精品解析：湖南长沙市宁乡市2025－2026学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级数学 （满分：120分 时量：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对“122交通安全专题”相关知识的掌握情况,小明计划进行抽样调查,你认为以下方案中最合理的是( ) A. 抽取甲校七年级学生进行调查 B. 在四个学校随机抽取200名老师进行调查 C. 在乙校中随机抽取200名学生进行调查 D. 在四个学校各随机抽取200名学生进行调查 6. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 已知球的体积公式为（为球的半径），若某小球的体积为，则该小球的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，若大长方形的周长为，设小长方形的长为、宽为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 某次素养竞赛中有道选择题，答对记分，答错不计分，每道题在A，B，C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和这道题的得分情况： 题号 同学 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 得分 甲 C A B C B 乙 C B B C C 丙 C C B B B 丁 C C B B A 则乙同学的得分是：（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 4的算术平方根是_____． 12. 如图，直线与相交于点，，，则的度数为________． 13. 在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 14. 不等式的所有正整数解之和为________． 15. 关于，的方程组的解满足，则________． 16. 某学校七年级三班有名学生，现对学生最喜欢的球类运动进行了调查，根据调查的结果制作了扇形统计图如图所示． 根据扇形统计图中提供的信息，给出以下结论： ①最喜欢足球的人数最多，达到了人； ②最喜欢羽毛球的人数最少，只有人； ③最喜欢排球的人数比最喜欢乒乓球的人数少人； ④最喜欢乒乓球的人数比最喜欢篮球的人数多人． 其中正确的结论有______（填序号）． 三、本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 19. 如图，已知的三个顶点坐标分别是． （1）将向上平移个单位长度得到，请画出； （2）请直接写出的坐标； 20. 在平面直角坐标系中，点． （1）若点与轴的距离为，求的值； （2）若点在过点且与轴平行的直线上，求的面积． 21. 为落实中小学“五个一培育工程”劳动教育要求，某校七年级在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动．开学后，从七年级随机抽取名学生，调查了他们暑假期间每日平均劳动时长（单位：），并对数据进行了收集、整理和描述．下面是其中的部分信息： 名学生每日平均家务劳动时长频数分布表： 分组 合计 频数 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的组距是________，________； （2）求出频数分布表中的值并补全频数分布直方图； （3）学校将每日平均家务劳动时长不少于的学生评为“劳动实践小标兵”，如果该校七年级共有名学生，请估计获奖的学生人数． 22. 学校文具店准备购进两种书包，每个种书包的进价比种书包的进价少20元，购9个种书包和购7个种书包的费用一样． （1）求两种书包每个进价各是多少元？ （2）文具店计划购进种书包的个数比购进种书包的2倍还多5个，且种书包不少于17个，购进两种书包的总费用不超过4950元，则该文具店有哪几种进货方案？ 23. 如图，点在直线上，，与互余，是上一点，连接． （1）求证：． （2）若平分，，求的度数． 24. 阅读材料：在解方程组时，棒棒同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，原方程组可变为，解得，即，解得． （1）方法领悟：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________； （2）学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； （3）拓展提升：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 25. 如图，在平面直角坐标系中，坐标分别为，且满足：，现同时将点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点，连接，． （1）_____，_____，四边形的面积_____； （2）点是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与重合），的值是否发生变化，并说明理由； （3）已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学 （满分：120分 时量：120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：依题意，观察四个选项，能用其中一部分平移得到的是D选项． 2. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，对各选项判断即可得到结果． 【详解】A、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； B、是分数，属于有理数； C、是有限小数，可化为分数，属于有理数； D、是整数，属于有理数． 3. 点所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的横纵坐标符号及不同象限内点的坐标特点即可求解． 【详解】∵-3<0，1>0 ∴点所在象限是第二象限 故选：B 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中，不同象限点的坐标特征． 4. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】∵，∴ ，故A错误； ∵，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，∴，故B正确； ∵，不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，∴，故C错误； ∵，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，∴，故D错误． 5. 为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对“122交通安全专题”相关知识的掌握情况,小明计划进行抽样调查,你认为以下方案中最合理的是( ) A. 抽取甲校七年级学生进行调查 B. 在四个学校随机抽取200名老师进行调查 C. 在乙校中随机抽取200名学生进行调查 D. 在四个学校各随机抽取200名学生进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】根据抽样调查的具体性和代表性对选项进行分析即可． 【详解】解：为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，在四个学校各随机抽取200名学生进行调查最具有具体性和代表性. 故选：D． 【点睛】本题考查抽样调查相关，解题的关键是理解抽样调查具有具体性和代表性的特征． 6. 把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用两直线平行内错角相等求解即可． 【详解】解：由题意两条直线平行， ， ， ． 7. 已知球的体积公式为（为球的半径），若某小球的体积为，则该小球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知体积代入球的体积公式，解关于的方程即可得到结果． 【详解】解：∵小球体积 ，代入公式， ∴， 两边约去，整理得 ， ∴． 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 9. 如图，将四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，若大长方形的周长为，设小长方形的长为、宽为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过小长方形长、宽表示大长方形的长、宽之和，以及大长方形宽的不同表示方法，找出等量关系列方程组． 【详解】解：大长方形的周长为30， 大长方形的长、宽之和为15， 即， 由图得，， ． 10. 某次素养竞赛中有道选择题，答对记分，答错不计分，每道题在A，B，C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和这道题的得分情况： 题号 同学 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 得分 甲 C A B C B 乙 C B B C C 丙 C C B B B 丁 C C B B A 则乙同学的得分是：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】甲得分，说明仅错道题，通过分情况讨论甲错的题号，结合丙、丁的得分验证，推出道题的正确选项，再计算乙的得分即可． 【详解】解：∵甲得分， ∴甲仅错道题，分情况讨论： ①若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第题A，第题B，第题C，第题B，此时丁仅对第题，得分，与丁得分矛盾，不符合题意； ②若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第1题C，第题B，第题C，第题B，此时丙对第、、题，得分，与丙得分矛盾，不符合题意； ③若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第1题C，第题A，第题C，第题B，此时丁仅对第题，得分，与丁得分矛盾，不符合题意； ④若甲错第题，则其余道正确，正确答案为第题C，第题A，第题B，第题B，此时丙对第、、题，得分，与丙得分矛盾，不符合题意； ⑤若甲错第题，则其余道正确，即第题C，第题A，第题B，第题C正确，且第题不是B。此时丙答案为C、C、B、B、B，对第题、第题，得分，符合丙得分， ∵丁得分，丁答案为C、C、B、B、A，已对第题、第题得分， ∴第题A正确，刚好得分，符合条件． ∴道题的正确答案依次为C、A、B、C、A，对照乙的答案C、B、B、C、C，乙答对第题、第题、第题，共得分． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 4的算术平方根是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 12. 如图，直线与相交于点，，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：直线与相交于点，， ， ， ， ． 13. 在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系中两点中点坐标的计算公式，分别计算中点的横坐标和纵坐标即可求解． 【详解】解：∵，， ∴线段的中点坐标是，即． 14. 不等式的所有正整数解之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解该一元一次不等式，得到解集后找出解集中的所有正整数，再计算所有正整数解的和即可． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 为正整数， 的取值为，， 所有正整数解之和为． 15. 关于，的方程组的解满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程组两式相加可得，化简得，结合列出关于a的方程求解即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， ， ， 解得，． 16. 某学校七年级三班有名学生，现对学生最喜欢的球类运动进行了调查，根据调查的结果制作了扇形统计图如图所示． 根据扇形统计图中提供的信息，给出以下结论： ①最喜欢足球的人数最多，达到了人； ②最喜欢羽毛球的人数最少，只有人； ③最喜欢排球的人数比最喜欢乒乓球的人数少人； ④最喜欢乒乓球的人数比最喜欢篮球的人数多人． 其中正确的结论有______（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比．利用各部分占总体的百分比，分别求出各部分的具体数量，即可作出判断． 【详解】①最喜欢足球的人数最多，达到了人； ②最喜欢羽毛球的人数最少，只有人； ③最喜欢排球的人数比最喜欢乒乓球的人数少人； ④最喜欢乒乓球的人数比最喜欢篮球的人数多人； 故答案为：①②③④ 三、本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算乘方、算术平方根、立方根、化简绝对值，然后进行加减运算即可． 【详解】解： 18. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上的表示如图所示： 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 19. 如图，已知的三个顶点坐标分别是． （1）将向上平移个单位长度得到，请画出； （2）请直接写出的坐标； 【答案】（1）见解析 （2），， 【解析】 【分析】本题考查了平移作图以及由平移方式确定点的坐标，掌握相关结论即可． （1）确定各顶点向上平移个单位长度的对应点即可完成作图； （2）根据图形即可求解. 【小问1详解】 解：向上平移个单位长度， ∴根据图形平移的规律，如图所示， ∴即为所求图形． 【小问2详解】 解：由（1）中的图形的位置可得，，，． 20. 在平面直角坐标系中，点． （1）若点与轴的距离为，求的值； （2）若点在过点且与轴平行的直线上，求的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由点与轴的距离为9，可得，再结合绝对值的性质解题即可； （2）根据点在过点且与轴平行的直线上，即，解得的值，继而解得点的坐标，得的长，最后由三角形面积公式解题． 【小问1详解】 解：∵点，点与轴的距离为， ，解得或； 【小问2详解】 解：∵点在过点且与轴平行的直线上， ∴点的横坐标为， ，解得， ， ， ， ． 21. 为落实中小学“五个一培育工程”劳动教育要求，某校七年级在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动．开学后，从七年级随机抽取名学生，调查了他们暑假期间每日平均劳动时长（单位：），并对数据进行了收集、整理和描述．下面是其中的部分信息： 名学生每日平均家务劳动时长频数分布表： 分组 合计 频数 根据以上信息，回答下列问题： （1）频数分布表中的组距是________，________； （2）求出频数分布表中的值并补全频数分布直方图； （3）学校将每日平均家务劳动时长不少于的学生评为“劳动实践小标兵”，如果该校七年级共有名学生，请估计获奖的学生人数． 【答案】（1）， （2）， （3）估计被评为“劳动实践小标兵”的学生有名 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图可得组距以及的值； （2）用减去其他已知的人数即可得的值，根据的值补全直方图即可； （3）用乘以每日平均家务劳动时长达到及以上的学生所占百分比即可得． 【小问1详解】 根据频数分布直方图可知组距为，； 【小问2详解】 所有组的频数和为， ∴，图略； 【小问3详解】 （名）， 答：估计被评为“劳动实践小标兵”的学生有名． 22. 学校文具店准备购进两种书包，每个种书包的进价比种书包的进价少20元，购9个种书包和购7个种书包的费用一样． （1）求两种书包每个进价各是多少元？ （2）文具店计划购进种书包的个数比购进种书包的2倍还多5个，且种书包不少于17个，购进两种书包的总费用不超过4950元，则该文具店有哪几种进货方案？ 【答案】（1）种书包每个进价为元，种书包每个进价为元 （2）该文具店共有种进货方案， 方案：购进种书包个，种书包个； 方案：购进种书包个，种书包个． 【解析】 【分析】（1）设每个种书包的进价为元，每个种书包的进价为元，建立二元一次方程组求解即可； （2）设购进种书包个，则购进种书包个，根据“购进种书包不少于17个，购进两种书包的总费用不超过4950元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 【小问1详解】 解：设每个种书包的进价为元，每个种书包的进价为元， 依题意得， 解得， 答：种书包每个进价为元，种书包每个进价为元； 【小问2详解】 解：设购进种书包个，则购进种书包个， 依题意得， 解得． 又∵为正整数， ∴可以取，， 当时，购进种书包（个）， 当时，购进种书包（个）， ∴该文具店共有种进货方案， 方案：购进种书包个，种书包个； 方案：购进种书包个，种书包个． 23. 如图，点在直线上，，与互余，是上一点，连接． （1）求证：． （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， 又与互余， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直得，进而得，由互余得，根据同角的余角相等得到，再利用“内错角相等，两直线平行”即可求证； （2）先根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再由角平分线得，进而根据计算的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 平分， ， 又，， ． 24. 阅读材料：在解方程组时，棒棒同学采用了一种“整体换元”的解法．把，看成一个整体，设，，原方程组可变为，解得，即，解得． （1）方法领悟：已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为________； （2）学以致用：请用“整体换元”的方法，解方程组； （3）拓展提升：已知关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程的解的含义可得，求解即可； （2）设，，进一步可得，再解方程即可； （3）把原方程组化为，结合方程的解的含义可得，进一步解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于的方程组的解为， ∴关于，的方程组的解满足， 解得； 【小问2详解】 解：设，， ∴原方程组可化为， 解得， ， 解得； 【小问3详解】 解：方程组， 可化为， 又∵方程组的解为， ， 解得． 25. 如图，在平面直角坐标系中，坐标分别为，且满足：，现同时将点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点，连接，． （1）_____，_____，四边形的面积_____； （2）点是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与重合），的值是否发生变化，并说明理由； （3）已知点在轴上，连接、，若的面积与四边形的面积相等，直接写出点的坐标． 【答案】（1）3；5；15； （2）不发生变化；理由见详解； （3）或 【解析】 【分析】（1）由，根据非负数的性质得，，则，，由平移得，，且四边形是平行四边形，即可求得四边形的面积为15； （2）由及三角形内角和定理可推导出，所以，可知的值不发生变化； （3）设点M的坐标为，分三种情况，一是点M在直线的上方，则；二是点M在x轴的下方，且点D在的外部，则；三是点M在x轴的下方，且点D在的内部，则，分别列方程求出符合题意的m的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， 点分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点的对应点， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：不发生变化， 理由：如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值不发生变化； 【小问3详解】 解：设点M的坐标为， 由（1）得，， ∴， 如图2，点M在直线的上方， ∵， ∴， 解得； 如图3，点M在x轴的下方，且点D在的外部， ∵， ∴， ∴解得，不符合题意，舍去， 如图4，点M在x轴的下方，且点D在的内部， ∵， ∴， 解得， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】运用数形结合与分类讨论数学思想解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $