精品解析：湖南常德市临澧县第一中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

临澧一中2025年下学期高一年级期末考试 数学试卷 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的部分图象如图所示，则（　　） A B. C. D. 6. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知函数且且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 命题“，”是真命题 C. 已知集合，若，则的值为 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 关于函数下述四个结论，正确的有（ ） A. 若，则 B. 的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. ）的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称 11. 通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（ ） A. B. ， C. 若，且m，n均不等于1，，则 D. 若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为10，圆心角为弧度，则该扇形的面积为__________. 13. 若函数在区间上最小值为4，则的最小值为___________. 14. 同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若关于的不等式的解集是. （1）求的值; （2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知是定义在上的奇函数，当时，； （1）求在上解析式. （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明其单调性 17. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”大模型的标准化训练效率最高？最高效率是多少？ 18. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域； （3）若，且，求的值． 19. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试判断是否为“伪奇函数”，并说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2025年下学期高一年级期末考试 数学试卷 本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式求得正确答案. 【详解】因为，所以. 故选：B 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合集合的交集运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：B 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数与对数的关系和换底公式求出的关系即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 即， 故选：D 4. 函数的零点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在定理可判断. 【详解】函数是连续增函数，，， 所以函数的零点在内，所以， 故选：C． 5. 已知函数部分图象如图所示，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的图像性质求出，从而得出结论. 【详解】由图知的最小正周期，所以. 又，所以. 因为，所以，所以. 故选：D. 6. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可； 【详解】由题意可得，解得，又，所以，所以， ，所以， 所以， 所以，即， 因为，，所以， 所以，所以. 故选：A. 7. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性定义和求出周期，然后结合已知条件求解可得. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，， 又，所以， 所以，即， 所以是一个周期为4的周期函数， 所以， 因为当时，，所以， 又，所以， 所以. 故选：A 8. 已知函数且且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件构造新函数得到它在上是增函数，再利用分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为且， 不妨设，则， 则， 所以， 令函数 则为上的增函数，则 解得. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 命题“，”是真命题 C. 已知集合，若，则的值为 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断A，根据绝对值的性质判断B，分类讨论求出参数的值，即可判断C，根据充分条件、必要条件的定义判断D. 【详解】对于A：“，使得”的否定是“，都有”，故A正确， 对于B：因为，则，所以对，， 即命题“，”是假命题，故B错误； 对于C：若，解得，则集合，符合题意， 若，此时无解，因此若，则的值为，故C正确； 对于D：由，即，解得或， 所以由推得出，即充分性成立； 由推不出，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：AC 10. 关于函数的下述四个结论，正确的有（ ） A. 若，则 B. 的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. ）的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于y轴对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】①根据对称中心进行分析；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据的单调性进行分析；④利用函数图象的平移进行分析，注意诱导公式的运用． 【详解】由知点，是图象的两个对称中心，则，A正确； 因为，所以点是的对称中心，B正确； 由，解得， 当时，在上单调递增，则在上单调递增，在上单调递减，C错误； 的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为 ，是偶函数，所以图象关于y轴对称，D正确， 故选：ABD． 11. 通过等式（，）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为自变量x，b视为常数，那么c就是a（即x）的函数，记为y，则，也就是我们熟悉的幂函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．若令，（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（，），则b为x的函数，记为，下列关于函数的叙述中正确的有（ ） A. B. ， C. 若，且m，n均不等于1，，则 D. 若对任意，不等式恒成立，则实数m的值为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意得出解析式，根据计算易于判断A，B两项，对于C项，可根据已知推出，结合基本不等式判断；对于D项，则需要等价转化，运用参变分离法，分区间讨论得出的范围进行判断. 详解】由题意知，则， 对于A，，A正确； 对于B，，，不妨取，则，B错误； 对于C，，且m，n均不等于1， 由得，即，结合可知， 则，故， 当且仅当，即时等号成立，C正确； 对于D，当时，，则由恒成立， 得恒成立，即恒成立， 令，则， 设，由于在上单调递减，故， 则，故； 当时，，结合题意可知得恒成立， 即恒成立， 此时令，同理可得， 由于在上单调递增，在上单调递减， 故，则，故， 综合上述可知m的值为0，D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形的半径为10，圆心角为弧度，则该扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形面积公式计算可得结果. 【详解】根据扇形的面积公式可得. 故答案为： 13. 若函数在区间上的最小值为4，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，基本不等式中的常值代换的方法即可求解 【详解】函数在区间上单调递增，故., 因为所以， 当且仅当时取等号，结合可得，，时取等号. 所以， 所以的最小值为 故答案为： 14. 同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】可将拼凑成，结合单调性和同构思想易得，将代入即可得解. 【详解】易判断为增函数，， ， 即，， 所以，. 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 若关于的不等式的解集是. （1）求的值; （2）设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集可得对应方程的根即可求解； （2）由充分条件建立不等式求解即可. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集是， 故的两根为，且， 故； 【小问2详解】 由题意集合，，由于， 则. 16. 已知是定义在上的奇函数，当时，； （1）求在上的解析式. （2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明其单调性 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 【解析】 【分析】（1）令，则，再根据已知条件和奇函数的性质即可得时的解析式，再结合奇函数即可得答案； （2）利用函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 当时，， 由为奇函数可得， 又因为， 则. 【小问2详解】 在上单调递减，证明如下， 对任意，，且， 所以， 当时，，， 又，，即， 则，即， 则在上单调递减. 17. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的． （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”大模型的标准化训练效率最高？最高效率是多少？ 【答案】（1）， （2）（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高，最高为4 【解析】 【分析】（1）由，建立方程解得，由函数图象连续建立方程解得； （2）由（1）知函数，分别用基本不等式和二次函数的性质求出分段函数的最大值，然后取得函数在定义域上的最大值，即可得到结论. 【小问1详解】 因为， 又，所以， 所以当时， 又因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可得， 当时，， 此时， 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 此时，此时的最大值为； 当时，， 此时 ， 综上，当时，“天穹”大模型的标准化训练效率最高，最高为. 18. 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形． （1）求函数的解析式； （2）若，求函数的值域； （3）若，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用三角函数恒等变换和函数图象的应用求出函数关系式； （2）由，从而得到的取值范围，进而得到的取值范围，即可得解； （3）由，结合（1）求得，再结合求得，写出后利用两角差的正弦公式展开计算即可得解. 【小问1详解】 函数， 由于为正三角形，所以三角形的高为，所以． 所以函数的最小正周期为，所以， 从而得到． 【小问2详解】 ，，， 函数的值域为. 【小问3详解】 若，则，整理得， 由于，所以，所以， 所以 . 19. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试判断是否为“伪奇函数”，并说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据“伪奇函数”的概念，可以求出满足，得到是“伪奇函数”； （2）由幂函数概念求出的值，把结论转化为对勾函数在的值域问题，进而解不等式得答案； （3）由题意把结论化为关于的二次方程有解的问题，通过换元引入二次函数，进而转化二次函数为在给定的区间有零点问题，列不等式解得答案. 【小问1详解】 若函数为“伪奇函数”，则方程有实数解， 即有解，整理得解得，所以为“伪奇函数”； 【小问2详解】 因为为幂函数，所以即，所以， 则由为定义在上的“伪奇函数”， 所以在有解， 整理得， 令，则，对于函数， 设，则 当时，有，所以是减函数， 当时，有，所以是增函数， 又，，所以， 所以解得， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 若是定义在上的“伪奇函数”， 则在上有实数解，即， 整理得， ， 令，当且仅当取到等号， 则在上有解， 令在上有零点， 所以，即，解得， 或者，即，解得， 综上可得的取值范围是 【点睛】关键点点睛；本题为新概念题，第一问判断函数是否为“伪奇函数”，第二问已知函数为“伪奇函数”求参数的范围，第三问是否存在参数使函数为“伪奇函数”，解题关键是正确理解“伪奇函数”的概念，把问题转化为方程有解的问题，理解了概念就会发现三者本质上是一个问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $