精品解析：甘肃省兰州市城关区兰州天庆实验中学2023-2024学年下学期八年级数学期末试卷

2023-2024学年天庆第二学期八年级数学期末考试试卷 一．选择题（共12小题） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 小龙同学在“百度”搜索引擎中输入“新质生产力”，能搜索到与之相关的结果的条数约万，将这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式：，其中即可作答． 【详解】根据科学记数法：万 故选：B． 3. 中国的航天事业蓬勃发展，取得了显著的进展和突破．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 4. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式积的形式，因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定．符合因式分解的基本特点为：几个整式，积的形式． 【详解】解：在A、B、D中，最后的结果都不是积的形式，应排除；只有C符合定义． 故选择：C 【点睛】本题考查因式分解的定义，分解因式就是把一个多项式化为几个整式积的形式，其特点是左边是多项式，右边是几个整式积的形式．把握其特点是解题的关键． 5. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断选择即可．本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴一定成立， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴，不一定成立， 故D符合题意； 故选D． 6. 如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、当，时，四边形可能为等腰梯形，所以不能证明四边形为平行四边形，故A符合题意； B、，，一组对边分别平行且相等，可证明四边形为平行四边形，故B不符合题意； C、，，两组对边分别平行，可证明四边形为平行四边形，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故D不符合题意． 故选：A． 7. 如图，是在五边形ABCDE的一个外角，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，关键是根据补角的定义得到，根据五边形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵, ∴, ∴， 故选B． 8. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 9. 已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的面积等于（ ） A. 8 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，选判断这个等腰三角形的底为4，腰为8，再根据勾股定理求出底边上的高即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当4为腰，底为8时，， ∴不能构成三角形， 当8为腰，底为4时，4，8，8能构成三角形， ∴这个等腰三角形的底为4，腰为8，如图，为底边上的高， ∴，， ∵为等腰三角形，为底边上的高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 将分式中的、都扩大到 倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到 倍 C. 扩大到倍 D. 扩大到倍 【答案】B 【解析】 【分析】将原分式中的、分别替换为、，根据分式的基本性质化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：∵把、都扩大到3倍后，则用替换，替换， ∴ ∵原分式为， ∴新分式的值是原分式的 倍， 即分式的值扩大到 倍． 11. 关于 的不等式组恰有三个整数解，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有三个整数解，即可确定整数解，然后得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解： 解不等式①，得x>m. 解不等式②，得x3. ∴不等式组得解集为m<x3. ∵不等式组有三个整数解， ∴. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 12. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC，PFCD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论： ①AP＝EF； ②PFE＝BAP； ③PD＝EF； ④APD可能是等腰三角形． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质证明，得出，由，证明四边形PECF是矩形，得出，进而得出，可知①符合题意；由矩形的性质证明，得出，进而得出，可知②符合题意；由正方形的性质结合矩形的性质得出是等腰直角三角形，进而得出，由直角三角形的斜边大于直角边，可知，故，可知③不符合题意；只有或或时，才是等腰三角形，可知④符合题意；即可得出答案． 【详解】解：如图，连接PC， 四边形ABCD是正方形， ，， 在和中， （SAS） ，， ，， ， 四边形PECF是矩形， ， ， 故①符合题意； 四边形PECF是矩形， ，， 在和中， （SAS） ， ， ， 故②符合题意； 四边形PECF是矩形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故③不符合题意； 点P在BD上， 只有或或时，才是等腰三角形， 故④符合题意； 综上，①②④符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的斜边大于直角边、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定． 二．填空题（共2小题） 13. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 14. 要使代数式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】由分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可得到答案． 【详解】解：有意义，则有： ， 解得且 故答案为：且． 【点睛】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15. 如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧在内部相交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了角平分线的性质．过点作于点，如图，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解:过点作于点，如图 由题意作图得平分 ， ， 故答案为:. 16. 如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形中位线的性质．延长交于N，利用证得，求得，，再根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：延长交于N， 平分，， ，， 又， ， ，， ， ∵点E是的中点， ， 则是的中位线， ∴， 故答案为：2． 三．解答题（共12小题） 17. 先化简，再从，0，3，中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算，进行化简，再代入一个使分式有意义的值，计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴当时，原式． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． (1) 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解； (2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 ， 解：去分母，得： 检验：当时， 是原方程的解． 【小问2详解】 解：去分母，得： 检验：当时， ∴是原方程的增根 ∴原方程无解． 19. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出向左平移 5 个单位长度后得到的并写求 出 的坐标； （2）请画出 关于原点对称的并写出 的坐标； （3）在 x 轴上求作一点 P ，使的周长最小，请画出．并写出点 P 的坐标． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析， （3）图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查平移以及性质是性质和作图，熟练掌握图形在直角坐标系中的平移，旋转得性质是解题的关键； （1）根据平移的方法，结合方格，将A，B，C三个点进行平移，得到对应点，顺次连接对应点即可； （2）可以根据关于原点对称的方法，得到A，B，C三点旋转的点的坐标，由此可得； （3）根据轴对称求最短路线的问题，先作出A关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点就是P点，由此可以得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，点的坐标为： 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，点的坐标为． 【小问3详解】 解：如图所示，点P 即为所求； 21. 计算：当m为何值时，关于x的方程会产生增根？ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根问题，化分式方程为整式方程，求出，然后求出增根为，然后代入求解即可． 【详解】解： 方程的两边都乘以，得 化简，得． ∵当时，即时，方程有增根 ∴当时，； 当时，． ∴当或时，关于x的方程会产生增根． 22. 为进一步增强中小学生“知危险会避险“的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 这名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图： 这名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表： 参与奖 优秀奖 卓越奖 第一次竞赛 人数 平均分 第二次竞赛 人数 平均分 （规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖；分数，获参与奖） 第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：                                两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 第一次竞赛 第二次竞赛 根据以上信息，回答下列问题： （1）小松同学第一次竞赛成绩是分，第二次竞赛成绩是分，在图中用“”圈出代表小松同学的点； （2）直接写出，的值； （3）哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高？请说明你的理由（至少两个方面）． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据这名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标是，纵坐标是的点即代表小松同学的点； （2）根据平均数和中位数的定义可得和的值； （3）根据平均数，众数和中位数这几方面的意义解答可得． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 解：， 第二次竞赛获卓越奖的学生有人，成绩从小到大排列为：                              ， 第一和第二个数是名学生成绩中第和第个数， ， ，； 【小问3详解】 解：可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是：第二次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都高于第一次竞赛． 【点睛】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键． 23. 如图，在中，连接，在的延长线上取一点，在的延长线上取一点 ，使，连接、．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形，则，，故有，再通过线段和差得，证明，根据性质得，从而可证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 24. 如图，一次函数与的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数与的图象与 轴分别相交于点，，求的面积； （3）结合图象，直接写出时 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式之间的关系，两直线交点坐标的求法和三角形面积的求法，求出点A、B、C的坐标是解题的关键． （1）将两个函数表达式联立解得，即可得点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据两函数图象和点A的坐标即可得到不等式解集． 【小问1详解】 解：当时， ， 解得， ∴ ∴点A 的坐标为． 【小问2详解】 解：当 时，， 解得， 则点坐标为； 当 时，， 解得， 则点坐标为． ， 的面积． 【小问3详解】 解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴当时， 的取值范围是． 25. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ． ， ， 于点 ，于点， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点 ，于点，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； （2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出即可． 本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，，， ，， ，， 在中，， ， 即， ． 26. 某商城销售A，B两种自行车，A型自行车售价为2200元/辆，B型自行车售价为1750元/辆，每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元，商城用80000元购进A型自行车的数量与用64000元购进B型自行车的数量相等． （1）求A，B两种自行车的进价分别是多少元/辆？ （2）现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车m辆，这100辆自行车的销售总利润为w元，要求购进B型自行车数量不少于A型自行车数量的2倍，且A型车辆至少30辆，请用含m的代数式表示w，并求获利最大的方案以及最大利润． 【答案】（1）A，B两种自行车的进价分别是2000元/辆，1600元/辆；（2）w=50m+15000，获利最大的方案时A型自行车33辆，B型自行车67辆，最大利润是16650元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以用含m的代数式表示出w，然后根据一次函数的性质即可解答本题． 【详解】（1）设每辆B型自行车的进价为x元，则每辆A型自行车的进价是（x+400）元，根据题意得： 解得：x=1600． 经检验，x=1600是原分式方程的解，∴x+400=2000． 答：A型自行车的进价是2000元/辆，B型自行车的进价是1600元/辆． （2）由题意可得：w=（2200﹣2000）m+（1750﹣1600）（100﹣m）=50m+15000． ∵100﹣m≥2m且m≥30，解得：30≤m≤． ∵m是整数，∴当m=33时，w取得最大值，此时w=16650，100﹣m=67． 即w=50m+15000，获利最大的方案时A型自行车33辆，B型自行车67辆，最大利润是16650元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程和函数的思想解答． 27. 如图①，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： （1）的度数是 　　；线段，，之间的数量关系是 　　； （2）如图②，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定与性质，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先判断出，即可判断出，即可得出，即可得出； （2）先证，推出，根据是等腰直角三角形，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由旋转可知， ，． ，， 是等边三角形， ∴，， ∵ ， ． 在和中， ， ， ，， ， 即． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：． ∵，， ∴， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 28. 阅读下列材料： 材料一：对于一个百位数字不为0的四位自然数，以它的百位数字作为十位，十位数字作为个位，得到一个两位数，若等于的千位数字与个位数字的平方差，则称数为“平方差数”． 例如：7136是“平方差数”，因为，所以7136是“平方差数”； 又如：4251不是“平方差数”，因为，所以4251不是“平方差数”． 材料二：我们有时可以利用分解因数的方法解决求整数解的问题，例如：若，为两个正整数（），且，则，为18的正因数，又因为18可以分解为或或，所以方程的正整数解为或或． 根据上述材料解决问题： （1）判断9810，6361是否是“平方差数”？并说明理由； （2）若一个四位“平方差数”，将它的千位数字、个位数字及相加，其和为30，求所有满足条件的“平方差数”． 【答案】（1）9810是“平方差数”，6361不是“平方差数”，理由见解析 （2）8157或6204或5250或5241 【解析】 【分析】（1）直接根据“平方差数”的概念求解即可； （2）设的千位数字为，个位数字为，则，由题意得，再分解正因数求解即可． 【小问1详解】 9810是“平方差数”， ∵， ∴9810是“平方差数”； 6361不是“平方差数”， ∵， ∴6361不是“平方差数”． 【小问2详解】 设的千位数字为，个位数字为，则， 由题意得， 即． ∵，且均为30的正因数， ∴将30分解为或或． ①， 解得，即； ②， 解得，即； ③， 解得，即； 解得，即． ∴或6204或5250或5241 【点睛】本题考查了因式分解的应用，新定义下的阅读理解，解决问题的关键是找到等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年天庆第二学期八年级数学期末考试试卷 一．选择题（共12小题） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 小龙同学在“百度”搜索引擎中输入“新质生产力”，能搜索到与之相关的结果的条数约万，将这个数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 中国的航天事业蓬勃发展，取得了显著的进展和突破．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是在五边形ABCDE的一个外角，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 9. 已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的面积等于（ ） A. 8 B. C. 或 D. 10. 将分式中的、都扩大到 倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到 倍 C. 扩大到倍 D. 扩大到倍 11. 关于 的不等式组恰有三个整数解，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC，PFCD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论： ①AP＝EF； ②PFE＝BAP； ③PD＝EF； ④APD可能是等腰三角形． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共2小题） 13. 分解因式：2x2﹣8=_______ 14. 要使代数式有意义，则x的取值范围是______． 15. 如图，在中，，，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧在内部相交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积为______． 16. 如图，在中，点E是的中点，平分，且于点D．若，，则的长为______． 三．解答题（共12小题） 17. 先化简，再从，0，3，中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出向左平移 5 个单位长度后得到的并写求 出 的坐标； （2）请画出 关于原点对称的并写出 的坐标； （3）在 x 轴上求作一点 P ，使的周长最小，请画出．并写出点 P 的坐标． 21. 计算：当m为何值时，关于x的方程会产生增根？ 22. 为进一步增强中小学生“知危险会避险“的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 这名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图： 这名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表： 参与奖 优秀奖 卓越奖 第一次竞赛 人数 平均分 第二次竞赛 人数 平均分 （规定：分数，获卓越奖；分数，获优秀奖；分数，获参与奖） 第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：                                两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 第一次竞赛 第二次竞赛 根据以上信息，回答下列问题： （1）小松同学第一次竞赛成绩是分，第二次竞赛成绩是分，在图中用“”圈出代表小松同学的点； （2）直接写出，的值； （3）哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高？请说明你的理由（至少两个方面）． 23. 如图，在中，连接，在的延长线上取一点，在的延长线上取一点，使，连接、．求证：． 24. 如图，一次函数与的图象相交于点A． （1）求点A的坐标； （2）若一次函数与的图象与 轴分别相交于点，，求的面积； （3）结合图象，直接写出时 的取值范围． 25. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，求的长． 26. 某商城销售A，B两种自行车，A型自行车售价为2200元/辆，B型自行车售价为1750元/辆，每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元，商城用80000元购进A型自行车的数量与用64000元购进B型自行车的数量相等． （1）求A，B两种自行车的进价分别是多少元/辆？ （2）现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车m辆，这100辆自行车的销售总利润为w元，要求购进B型自行车数量不少于A型自行车数量的2倍，且A型车辆至少30辆，请用含m的代数式表示w，并求获利最大的方案以及最大利润． 27. 如图①，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，则： （1）的度数是 　　；线段，，之间的数量关系是 　　； （2）如图②，在中，，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． 28. 阅读下列材料： 材料一：对于一个百位数字不为0的四位自然数，以它的百位数字作为十位，十位数字作为个位，得到一个两位数，若等于的千位数字与个位数字的平方差，则称数为“平方差数”． 例如：7136是“平方差数”，因为，所以7136是“平方差数”； 又如：4251不是“平方差数”，因为，所以4251不是“平方差数”． 材料二：我们有时可以利用分解因数的方法解决求整数解的问题，例如：若，为两个正整数（），且，则，为18的正因数，又因为18可以分解为或或，所以方程的正整数解为或或． 根据上述材料解决问题： （1）判断9810，6361是否是“平方差数”？并说明理由； （2）若一个四位“平方差数”，将它的千位数字、个位数字及相加，其和为30，求所有满足条件的“平方差数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $