精品解析：湖南省邵阳市新邵县2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2026年上期七年级期末质量检测 数学 （温馨提示：本试卷共三个大题，总分120分，考试时量120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 是分数 C. 是无理数 D. 无限小数是无理数 4. 下列各式可以用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 宽与长之比为的长方形称为“黄金长方形”，估算的取值范围在（ ） A. 0到之间 B. 到1之间 C. 1到之间 D. 到2之间 7. 如图是某公司月份生产量增长率（相对月生产量增长率于上月的增长率）统计图，仔细观察图形，下列说法正确的是（ ） A. 月份生产量有增有减 B. 1月份的生产量最大 C. 月份开始生产量下降，后来生产量回升 D. 这七个月中，生产量增长率从6月份开始回升 8. 如图所示，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 关于的不等式组有且仅有2个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70．若将两个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（ ） A. 61 B. 76 C. 80 D. 144 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为__________． 12. 生命在于运动．某校为了解七年级学生喜欢三大球（篮球、排球、足球）类项目的情况，从七年级部分班级随机抽取了名学生进行了调查（每名学生从三大球项目中选取个）．经统计，并制作了一幅不完整的扇形统计图如图所示，根据统计图提供的信息，可知被抽取的名学生中喜欢排球的人数是__________． 13. 如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧，），则点所表示的数为__________． 14. 如图所示，，，，，的面积为6，则四边形的面积为__________． 15. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________． 16. 在我们生活的世界中，平行与相交无处不在——从笔直的铁轨到高楼间的光影，从三角尺的边角设计到设计师的构图，几何关系不仅定义着形状，也隐藏着严谨的逻辑．数学课上，小明将一副直角三角板如图所示摆放在与之间，其中，，，请你解决以下问题： （1）__________． （2）小明提出了下列三个猜想：①；②；③．其中正确的有__________（填序号）． 三、解答题（本题共8个小题，共72分．解答题要有必要的文字说明） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 解不等式组，把其解集表示在数轴上，并写出不等式组的最大整数解． 20. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 21. 学校为开展“课后延时服务”，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． （1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； （2）学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，购买费用不超过2590元，问羽毛球拍至少购买多少副？ 22. 某校课后服务时间开设了多元活动班，设置“绘画、剪纸、舞蹈、摄影”四类活动课程，每名学生从中选择并且只能选择其中一类参加，学校就报名情况对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了__________名学生，在扇形统计图中，的值是__________； （2）请直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“摄影”对应的圆心角度数为__________； （4）若该校共有2000名学生，请你估计有多少名学生选择了“舞蹈”． 23. 【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为__________； （2）【思维拓展】 如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，则直线与直线的位置关系是什么？并说明理由． （3）【综合应用】 如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 24. 探究不同情境，解答下列的问题： （1）【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． （2）【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． （3）【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期七年级期末质量检测 数学 （温馨提示：本试卷共三个大题，总分120分，考试时量120分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 2. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，逐一分析选项． 【详解】解：选项A（圆中方形）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项B（方形圆径）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项C（圆材埋壁）：该图形是轴对称图形，只有过图形中点的水平1条对称轴，符合题意； 选项D（勾股容圆）：该图形的直角三角形两条直角边长度不相等，不是轴对称图象，不符合题意． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 是分数 C. 是无理数 D. 无限小数是无理数 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，平方根的定义，无理数与有理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、的平方根是，原说法错误，不符合题意； B、是无理数，而分数属于有理数，故不是分数，原说法错误，不符合题意； C、是无理数，原说法正确，符合题意； D、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，原说法错误，不符合题意． 4. 下列各式可以用平方差公式进行计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平方差公式的结构为，判断两个相乘的二项式是否满足“一项完全相同，另一项互为相反数”，符合条件即可用平方差公式计算． 【详解】解：A选项：原式整理为，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算； B选项：原式整理为，无互为相反的不同项，不符合要求； C选项：原式中既无完全相同的项，也无互为相反数的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； D选项：原式整理为，无互为相反的不同项，不符合要求． 5. 随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融入人们的日常生活．如图是共享单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， ， ， ， ， ． 6. 宽与长之比为的长方形称为“黄金长方形”，估算的取值范围在（ ） A. 0到之间 B. 到1之间 C. 1到之间 D. 到2之间 【答案】B 【解析】 【分析】先由得到，再由不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ， ， ． 7. 如图是某公司月份生产量增长率（相对月生产量增长率于上月的增长率）统计图，仔细观察图形，下列说法正确的是（ ） A. 月份生产量有增有减 B. 1月份的生产量最大 C. 月份开始生产量下降，后来生产量回升 D. 这七个月中，生产量增长率从6月份开始回升 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，根据折线图可知前5个月的增长率下降，后2个月的增长率上升，且增长率都是大于0，所以产量一直是增加的，但是具体的生产量无法判断． 【详解】解：．月份生产量增长率都是大于0，所以1~7月份生产量都是增加的，原说法错误，故本选项不符合题意； ．1月份的生产量最大，无法判断，原说法错误，故本选项不符合题意； ．月份生产量一直都在增加，原说法错误，故本选项不符合题意； ．这七个月中，生产量增长率从6月份开始回升，该说法正确，故本选项符合题意； 故选：D． 8. 如图所示，把以点为中心顺时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： A、根据旋转的性质可得，，， ∴为等边三角形， ， ， ， ∴， ∴，故A符合题意； B、根据旋转的性质可得，则不一定等于，故B不符合题意； C、根据旋转的性质可得，则不一定等于，故C不符合题意； D、只有当经过中点时，，故D不符合题意； 9. 关于的不等式组有且仅有2个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的含参问题，先求出不等式组的解集，再根据不等式组的整数解，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 解①式得 ， 解②式得 ， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有两个整数解，即整数解为：2，1． ∴m取值范围为． 故选：B． 10. 有两类正方形、，其边长分别为、，现将放在的内部得图1，将、并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为4和70．若将两个正方形和两个正方形如图3摆放，则阴影部分的面积为（ ） A. 61 B. 76 C. 80 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据图1和图2中阴影部分的面积得到，则可推出，，进而推出，据此构成方程组求出a、b的值，再计算图3中阴影部分的面积即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 联立①②可解得， ∴图3中的阴影部分的面积 ． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据非负数的性质得到方程组，解方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 12. 生命在于运动．某校为了解七年级学生喜欢三大球（篮球、排球、足球）类项目的情况，从七年级部分班级随机抽取了名学生进行了调查（每名学生从三大球项目中选取个）．经统计，并制作了一幅不完整的扇形统计图如图所示，根据统计图提供的信息，可知被抽取的名学生中喜欢排球的人数是__________． 【答案】人 【解析】 【分析】先算出排球所占的百分比，再用总人数乘这个百分比，即可得到喜欢排球的人数． 【详解】解：人． 13. 如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧，），则点所表示的数为__________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：∵正方形的面积为3， ； ∵以A点为圆心，为半径，和数轴交于E点， ， ∵点在数轴上，且表示的数为 ∴点E所表示的数为． 14. 如图所示，，，，，的面积为6，则四边形的面积为__________． 【答案】26 【解析】 【分析】利用平行四边形的判定得到四边形是平行四边形，解得，根据的面积为6求得的高，根据平行线间垂线段相等知边上的高等于边上的高求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴边上的高等于边上的高， ∴，解得， ∴． 15. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出方程组的解，再代入不等式即可解答； 【详解】 解：对于方程组 ， 将两个方程相加消去： ，得 ，解得， 把代入，得，解得 ， 把代入不等式得：，化简得， 解得：． 16. 在我们生活的世界中，平行与相交无处不在——从笔直的铁轨到高楼间的光影，从三角尺的边角设计到设计师的构图，几何关系不仅定义着形状，也隐藏着严谨的逻辑．数学课上，小明将一副直角三角板如图所示摆放在与之间，其中，，，请你解决以下问题： （1）__________． （2）小明提出了下列三个猜想：①；②；③．其中正确的有__________（填序号）． 【答案】 ①. ②. ①②③ 【解析】 【分析】（1）过点F作，则；由邻补角互补求出的度数，进而求出的度数，再证明，由平行线的性质即可得到答案； （2）可证明，据此可判断①；由（1）可判断②；求出的度数，进而求出的度数，据此可判断③． 【详解】解：（1）如图所示，过点F作， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由（1）可得，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①②③． 三、解答题（本题共8个小题，共72分．解答题要有必要的文字说明） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】, 【解析】 【详解】解：原式 ； 当，时，原式. 19. 解不等式组，把其解集表示在数轴上，并写出不等式组的最大整数解． 【答案】不等式组的解集为-3.5≤x＜4，最大整数解为3，见解析. 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：x≥-3.5， 解不等式②得：x＜4， ∴不等式组的解集为-3.5≤x＜4， 在数轴上表示不等式组的解集为： ∴不等式组的最大整数解为3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键． 20. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若平分，于点E，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据证得，又，利用等量代换可得，然后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论； （2）根据角平分线的定义得，再根据，证得，进而求得的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 学校为开展“课后延时服务”，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元，购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． （1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； （2）学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，购买费用不超过2590元，问羽毛球拍至少购买多少副？ 【答案】（1）乒乓球拍单价为60元/副，羽毛球拍单价为45元/副 （2）羽毛球拍至少购买28副 【解析】 【分析】（1）设乒乓球拍单价为元/副，羽毛球拍单价为元/副，根据题意，列出二元一次方程组，进行求解即可； （2）设羽毛球拍购买副，则乒乓球拍购买副，根据题意，列出不等式进行求解即可. 【小问1详解】 解：设乒乓球拍单价为元/副，羽毛球拍元/副，依题意，得 ， 解得； 答：乒乓球拍单价为60元/副，羽毛球拍单价为45元/副． 【小问2详解】 解：设羽毛球拍购买副，则乒乓球拍购买副． 依题意，得， 解得； 答：羽毛球拍至少购买28副． 22. 某校课后服务时间开设了多元活动班，设置“绘画、剪纸、舞蹈、摄影”四类活动课程，每名学生从中选择并且只能选择其中一类参加，学校就报名情况对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了__________名学生，在扇形统计图中，的值是__________； （2）请直接补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“摄影”对应的圆心角度数为__________； （4）若该校共有2000名学生，请你估计有多少名学生选择了“舞蹈”． 【答案】（1） （2） （3） （4）名 【解析】 【分析】（1）根据“样本总量某部分的数量该部分的占比”求出样本总量；用样本总量减去其他部分的数量得到舞蹈的人数求解； （2）用样本总量减去其他部分的数量得到舞蹈的人数求解，补全条形统计图即可； （3）用减去其他部分的占比得到摄影在样本中的占比，再用该占比乘以求解； （4）根据“某部分的总量该部分在样本中的占比总量”求解． 【小问1详解】 解：剪纸的人数为20人，占比为， ∴样本总量（名）， 舞蹈的人数为（名）， ， ∴样本总人数为名，舞蹈人数占比为． 【小问2详解】 解：舞蹈的人数为（名）， 条形统计图略： 【小问3详解】 解：， ． 【小问4详解】 解：（名）， ∴有名学生选择了“舞蹈”． 23. 【观察发现】 （1）如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，为折痕；再将另一角折叠，使顶点落在上的处，折痕为，则的度数为__________； （2）【思维拓展】 如图2，已知两条平行线，被所截，交点分别为，，分别作和的平分线，，两线相交于点，则直线与直线的位置关系是什么？并说明理由． （3）【综合应用】 如图3，当与不平行时，连接，且同时平分和，则，和之间的数量关系是什么？写出你的猜想并证明． 【答案】（1） （2）解：直线与直线垂直，理由如下： 如图所示，过点K作， ∵，， ∴， ∴； ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴， ∴直线与直线垂直； （3）解：，证明如下： 如图，过点作平分，过点作平分， 平分，平分， ，， ， ，即， 同理可得， ∴， ； 如图所示，过点作， ， ，， ， 平分，平分， ，， ． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，再由平角的定义可得，据此可得答案； （2）过点K作，则，由平行线的性质可得；由角平分线的定义推出，则可证明，则直线与直线垂直； （3）过点作平分，过点作平分，先由角平分线的定义和平角的定义得出，，进而得，过点作，得，根据两直线平行内错角相等得，，再结合角平分线的定义，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 探究不同情境，解答下列的问题： （1）【探索】观察图1，图2，请根据，，之间的等量关系解决问题：若，，则的值是__________． （2）【应用】如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，．该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为120平方米，米，求种草区域的面积和． （3）【拓展】利用7张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为，若不论的长为何值时，为定值． ①求与之间的数量关系． ②若，求的定值． 【答案】（1） （2）平方米 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）用两种不同的方法表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将，代入求解即可； （2）设，由题意得，，，根据代入计算即可． （3）①根据长方形的面积得，结合永远为定值，整理得，根据，则，即可作答；②根据（3）①所求代入求值即可． 【小问1详解】 解：图1中4个小长方形的面积为， 图2中4个小长方形的面积为， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设米，米， 由题意得，米， ∵种花区域的面积和为120平方米 ∴，即， ∴ （平方米）， 答：种草区域的面积和为80平方米． 【小问3详解】 解：①∵长方形的面积为，长方形的面积为， ∴， ∴， ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， 即a与b之间的数量关系为； ②由（3）①得，， ∴当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $