精品解析：黑龙江省大庆市祥阁学校2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试卷

2025—2026学年度第二学期_____年级 数学学科期末考试试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列实数0，，，，，，，，（每2个1之间的0依次增加1个），其中无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列说法不正确的是（） A. 点在第一象限 B. 点到y轴的距离为3 C. 已知点，点，则轴 D. 若，则点一定在x轴上 3. 如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（ ） A. 地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B. 地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C. 地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D. 地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 5. 如图，点在直线上且位于第一象限，点，为坐标原点．若的面积为，则下列图象中，能正确反映与之间的函数关系的是（ ）（注：不包含的点用空心圆圈表示） A. B. C. D. 6. 2026年3月23日是第66个“世界气象日”，某校组织600名师生前往城市气象科技馆开展“测今日气象，护明日家园”主题实践活动，计划租用30座和45座两种客车（两种客车都要租），要求每名师生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 7. 直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为，则m的值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 2 9. 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 是一个两位数，它的十位与个位数字是9：00时所看到的两位数正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00小明看到的两位数为（ ） A. 21 B. 32 C. 42 D. 51 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线，点坐标为，过点作轴交直线 于，过点作直线 交轴于点，过点作轴交直线 于点，过点作交轴于点……；按此作法继续下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 的算术平方根是_____． 12. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 13. 已知一组数据为2，4，x，8，10，且这组数据的中位数为6，则这组数据的离差平方和=________． 14. 已知一次函数图象与轴交点在轴上方，则的取值范围是___________． 15. 小明测量一种玻璃球的体积，他方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积（单位：）的范围是________． 16. 已知关于的不等式组有解，则的取值范围是_______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，，点，分别在轴、上运动，连接，，则的最小值为__________． 18. 已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 三、解答题 19. 解方程组： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）求不等式组的所有非负整数解． 21. 在践行“生态教育，书香校园”读书活动中，我市某校为了解学生每月课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的每月课外阅读量，绘制成了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）． （1）被抽查到的学生总数为_______人，并补全条形统计图； （2）求被抽查到的学生每月课外阅读量的众数和平均数； （3）从被抽查学生中再抽取部分学生，他们的课外阅读量（本）分别如下：7、7、6、8、8、5、6．则他们阅读量的分位数是_________________． （4）若该校共有学生2000人，估计学生每月课外阅读量不低于7本的人数． 22. 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）． （1）若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， _________． 根据海伦公式可得_________． （2）请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． （3）如图，在中，的对边分别为a，b，c，，过点A作，垂足为D，求线段AD的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点M为第三象限内一点． （1）若到坐标轴的距离相等，，且，求N点坐标； （2）若M为，请用含m的式子表示的面积． 24. 如图，直线：与直线：相交于点，直线经过和 （1）求直线的解析式； （2）求出点坐标； （3）直接写出不等式的解集：________． 25. 已知不等式（组）M和不等式（组）N都有解，若不等式（组）M的解集中的任何一个值都是不等式（组）N的解，则称不等式（组）N“覆盖”不等式（组）M．例如：不等式的解集是，不等式的解集是，因此不等式覆盖不等式． （1）已知不等式Q：，则以下不等式（组）能“覆盖”不等式Q的有_________．（填序号） ①；②；③；④． （2）已知不等式A：，不等式B：，若不等式B“覆盖”不等式A，求k的取值范围． 26. 综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买台四足机器人和台人形机器人共需万元； 台人形机器人的售价比台四足机器人贵万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众人次； 每台人形机器人每日可服务观众人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共台，采购总预算不超过万元． （1）求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ （2）采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 27. 2026年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有，两地，机器人甲、乙分别从，两地同时出发，机器人甲以360米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后，立即以米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后停止运动，机器人乙到达地一段时间后，机器人甲也到达地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离（米）与机器人甲行进的时间（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1），两地之间的距离为            米，图中的值为            ； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600米？（直接写出答案即可） 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线与相交于点E． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）点M是y轴上一点，若．求点M的坐标． （3）在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期_____年级 数学学科期末考试试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列实数0，，，，，，，，（每2个1之间的0依次增加1个），其中无理数的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】无限不循环小数是无理数，再逐个化简判断每个数，统计无理数的个数即可． 【详解】解：是整数，是整数，是整数，是分数，是循环小数，是有限小数，属于有理数； 无理数是，，（每2个1之间的0依次增加1个），共个． 2. 下列说法不正确的是（） A. 点在第一象限 B. 点到y轴的距离为3 C. 已知点，点，则轴 D. 若，则点一定在x轴上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，包括象限点的特征、点到坐标轴的距离、平行于坐标轴的直线的点的坐标特征、坐标轴上点的坐标特征，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A对于点，横坐标，纵坐标， 该点在第一象限，说法正确，不符合题意； B点到轴的距离为，说法正确，不符合题意； C点和点的横坐标相同，轴，说法正确，不符合题意； D若，可得或，则点在轴上或轴上，不一定在轴上，说法错误，符合题意． 3. 如图，左、右托盘中黑球的质量分别为，，白球的质量为，图中体现的数学原理可表示为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图可得：若，则． 4. 如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（ ） A. 地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B. 地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C. 地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D. 地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 【答案】C 【解析】 【分析】箱线图中，箱体的上下四分位数、中间的线是中位数，两端是最大值和最小值，数据越分散，方差越大． 【详解】解：A、A地的最大值接近20，B地的最大值在15左右，所以A地最大值大于B地，正确； B、A地的中位数比B地的中位数低，正确； C、A地的数据分布比B地更分散，所以A地的方差大于B地的方差，该选项说法错误； D、B地的最小值约为5，A地的下四分位数在5以下，说明有以上的数据低于5，即低于B地的最小值，正确； 所以不正确的是C． 5. 如图，点在直线上且位于第一象限，点，为坐标原点．若的面积为，则下列图象中，能正确反映与之间的函数关系的是（ ）（注：不包含的点用空心圆圈表示） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的坐标求出的长，利用三角形面积公式得出与的关系，再代入得到与的函数解析式，最后根据点在第一象限确定自变量的取值范围，结合函数性质判断图象即可． 【详解】解：∵点的坐标为，为坐标原点， ∴， ∵点在第一象限， ∴，边上的高为， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∵点在第一象限， ∴， 即， 解得， 能正确反映与之间的函数关系的只有D． 6. 2026年3月23日是第66个“世界气象日”，某校组织600名师生前往城市气象科技馆开展“测今日气象，护明日家园”主题实践活动，计划租用30座和45座两种客车（两种客车都要租），要求每名师生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】设两种客车的租用数量为未知数，根据总人数列出二元一次方程，求方程的正整数解的个数，即可得到租车方案的数量； 【详解】解：设租用30座客车辆，45座客车辆，均为正整数（两种客车都要租）， 根据总人数为600，可得方程：， 整理得， ∵为正整数， ∴为整数，且， ∵ 3是奇数， ∴必为偶数， 由得， 符合条件的正偶数为：，共6个，对应均为正整数， 因此租车方案共有6种． 7. 直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知函数所经过的象限得出，的取值范围，进而可判断直线的图象所经过的象限． 【详解】解：直线的图象经过一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过二、三、四象限，如C选项所示． 8. 已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为，则m的值为（ ） A. 0 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先利用函数图象与轴的交点可知当时，，根据关于x的不等式的解集为，得出的值． 【详解】解：由图象可得，当时，， ∴关于x的不等式的解集是， ∵关于x的不等式的解集为， ∴． 9. 爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 是一个两位数，它的十位与个位数字是9：00时所看到的两位数正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 则10：00小明看到的两位数为（ ） A. 21 B. 32 C. 42 D. 51 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据表格中的内容，可用含的代数式表示出，及时看到里程表上的数，根据“时里程碑上的两个数字之和是，及行驶的路程与时间成正比”，可列出关于的二元一次方程组，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设：时里程碑上的这个两位数十位数字为，个位数字为， 根据题意得：时里程碑上的数字为； 时里程碑上的数字为； 时里程碑上的数字为； 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：时里程碑上的数为． 故选：D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线，点坐标为，过点作轴交直线 于，过点作直线 交轴于点，过点作轴交直线 于点，过点作交轴于点……；按此作法继续下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线与轴成角的性质，结合等腰直角三角形的两直角边相等，推出，，再求解即可． 【详解】解：令， 解得， 设直线与轴交点为， 由题意，点坐标为即，则点横坐标为1，纵坐标为，则坐标为，即 由过点作直线 交轴于点，直线与轴正方向成角， ∴为等腰直角三角形，， 则点坐标为即，则点横坐标为3，纵坐标为，则坐标为，即， ∴为等腰直角三角形，， 则点坐标为即，则点横坐标为7，纵坐标为，则坐标为即 以此类推， 规律：，． 当时，． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 12. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据数轴可得，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图得， ∴， 则． 13. 已知一组数据为2，4，x，8，10，且这组数据的中位数为6，则这组数据的离差平方和=________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义和离差平方和的计算，掌握奇数个数据的中位数为排序后中间位置的数，离差平方和为各数据与平均数差的平方和是解题的关键． 由中位数为确定的值，再计算数据的平均数，最后求离差平方和． 【详解】解：数据有个，中位数为排序后第三个数，因此， 数据为，平均数， 离差平方和为：， 故答案为：40． 14. 已知一次函数图象与轴交点在轴上方，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】先根据一次函数的定义得到一次项系数不为0，再根据图象交点位置列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 是一次函数， ， 解得， 当时，， 即一次函数图象与轴交点的纵坐标为， 该函数图象与轴交点在轴上方， ， 综上所述：且． 15. 小明测量一种玻璃球的体积，他方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据现象，小明判断这样的一个玻璃球的体积（单位：）的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】设一个球的体积为，根据4个球排开水的体积不超过，5个球排开水的体积超过列出不等式组求解即可． 【详解】解：设一个球的体积为，根据题意，得： ，解得． 所以的范围是． 16. 已知关于的不等式组有解，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，根据不等式组有解，可知两个不等式的解有公共部分，即可得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∵不等式组有解， ∴， 解得， 即的取值范围是． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，，点，分别在轴、上运动，连接，，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段和的最小值，掌握垂线段最短和找出线段关于y轴的对称线段是解题的关键． 先找出线段关于y轴的对称线段，再过点B作这条对称线段的垂线段，这条垂线段的长度即为的最小值． 【详解】解：如下图所示，先找出点B关于y轴对称的对称点，截取，此时点D与点关于y轴对称，从而可知． 再根据垂线段最短可知，当是线段的垂线段，与y轴交于点C时，即有最小值． ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点的坐标为， ． ，， ∴， 即， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 18. 已知关于的不等式组的解集为，且使得关于、的二元一次方程组有正整数解．则所有满足条件的整数的和为________． 【答案】19 【解析】 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组的解为正整数确定符合条件的整数，最后计算所有满足条件的的和． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ∴， 解方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入 得， 方程组的解为正整数，且为整数， ∴是的正因数，的正因数有， 当时，，不满足，舍去； 当时，，不满足，舍去； 当时，，满足条件，此时 均为正整数； 当 时，，满足条件，此时均为正整数； 所有满足条件的整数的和为，故答案为． 三、解答题 19. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）使用代入消元法求解即可； （2）可通过加减消元消去未知数，先求出再代入求． 【小问1详解】 解：将①代入②得： 解得， 将代入①得：， 方程组的解为； 【小问2详解】 解：得： 解得， 将代入①得： 解得， 方程组的解为． 20. 计算： （1）； （2）求不等式组的所有非负整数解． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有非负整数解为，，． 21. 在践行“生态教育，书香校园”读书活动中，我市某校为了解学生每月课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的每月课外阅读量，绘制成了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）． （1）被抽查到的学生总数为_______人，并补全条形统计图； （2）求被抽查到的学生每月课外阅读量的众数和平均数； （3）从被抽查学生中再抽取部分学生，他们的课外阅读量（本）分别如下：7、7、6、8、8、5、6．则他们阅读量的分位数是_________________． （4）若该校共有学生2000人，估计学生每月课外阅读量不低于7本的人数． 【答案】（1）40； （2）众数为7，平均数为． （3）6 （4）1100 【解析】 【分析】（1）将阅读量为6本的人数除以其百分比，即可求出被抽查到的学生总数；将学生总数减去阅读量为5本，6本，8本的人数，得到阅读量为7本的学生人数，即可补全条形图； （2）根据平均数和众数的定义求解即可 （3）根据分位数的定义求解即可； （4）用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：被抽查到的学生总数为（人）， 阅读量为7本的学生为（人）； 【小问2详解】 解：由条形统计图得： ， 这组数据的平均数是； 在这组数据中，每月课外阅读量为7本的人数有14人，出现的次数最多， 这组数据的众数为7； 【小问3详解】 解：将他们的课外阅读量（本）从小到大排序为：5、6、6、7、7、8、8． 所以分位数为6． 【小问4详解】 解：（人） 答：学生每月课外阅读量不低于7本的人数约为1100人． 22. 我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）． （1）若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， _________． 根据海伦公式可得_________． （2）请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． （3）如图，在中，的对边分别为a，b，c，，过点A作，垂足为D，求线段AD的长． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中的实数的运算法则求解； （2）代入公式求解； （3）先根据题中的公式求出面积，再根据列方程求解． 【小问1详解】 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， ． 根据海伦公式可得； 【小问2详解】 解：根据题意可得，，， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点M为第三象限内一点． （1）若到坐标轴的距离相等，，且，求N点坐标； （2）若M为，请用含m的式子表示的面积． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据到坐标轴的距离相等列方程求出m，进而得到点M的坐标，再根据，且即可求出点N的坐标； （2）先判断，再根据三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：∵到坐标轴的距离相等， ∴， 即， 解得：或， ∵为第三象限内一点， ∴． ∴点M的坐标是， ∵， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴， 解得：或， ∴点坐标是或； 【小问2详解】 解：∵为且为第三象限内一点， ∴， ∴的面积． 24. 如图，直线：与直线：相交于点，直线经过和 （1）求直线的解析式； （2）求出点坐标； （3）直接写出不等式的解集：________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把和代入，即可得到函数解析式， （2）联立两个函数解析式，解方程组可得的坐标； （3）由函数图像的性质可得的解集． 【小问1详解】 解：∵直线：经过和 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵直线直线交于点 ∴， 解得 ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：∵， 当时，则， 解得：， ∴与轴的交点坐标为：， ∵点的坐标为， ∴的解集是． 25. 已知不等式（组）M和不等式（组）N都有解，若不等式（组）M的解集中的任何一个值都是不等式（组）N的解，则称不等式（组）N“覆盖”不等式（组）M．例如：不等式的解集是，不等式的解集是，因此不等式覆盖不等式． （1）已知不等式Q：，则以下不等式（组）能“覆盖”不等式Q的有_________．（填序号） ①；②；③；④． （2）已知不等式A：，不等式B：，若不等式B“覆盖”不等式A，求k的取值范围． 【答案】（1）②④； （2） 【解析】 【分析】（1）先求出不等式Q的解集，再分别求出四个选项中不等式（组）的解集，根据“覆盖”定义判断符合要求的选项； （2）先分别解出不等式A和B的解集，再根据“覆盖”的定义列出关于的不等式，求解得到的取值范围． 【小问1详解】 解：解不等式得， ①解集为，中所有数都不满足，不符合定义； ②解集为，任意都满足，符合定义； ③， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组解集为， ∵中存在不满足该解集， ∴不符合定义； ④， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组解集为， ∵任意都满足， ∴符合定义， 综上所述，能“覆盖”不等式Q的是②④； 【小问2详解】 解：解不等式 解得， 解不等式 解得， 不等式B“覆盖”不等式A，即A的所有解都满足B， 解得． 26. 综合与实践 年央视春晚节目《武》中，宇树科技机器人上演精彩武术表演，惊艳世界．某市科技馆为普及科技文化，计划采购宇树科技四足机器人与人形机器人用于科普展示．根据以下素材，完成任务： 宇树科技机器人采购方案设计 素材1 购买台四足机器人和台人形机器人共需万元； 台人形机器人的售价比台四足机器人贵万元． 素材2 每台四足机器人每日可服务观众人次； 每台人形机器人每日可服务观众人次． 素材3 科技馆计划采购两款机器人共台，采购总预算不超过万元． （1）求每台四足机器人、每台人形机器人的售价分别是多少万元？ （2）采购四足机器人和人形机器人各多少台时，每日总服务人次最多？最多为多少？ 【答案】（1）每台四足机器人售价为万元，每台人形机器人售价为万元 （2）采购四足机器人台、人形机器人台时，每日总服务人次最多，最多为人次 【解析】 【分析】（1）设两种机器人的单价为未知数，根据素材1的两个等量关系列二元一次方程组，求解即可得到单价． （2）设采购 四足机器人的数量，根据预算限制列不等式得到自变量的取值范围，再根据每日服务人次的关系列出一次函数，利用一次函数的增减性求最大值即可． 【小问1详解】 解：设每台 四足机器人售价为万元，每台 人形机器人售价为万元， 根据题意得：  解得：  答：每台 四足机器人售价为2万元，每台 人形机器人售价为8万元． 【小问2详解】 解：设采购 四足机器人台，则采购 人形机器人 台， 根据题意得：  解得：  ，即，  ， 设每日总服务人次为， 则 ，  随增大而减小，  当取最小值时，取得最大值，最大为 ， 此时 ， 答：采购 四足机器人4台、 人形机器人8台时，每日总服务人次最多，最多为2680人次． 27. 2026年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“蹒跚学步”到“风驰电掣”的迭代升级．某公司对人形机器人甲、乙进行奔跑测试，在一条笔直的测试路上有，两地，机器人甲、乙分别从，两地同时出发，机器人甲以360米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后，立即以米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240米/分的速度沿测试路匀速跑向地，到达地后停止运动，机器人乙到达地一段时间后，机器人甲也到达地并停止运动．机器人甲、乙之间的距离（米）与机器人甲行进的时间（分）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1），两地之间的距离为            米，图中的值为            ； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600米？（直接写出答案即可） 【答案】（1）3600，6 （2） （3）5分或7分或20分 【解析】 【分析】（1）由图可知距离为米，甲乙相向而行，相遇时间为总路程除以甲乙速度和，即可求出的值； （2）由（1）得：，由题意可知G点为甲到达B地的点，根据甲、乙速度得到，设解析式为，根据待定系数法求解即可； （3）先求出n的值，进而分四种情况作答即可． 【小问1详解】 解：时，甲乙还未出发，距离就是A、B两地距离，因此距离为米； 甲乙相向而行，速度和为米/分， 相遇时间（分）， 因此； 【小问2详解】 解：由（1）得：，由题意可知G点为甲到达B地的点， 甲走完全程的时间为分钟， 此时乙走了米， 因此甲乙距离为2400米， 即． 设解析式为，代入两点坐标： ， 解得：， 因此的解析式为：； 【小问3详解】 解：由图象可知，两地距离为米． 乙从匀速跑到，速度为米/分， 因此乙走完全程的时间为：分钟 即图中点对应的时间分钟， 此时乙已经到达地，甲乙相距米，从甲开始返回到乙到达地，一共经过了分钟，甲返回走了米， 因此， 即甲到达B后返回速度为米/分，返回全程需分钟，总耗时分钟， 乙从B到A速度为米/分，走完全程到A的时间为分钟， 设甲行进时间为分钟，甲乙距离米，分阶段计算： 阶段1：相遇前（）， 甲乙相向而行，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 阶段2：相遇后，甲未到B地（）， 相遇后甲乙背向而行，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 阶段3：甲到B开始返回，乙未到A地（）， 甲在B后返回，乙仍向A行走，两人距离满足：， 该阶段的范围是，始终大于600，此阶段无解； 阶段4：乙到达A停止，甲仍在返回途中（）， 乙已经停在A点，两人距离就是甲到A点的距离，两人距离满足：， 令，解得：，符合范围，是有效解； 综上所述，机器人甲行进时间为5分或7分或20分时，甲乙相距600米． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线与相交于点E． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）点M是y轴上一点，若．求点M的坐标． （3）在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；； （2）点M的坐标为或； （3）存在，点P的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标； （2）由（1）得可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长，由折叠的性质可得到，利用可得D的坐标，设，则，利用勾股定理求出，然后求出，设点M的坐标为，建立方程求解即可； （3）分三种情况：①若；②若；③若，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【小问1详解】 解：令得：， ∴， 令得：，解得：， ∴， 【小问2详解】 由（1）得， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， 设点M的坐标为， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； 【小问3详解】 存在，理由如下： ①若，如图，过点P作交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴此时点P的坐标为； ②若，如图，过点P作交点H， 同理可得，此时点P的坐标为； ③若，如图，过点P作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $