精品解析：甘肃省兰州市城关区兰州海亮实验学校2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

数学 九年级 一、选择题（共11小题） 1. 下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程． ∵选项A中未规定，当时，方程不是二次方程， ∴A不符合要求； ∵选项C中含有和两个未知数， ∴C不符合要求； ∵选项D中分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程， ∴D不符合要求； 选项B满足一元二次方程的所有条件． 3. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A，∵，分子分母含有公因式，可以约分，∴A不是最简分式； 选项B，与没有公因式，无法约分，∴B是最简分式； 选项C，∵，分子分母含有公因式，可以约分，∴C不是最简分式； 选项D，∵，分子分母含有公因式，可以约分，∴D不是最简分式． 4. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为0的内容，当分式的值为0时，即分子为，分母不为，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选：B． 5. 将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形中，，求出，根据即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 6. 若多项式可分解为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先展开因式分解后的式子，利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再计算即可． 【详解】首先展开因式分解后的式子 又原多项式为，两个多项式相等对应系数相等 ∴， 将代入得 ∴ 故选：C． 7. 如图，在四边形中，，添加下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、添加条件，结合，可以根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、由可得，添加条件不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D、添加条件，由可得，则可得到，进而得到，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 8. 如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等，由线段垂直平分线的性质得，即得，由直角三角形两锐角互余得，进而由三角形外角性质可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式组，得到，根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式；再解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解：， 由①得， ， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． ， 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 10. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 1 B. 1或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式方程增根的定义，先确定增根的取值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值. 【详解】∵原分式方程有增根， ∴最简公分母，解得增根为， 方程两边同乘去分母，得： ， 整理得： ， 将增根代入上式，得： ， 解得． 11. 如图，中，cm，，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为10cm时点E的运动时间是（ ） A. 6s B. 6s或10s C. 8s D. 8s或12s 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点G，由，可得是等腰直角三角形，过点F作于点H，得矩形，利用勾股定理得，由题意可得，，然后列方程求出t的值即可． 【详解】解：在中，cm， 如图，过点D作于点G， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点F作于点H，则：四边形为矩形， ∴， ∵cm， ∴， 由题意可知：， ∴， ∴cm， ∴， 解得， ∴的长为10cm时，点E的运动时间是8s， 由题意可知，点E运动最大时间为11s. 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质，构造直角三角形，是解题的关键． 二、填空题（共4小题） 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 13. 在中，，，，点、、分别是边、、的中点，连接，则的周长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理分别求出、、，然后计算即可．掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点、、分别是边、、的中点，，，， ∴，，， ∴， ∴的周长是． 故答案为：． 14. “头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为_____________． 【答案】0.960 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用频率估计概率即可． 【详解】解：∵头盔的合格频率稳定在0.960附近， ∴抽查一个头盔，合格的概率约为0.960． 故答案为：0.960． 15. 如图所示，是的角平分线，于点E，于点F，，，，则的长为__________cm． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线的性质可知，然后根据，利用三角形的面积公式可得等量关系式，进而可求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式和角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 三．解答题（共11小题） 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的确定原则，得到两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： ， 解不等式①，移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 解不等式②，两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 所以原不等式组的解集为． 17. 解方程 【答案】 【解析】 【分析】本题是分式方程，先分解右端分母得到最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后检验得到原方程的解． 【详解】解：原方程为分式有意义，则，即且， 将方程两边同时乘以最简公分母，得， 展开括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， 检验：当时，，满足条件． ∴原分式方程的解为． 18. 解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：在方程中，，，， ， ∴， ，． 19. 先化简，再求值：从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值知识点，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则，对原式进行正确化简，并注意分式有意义的条件． 先对原式括号内的式子进行通分计算，再将除法转化为乘法进行约分化简，最后根据分式分母不为零的条件选取合适的值代入求值． 【详解】解：原式 ， 在化简过程中出现在分母中的因式， 有、、， ，，， ，，， 当时，原式． 20. 如图1，两条交叉马路，中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置?如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的实际应用，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质．作的平分线和线段的垂直平分线，则交点即为所求点． 【详解】解：如图，点为所求； 21. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 【答案】（1）证明见解析；（2）78° 【解析】 【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到； （2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）k的值为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 23. 如图，在四边形中，点在边上，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ． ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质结合等量代换，推出，即可得证； （2）根据平行线的性质，角平分线的定义，求出的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， 平分， ， ， ， . 24. 某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为2400台．公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的2倍．先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人； （2）首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产40天该款智能机器人，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍，要使这40天的智能机器人生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】（1）甲车间每天生产240台智能机器人，乙车间每天生产120台智能机器人 （2）要使这40天的生产总量最大，应安排甲车间生产30天，乙车间生产10天 【解析】 【分析】（1）设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人，结合先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务，再建立分式方程求解即可． （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这40天的生产总量为台，进一步利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人， 根据题意得，解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（台）． 答：甲车间每天生产240台智能机器人，乙车间每天生产120台智能机器人． 【小问2详解】 解：设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这40天的生产总量为台， 根据题意，得，． ∵，∴随的增大而增大． ∵安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍， ∴，解得， 由于天数不能为负数， ∴．． ∴当时，取得最大值，此时（天）． 答：要使这40天的生产总量最大，应安排甲车间生产30天，乙车间生产10天． 25. 综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？  探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 【答案】（1）； （2）证明：， ， 即：， 由旋转知，； 在和中， ， ， ； （3）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． （1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明，从而得出结论； （3）①分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果； ②根据旋转的性质进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：①如图1， 当时，， ，， ， ， 如图2， 当时，， ， 如图3， 当时，， ， 此时和重合，这种情形不存在． 综上所述：或． ②如图： 当时， ， ， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ， ， 旋转角为． 26. 1637年笛卡尔（R．Descartes，1596-1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知：当时，原式． 原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为，则， ， 等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知． 当________时，原式． 所以原式可分解为________与另一个整式的积． 若设另一个整式为，则________，________． （2）已知多项式（为常数）有一个因式是， 求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程． 请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． … （3）已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为________，的值为________． 【答案】（1）；；； （2）解：设另一个因式为，则， 展开右侧：， 左右两边同次项系数相等：， 由得， ∴另一个因式为 代入：， ∴另一个因式为，． （3） ； 【解析】 【分析】（1）先代入整数试根找到使原式等于0的值，确定一次因式，再展开等式右侧多项式，对比等式两边同次幂系数列方程组，解方程组得到、即可； （2）先设出二次因式，展开右侧乘积式，根据左右两边同次项系数相等列出三元一次方程组，依次求出、，再计算的值，写出另一个因式即可； （3）先设出另一个一次因式，展开等式右侧多项式，对比一次项系数求出未知常数，确定另一个因式，再根据常数项等量关系求出的值即可． 【小问1详解】 解：原式：， 试根：代入，， 当时，原式， 原式可分解为与另一个整式的积， 设， 展开右侧：， 对比系数：， 解得：，， 故答案为：；；；． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 设 展开右侧：， 对比一次项系数：，得， ∴另一个因式为， 常数项关系：， 代入，得， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 九年级 一、选择题（共11小题） 1. 下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式中是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 5. 将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 若多项式可分解为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 如图，在四边形中，，添加下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，边的垂直平分线分别交于点，连接．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的不等式组有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 10. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ） A. 1 B. 1或 C. D. 或 11. 如图，中，cm，，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为10cm时点E的运动时间是（ ） A. 6s B. 6s或10s C. 8s D. 8s或12s 二、填空题（共4小题） 12. 因式分解：________． 13. 在中，，，，点、、分别是边、、的中点，连接，则的周长是________． 14. “头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为_____________． 15. 如图所示，是的角平分线，于点E，于点F，，，，则的长为__________cm． 三．解答题（共11小题） 16. 解不等式组： 17. 解方程 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：从，0，1，2中选择一个适当的数作为的值代入求值． 20. 如图1，两条交叉马路，中间区域建有A，B两个温室花房．现要在两条马路，之间的空场处建鲜花交易中心P，使得交易中心P到两条马路，的距离相等，且到两个温室花房A，B的距离也相等．如何确定交易中心P的位置?如图2，利用尺规作图求作点P（不写作法，保留作图痕迹）． 21. 如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点 （1）求证：； (2)若，，求的度数. 22. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 23. 如图，在四边形中，点在边上，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）若平分，，，求的度数． 24. 某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为2400台．公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的2倍．先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人； （2）首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产40天该款智能机器人，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍，要使这40天的智能机器人生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 25. 综合与实践，问题情境∶活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到(点D，E分别是点B，C的对应点)，旋转角为(，设线段与相交于点M，线段分别交于点O，N． 特例分析∶（1）如图2，当旋转到时，求旋转角的度数？  探究规律∶（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸∶（3）①求出当是等腰三角形时旋转角α的度数． ②在图3中，作直线，交于点P，直接写出当是直角时旋转角的度数． 26. 1637年笛卡尔（R．Descartes，1596-1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知：当时，原式． 原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为，则， ， 等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知． 当________时，原式． 所以原式可分解为________与另一个整式的积． 若设另一个整式为，则________，________． （2）已知多项式（为常数）有一个因式是， 求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程． 请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． … （3）已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为________，的值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $