可知， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：当时，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递减，在内单调递增. 【小问2详解】 若，可知在内无零点，不合题意，可知 令，整理得， 构建， 原题意等价于与的图象有且仅有一个交点， 因为， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，即在内恒成立， 可知在内单调递减， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0且； 的大致图象如图所示， 可得，即，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期末考试 高二 数学试卷 2026-7 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8道小题，每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，公比为.已知，则是数列单调递减的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 若正实数满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 7 C. 9 D. 5. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. （1，4） C. D. 二、多项选择题（本题共3道小题，每题6分，共18分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知在数学测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则（ ） （参考数据：，） A. 该校学生成绩的均值为70 B. 该校学生成绩的标准差为4 C. D. 该校学生成绩及格率超过95% 11. 已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是周期为2的周期函数 B. 的图象关于对称 C. 当时 D. 三、填空题（本题共3道小题，每题5分，共15分） 12. 函数的定义域是_________． 13. 若复数，则________． 14. 设，则满足的实数x的取值范围是__________. 四、解答题（本题共5道题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15. 甲罐中有个红球，个白球，乙罐中有个红球，个白球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐；再从乙罐中随机取出一球． （1）求在甲罐中取出白球的条件下，乙罐中取出红球的概率； （2）求乙罐中取出红球的概率． 16. 已知等差数列的公差为2，且成等比数列， （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 17. 近期热播电影《给阿嬷的情书》非常火爆，某影评网站统计了名观众对该电影的评分情况，得到如下表格： 评价等级 ★ ★★ ★★★ ★★★★ ★★★★★ 人数 以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．现从全国所有观众中随机抽取名． （1）求恰有人评价为五星，人评价为四星的概率； （2）记其中评价为五星的观众人数为，求的分布列与数学期望、方差． 18. 已知数列满足，． （1）证明为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 19. 已知函数，定义域为. （1）讨论的单调性； （2）求当函数有且只有一个零点时，的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $