精品解析：辽宁阜新市彰武县2025-2026学年度第二学期七年级数学期末质量监测试卷

彰武县2025-2026学年度第二学期七年级数学期末质量监测试卷 （本试卷共23道题满分：120分考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003左右，将0.00003用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多项式乘多项式的运算法则展开等式左边，再根据多项式相等对应项系数相等求出和的值，最后计算得到结果． 【详解】解：，， ，解得， ． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用积的乘方、幂的乘方、同底数幂乘法、合并同类项法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 与不是同类项，不能合并，故D错误． 5. 按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（ ） A. 平分 B. C. 与互余 D. 与互补 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角．由折叠的性质可得，求出，即可判断C；求出即可判断B；根据即可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得， ， ∴与互余，故C正确，不符合题意； ∴，故B正确，不符合题意； ， ∴与互补，故D正确，不符合题意； 不能得出平分，故A错误，符合题意； 故选：A． 6. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 7. 如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8. 由三条线段，，可以组成一个三角形，其中，，那么的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：，， ，解得， 观察选项，只有在此范围内． 9. 如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案． 【详解】解：是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用题中所给的条件，将面积进行转化是解此题的关键． 10. 某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据情境描述选择函数图象，理解题意，找准距离变化情况是解决问题的关键． 由题中描述，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，结合选项中所给图象逐一验证即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小， 与的函数关系用图象表示大致是 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：行驶距离在2千米以内（包括2千米）付起步价6元，超过2千米后，每多行驶1千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用乘车费用起步价超过2千米的路程所加收的费用列出函数关系式再化简即可． 【详解】解：由题意得． 12. 如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长． 【详解】解：，， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 则． 13. 如果与互余，且的度数比的度数小，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余角的定义得到两角和为，结合题目给出的度数关系列方程组求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 14. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，若，，则的度数为______度． 【答案】 【解析】 【分析】由作法得：，根据等腰三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：由作法得：， ， ， ． 15. 如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为________． 【答案】2 或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据的条件，再根据对应边的不同，分两种情况讨论：①，②，分别计算出t的值，进而得到a的值． 【详解】解：设运动的时间为t， ， 要使，根据对应边不同，分两种情况讨论： ①当时， ， ； ②当时， ， ； 综上所述， a的值为：2或． 三、解答题（本小题共75分） 16. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：  ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解：  ， 当，时， 原式． 18. 如图，于，于，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，得出， 结合，得出，即可证明； （2）根据三角形内角和定理结合，求出，再结合，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，三角形内角和为，， ∴， ∵， ∴． 19. 小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 14 25 20 13 13 （1）计算“1点朝上”的频率； （2）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 【答案】（1）“1点朝上”的频率为0.15 （2）朝上的点数不小于4的概率为0.46 【解析】 【分析】（1）先根据总次数求出1点朝上的频数，再计算对应频率； （2）根据频率估计概率的意义计算即可． 【小问1详解】 解：已知总试验次数为次， 1点朝上的频数为：， 因此“1点朝上”的频率为：． 【小问2详解】 解：朝上的点数不小于4，即点数为4、5、6， 这三种点数的频数和为：， 根据频率估计概率，可得任意投掷一次，朝上点数不小于4的概率为． 20. 在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为__________，小正方形的面积可表示为__________________； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：__________________________； （用含，的代数式表示出来） （2）若满足，求的值； （3）【拓展提升】 如图4，在正方形中，，分别是边，上的点，已知，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形，正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1）①；；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①结合图形直接写出答案即可；②用两种不同的方法表示大正方形面积即可； （2）利用完全平方公式计算即可；设，，则，，再利用完全平方公式计算即可； （3）设，，求得，，利用完全平方公式求得，再利用计算即可． 【小问1详解】 解：①观察图3，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积可表示为，小正方形的面积可表示为； ②大正方形是由个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成， 则与之间的关系：； 【小问2详解】 解：设，，则，， ， ． 【小问3详解】 解：设，， 由题意得，，， 正方形， ， ，即， ，， ， 正方形，正方形， ． 21. 【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 （1）如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 （2）如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 （3）如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 【答案】（1）④ （2）11 （3）①如图，点、即为所求 ②70 【解析】 【分析】（1）经典将军饮马问题中，求直线上一点使最短的方法是：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求； （2）连接，根据轴对称得出，则的周长，得出最小值为的长度，即可解答； （3）①分别作点关于的对称点、点关于的对称点，连接，交于，交于，点、即为所求，此时最短； ②由对称性质可知：，，从而求出，在​中，根据三角形内角和定理求出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴的周长， 当点共线，且点位于之间时，最小，最小值为的长度， ∵，， ∴周长最小值为； 【小问3详解】 解：①略 ②如图， 由对称性质可知：，， ∴， ∴， 在​中，， ∴， ∴． 22. 小颖同学趁假期与朋友登山．早上8：00，他们从山脚出发，经过40分钟到达山腰，休息10分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留半小时后原路下山．他们离山脚的高度（米）与时长（分钟）之间的关系如图所示．请根据图表信息，解答以下问题： （1）该问题情境中，自变量是___________，因变量是___________； （2）在山腰休息前，他们上山的平均速度是___________米/分；他们下山的平均速度是___________米/分； （3）将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 40 80 110 离山脚的高度（米） 600 800 （4）他们出发后___________分钟，离山脚的高度是700米． 【答案】（1）出发后的时长；离山脚的高度 （2）15；20 （3） 出发后时长（分钟） 20 40 80 110 离山脚的高度（米） 300 600 800 600 （4）60或105【解析】 【分析】（1）由图即可求解； （2）根据速度路程时间，并结合图象即可求解； （3）根据他们的速度和运动时间，求出他们所处的高度即可； （4）根据图象分两种情况：他们登山时或下山时，离山脚的高度是700米时的出发时间即可． 【小问1详解】 解：该问题情境中，自变量是出发后的时长，因变量是离山脚的高度； 【小问2详解】 解：在山腰休息前，他们上山的平均速度为：（米/分）， 他们下山的平均速度是：（米/分）； 【小问3详解】 解：出发20分钟时，离山脚的高度为（米）， 出发110分钟时，离山脚的高度为（米）； 将下表信息补充完整见答案 【小问4详解】 解：在山腰休息后，他们的平均速度是：（米/分）， （分钟）， 即他们出发后60分钟，离山脚的高度是700米； （分钟）， 即他们出发后105分钟，离山脚的高度是700米； 综上分析可知：他们出发后60分钟或105分钟，离山脚的高度是700米． 23. 如图1，平分，点，点分别在射线，上，且，垂足为点． （1）求证：； （2）如图2，以为对称轴，将射线翻折，交于点． ①求证：； ②如图3，连接，直接用等式表示线段，，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平分得到，即，根据垂线的定义得到，进而得到，进而可证； （2）①过点作，垂足为，根据轴对称的性质可得，进而可推出，证明，可得，证明，再证明，即可得证； ②在射线上取点，使，连接，证明，再根据垂直平分线的性质可证是等腰三角形，再证明，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴． ∴， ， ∴； 【小问2详解】 ①证明：过点作，垂足为， ∵以为对称轴，将射线翻折，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴； ②解：，理由如下： 在射线上取点，使，连接， ， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，轴对称的性质，解题的关键是综合运用以上知识，正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彰武县2025-2026学年度第二学期七年级数学期末质量监测试卷 （本试卷共23道题满分：120分考试时间：120分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花．单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003左右，将0.00003用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（ ） A. 平分 B. C. 与互余 D. 与互补 6. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 7. 如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 由三条线段，，可以组成一个三角形，其中，，那么的长度可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 32 10. 某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：行驶距离在2千米以内（包括2千米）付起步价6元，超过2千米后，每多行驶1千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系式：____________． 12. 如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 13. 如果与互余，且的度数比的度数小，则___________． 14. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，若，，则的度数为______度． 15. 如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为________． 三、解答题（本小题共75分） 16. 计算 （1）； （2） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，于，于，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19. 小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 14 25 20 13 13 （1）计算“1点朝上”的频率； （2）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 20. 在“综合与实践”活动中，同学们通过图形剪拼操作探究乘法公式的几何意义，体会数形结合思想．如图1可以得到；如图2可以得到；现有长与宽分别为，的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为__________，小正方形的面积可表示为__________________； ②结合图3的拼接方式，直接写出与之间的关系：__________________________； （用含，的代数式表示出来） （2）若满足，求的值； （3）【拓展提升】 如图4，在正方形中，，分别是边，上的点，已知，，长方形的面积是，分别以，为边作正方形，正方形，求阴影部分的面积． 21. 【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】 （1）如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．正确的方案是____________（填序号）． 【解决问题】 （2）如图2，在中，点与点关于直线对称，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为____________． 【类比探究】 （3）如图3，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营． ①在图3上作图：使将军走过的路程最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程最短，且时，则____________． 22. 小颖同学趁假期与朋友登山．早上8：00，他们从山脚出发，经过40分钟到达山腰，休息10分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留半小时后原路下山．他们离山脚的高度（米）与时长（分钟）之间的关系如图所示．请根据图表信息，解答以下问题： （1）该问题情境中，自变量是___________，因变量是___________； （2）在山腰休息前，他们上山的平均速度是___________米/分；他们下山的平均速度是___________米/分； （3）将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 40 80 110 离山脚的高度（米） 600 800 （4）他们出发后___________分钟，离山脚的高度是700米． 23. 如图1，平分，点，点分别在射线，上，且，垂足为点． （1）求证：； （2）如图2，以为对称轴，将射线翻折，交于点． ①求证：； ②如图3，连接，直接用等式表示线段，，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $