精品解析：湖南株洲市第四中学2025-2026学年高一下学期期末检测数学试卷

株洲四中2026年上期高一期末检测 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 在中，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得，则. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】． 4. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是单位向量，且 所以 5. 如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，，所以. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，若，则或，故A错误， 对于B, 若，若是的交线，此时，故B错误， 对于C, 如图：正方体中，若平面，平面，平面平面，但不平行，故C错误， 对于D, 若，则,D正确. 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，再由余弦定理求，可得角. 【详解】由，根据正弦定理有， 所以，有， 根据余弦定理，有，由，所以． 故选：C. 8. 已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（ ） A. 99 B. 78 C. 66 D. 52 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合对称性的性质可得，，结合关系可得，由此可得，再求，结合可得结论. 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②， 由①②可得， 用替换可得 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. z的实部为1 B. z的共轭复数为 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确. 对于B，因为，所以z的共轭复数为，所以B正确. 对于C，，所以C正确. 对于D，，所以D错误. 10. 数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：，，，，，，…，探究上述多项式，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若函数在区间，内恰有20个零点，则这20个零点的和为100π 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角变换公式求解三倍角公式后可判断A，利用可求判断B，利用三倍角公式求出后判断C，利用三角变换公式化简后可求在上的零点和，从而可求零点之和判断D. 【详解】 ，A正确； ，所以， 即，即，解得，B错误； ， 故，C正确； . 令，得或， 若，在上或； 若，则，其中舍去， 该方程在上有2个实根，因为在该区间内的图象关于直线对称， 所以这两根之和为2π， 所以在上有4个零点，记为，，，， 其中，，，， 这4个零点和， 故个零点可分成组，相邻两组零点和的差为， 故个零点的和为，D正确. 11. 一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与互斥 C. 两两独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念以及相关公式和古典概型与事件独立的乘法公式进行计算与判断即可. 【详解】由题意：事件的样本点为：，事件的样本点为，事件的样本点为. 所以的样本点为：，所以，故A正确； 因为的样本点为：，所以的样本点为，又的样本点为，所以事件与互斥，故B正确； 因为的样本点为，所以，，. 因为，所以事件，不相互独立，故C错误； 因为，的样本点为，所以，又，所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由集合的交集运算即可求解. 【详解】由，， 则. 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是____． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得向量在向量上的投影向量为． 14. 在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，，过，，的平面将四棱锥分成两部分，较小部分与较大部分的几何体体积分别为，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】作交于点，可得在平面上，即可得该平面将四棱锥分成四棱锥与多面体，结合锥体体积公式与割补法可求出四棱锥与四棱锥的体积比值，即可得. 【详解】作交于点，由，则， 又，故，则在平面上， 该平面将四棱锥分成四棱锥与多面体， 连接，则 ， 则， 故，，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）先求出的值，再由夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由已知，得， ； 【小问2详解】 . 设与的夹角为， 则， 因此，与的夹角的余弦值为． 16. 新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． （2）学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． （3）已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1及频率、频数的关系求解. （2）根据频率分布直方图求第70百分位数可得； （3）根据方差的求法，方差转化为，进而可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得物理测试成绩在的频率为 ， 频数为， 所以1800名学生中物理测试成绩在内的频数为270，补全频率分布直方图如图所示． 【小问2详解】 易得前两段频率之和为，前三段频率之和， 则有 满足，所以（分） 【小问3详解】 成绩在的频数为270人，， 成绩在的频数为540人，， 所以的学生成绩的平均值为， 由方差公式知，， 所以该班成绩的方差为： 所以的最大值为． 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， （1）求角A； （2）若，的面积为，求b，c； （3）若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． 【小问2详解】 由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． 【小问3详解】 因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 18. 已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得； ，，； 为直角三角形，即. . 平面平面，平面平面，平面 平面； 平面，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，根据三角形三边满足勾股定理，证得，由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直证得线线垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，从而确定线面的夹角，根据直角三角形的边的关系，求得线面夹角的正弦值； （3）以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据异面夹角的计算公式即可求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），得. 由折叠得，. 平面平面，平面平面，平面 平面. 为直线与平面所成的角. ，，，，，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，. 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，. . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取. 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ，解得或. ，. ，则. 即线段的长度为. 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”． （1）试判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有． 【答案】（1）函数不是“函数”，理由：对于，取， 则，． 因为，不满足， 故不是“函数”； （2） （3）证明：由函数为“函数”，可知对于任意正数， 都有，，且， 令，可知，即， 故对于自然数与正数， 都有， 对任意，可得，又， 所以， 同理， 故， 即. 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数是“函数”， 所以对于任意的， 有恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 又，故， 则， 则，即，即实数的取值范围为 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲四中2026年上期高一期末检测 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 2. 在中，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用斜二测画法画出的水平放置的的直观图为，且与轴平行，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）． A. B. C. D. 8. 已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（ ） A. 99 B. 78 C. 66 D. 52 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列叙述正确的是（ ） A. z的实部为1 B. z的共轭复数为 C. D. 10. 数学家切比雪夫曾用一组多项式阐述余弦的倍角公式，即，称为第一类切比雪夫多项式.第一类切比雪夫多项式的前几项为：，，，，，，…，探究上述多项式，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若函数在区间，内恰有20个零点，则这20个零点的和为100π 11. 一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与互斥 C. 两两独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，，则________． 13. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是____． 14. 在四棱锥中，四边形为正方形，平面，，，过，，的平面将四棱锥分成两部分，较小部分与较大部分的几何体体积分别为，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． （2）学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． （3）已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， （1）求角A； （2）若，的面积为，求b，c； （3）若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 18. 已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 19. 若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”． （1）试判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数a的取值范围； （3）若函数为“函数”，，对任意正数，都有，，证明：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $