精品解析：山东枣庄市滕州市部分校2025-2026学年高二教学质量检测数学试题

2025～2026学年度高二教学质量检测 数学试题 2026.07 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 2. 样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下是四组数据的相关系数值，则线性相关最强的一组是（ ） A. B. C. D. 3. 从、、、、这个数中任选个偶数和个奇数，可组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A. B. C. D. 4. 根据变量和的成对样本数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，模型误差（ ） A. 满足一元线性回归模型的所有假设 B. 不满足一元线性回归模型的的假设 C. 不满足一元线性回归模型的的假设 D. 不满足一元线性回归模型的和的假设 5. 已知高二年级有数学和物理两个兴趣小组，其中数学兴趣小组有6名男生，3名女生；物理兴趣小组有5名男生，4名女生.现从数学小组随机选取1名同学加入物理小组，从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知事件A和B相互独立，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，存在，使得，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 袋子中有除颜色外完全相同的6个小球，其中白球4个，红球2个.从中不放回地随机抽取3个球.设取出红球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知随机变量，，，，其中，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知变量、的样本数据如下表，若变量的经验回归方程为，则____. 13. 写出曲线与的一条公切线方程_____. 14. 如图，一个质点从原点出发，每次向右移动个单位的概率为，每次向左移动个单位的概率为.记质点连续移动次后，位于的位置，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率． 16. 已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等， （1）求和此展开式中二项式系数最大的项； （2）求的展开式中含项的系数. 17. 已知函数在处取得极小值． （1）求c的值； （2）求在区间上的最值． 18. 某食品加工厂有、两条面包烘焙生产线，随机抽样测量面包重量（单位：）.规定：重量落在为优等品；落在和为合格品；落在和为次品.同一时间内两条生产线上随机抽取的面包数量如下表： 生产线 （1）完成优等品、非优等品的列联表，并依据的独立性检验，判断面包为优等品是否与生产线有关联； （2）将每条生产线的样本频率视为概率.从、两条生产线分别随机抽取个面包，设为个面包中优等品的个数，求； （3）工厂将、两条生产线的面包分别装箱售卖，每箱均装有个面包.面包出厂前工厂可自主选择是否整箱检验：若选择检验，每个面包的检测费用为元，检出的次品全部替换为合格产品；若选择不检验，每售出个次品需赔付元.将每条生产线的样本频率作为单个面包的次品概率，分别计算、生产线整箱面包的检测费用与不检验的赔付期望，并据此分别判断两条生产线的面包是否需要整箱检验. 附：，其中；. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若存在、，使得. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度高二教学质量检测 数学试题 2026.07 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义和求导公式进行求解. 【详解】由题意， 因为，所以，即. 故选：C. 2. 样本相关系数可以反映两个随机变量之间的线性相关程度，以下是四组数据的相关系数值，则线性相关最强的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为相关系数的绝对值越大，其线性相关关系越强， 故线性相关最强的一组是. 3. 从、、、、这个数中任选个偶数和个奇数，可组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定选这三个数字的情况种数，然后再将所选的三个数字进行排序，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】从、、、、这个数中任选个偶数和个奇数，选这三个数字的情况种数为， 再将所选的三个数字进行排序，由分步计数原理可知没有重复数字的三位数的个数为个. 4. 根据变量和的成对样本数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如图所示，模型误差（ ） A. 满足一元线性回归模型的所有假设 B. 不满足一元线性回归模型的的假设 C. 不满足一元线性回归模型的的假设 D. 不满足一元线性回归模型的和的假设 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，结合残差散点图的分布趋势即可判断. 【详解】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为，方差为的随机变量的观测值， 在残差图中显示应均匀分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内． 根据对应的残差图，残差的均值可能成立， 但明显残差随着的增大偏差增大，不满足一元线性回归模型的假设. 5. 已知高二年级有数学和物理两个兴趣小组，其中数学兴趣小组有6名男生，3名女生；物理兴趣小组有5名男生，4名女生.现从数学小组随机选取1名同学加入物理小组，从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分数学小组调去物理小组的是男生和从数学小组调去物理小组的是女生，两类情况讨论，再结合互斥事件和事件概率公式即可求解. 【详解】情况1：从数学小组调去物理小组的是男生 ， 数学小组共人，调男生的概率为； 调整后物理小组共人，男生变为人， 此时选出男生的概率为； 该情况的联合概率为：， 情况2：从数学小组调去物理小组的是女生，  调女生的概率为； 调整后物理小组共人，男生仍为人，此时选出男生的概率为​； 该情况的联合概率为：， 故从调整后的物理小组任意选出1人，则选出的同学是男生的概率为. 6. 的展开式中的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】中展开式通项为， 故展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数是 . 7. 已知事件A和B相互独立，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由事件A和B相互独立，，，得， ， ，所以. 8. 已知函数，存在，使得，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知存在，使得，然后分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，构造函数，其中，分析该函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性得出，即，再构造函数，其中，只需，结合导数求解即可. 【详解】由题意可知存在，使得，即， 即， 当时，因为，则， 此时，符合题意； 当时，因为，则， 构造函数，其中，则， 所以函数在上单调递增， 由可得， 所以，可得， 构造函数，其中，只需， ，由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，亦即最大值，且， 所以，即实数的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数及导数的四则运算、复合函数的求导法则逐一分析选项即可. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D正确. 10. 袋子中有除颜色外完全相同的6个小球，其中白球4个，红球2个.从中不放回地随机抽取3个球.设取出红球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，B，根据随机变量服从超几何分布，结合超几何分布的概率公式计算概率；选项C，方法1，通过分布列计算期望；方法2，利用超几何分布的期望公式计算； 选项D，方法1，利用分布列计算方差；方法2，利用超几何分布的方差公式求解. 【详解】由题知服从超几何分布，参数（总球数），（红球数），（抽取数），的可能取值为. 所以 ，A正确； ，B错误； 方法1：，C正确； 方法2（超几何分布期望公式）：，C正确； 方法1（定义法）： ，D正确； 方法2（超几何分布方差公式）： ，D正确. 11. 已知随机变量，，，，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求得，利用正态分布密度曲线的对称性可求出的值，可得出的值，利用期望的性质可判断A选项；求出的值，利用方差的性质可判断B选项；利用正态分布密度曲线的对称性可判断C选项；利用原则可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，， 所以， 由正态分布密度曲线的对称性可得，所以， 由期望的性质可得，故A正确； 对于B选项，因为，则， 由方差的性质可得，故B错误； 对于C选项，， 因为，，所以，故C正确； 对于D选项，不妨令，，，， 因为，， 由原则可知，即，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知变量、的样本数据如下表，若变量的经验回归方程为，则____. 【答案】## 【解析】 【详解】由表格中的数据可得，， 故样本中心点的坐标为，将该点的坐标代入回归直线方程得， 解得. 13. 写出曲线与的一条公切线方程_____. 【答案】或 【解析】 【分析】分别设出切线与两曲线的切点，根据导数的几何意义列方程并求解. 【详解】分别对，，求导可得， . 设公切线切 于点，则切线斜率， 切线方程整理为：. 设公切线切 于点，切线斜率， 切线方程整理为：， 由公切线斜率和截距对应相等，可得：， 由第一个等式两侧同取以为底的对数可得， 代入第二个等式可得：， 解得或. 当时，，，截距为，得切线方程 ； 当时，，，截距为，得切线方程 . 14. 如图，一个质点从原点出发，每次向右移动个单位的概率为，每次向左移动个单位的概率为.记质点连续移动次后，位于的位置，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设质点向右移动的次数为，则，，利用二项分布的期望公式可求出，再利用期望的性质可求得. 【详解】设质点向右移动的次数为，则， 则，由二项分布的期望公式可得， 由期望的性质可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率． 【答案】（1）； （2）﹒ 【解析】 【分析】(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对有两种情况：“第一次对”和“第一次错，第二次对”； (2)最后1位是偶数，不超过2次就按对也有两种情况：“第一次对”和“第一次错，第二次对”﹒ 【小问1详解】 设“第i次按对密码”(，2)，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为． 事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得 ． 因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为． 【小问2详解】 设“最后1位密码为偶数”，则． 因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为． 16. 已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等， （1）求和此展开式中二项式系数最大的项； （2）求的展开式中含项的系数. 【答案】（1），展开式中二项式系数最大的项为. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，可得出的值，再利用二项式系数的增减性结合二项展开式通项可求得展开式中二项式系数最大的项； （2）求出的展开式中项和常数项的系数，结合代数式可得出展开式中项的系数. 【小问1详解】 由题意得，解得. 二项式为二项式系数最大的项为第项， 即，所以展开式中二项式系数最大的项为. 【小问2详解】 由（1）知， 展开式的通项为. 令，得，对应项为； 当，得，对应项为. 所以含的项为，系数为. 17. 已知函数在处取得极小值． （1）求c的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）的最大值为0 ，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由题意，根据，解得或，然后分情况讨论即可求解； （2）由（1）判断函数在区间上的单调性，然后根据单调性即可求解. 【小问1详解】 解：， 由得或， 当时，， 令，可得或，令，可得， 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处取得极小值； 当时，， 令，可得或，令，可得， 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处取得极大值，舍去； 综上，； 【小问2详解】 解：由（1）知函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 又因为， 所以的最大值为0 ，最小值为. 18. 某食品加工厂有、两条面包烘焙生产线，随机抽样测量面包重量（单位：）.规定：重量落在为优等品；落在和为合格品；落在和为次品.同一时间内两条生产线上随机抽取的面包数量如下表： 生产线 （1）完成优等品、非优等品的列联表，并依据的独立性检验，判断面包为优等品是否与生产线有关联； （2）将每条生产线的样本频率视为概率.从、两条生产线分别随机抽取个面包，设为个面包中优等品的个数，求； （3）工厂将、两条生产线的面包分别装箱售卖，每箱均装有个面包.面包出厂前工厂可自主选择是否整箱检验：若选择检验，每个面包的检测费用为元，检出的次品全部替换为合格产品；若选择不检验，每售出个次品需赔付元.将每条生产线的样本频率作为单个面包的次品概率，分别计算、生产线整箱面包的检测费用与不检验的赔付期望，并据此分别判断两条生产线的面包是否需要整箱检验. 附：，其中；. 【答案】（1） 优等品 非优等品 合计 合计 面包是否为优等品与生产线有关联. （2） （3）对于生产线，不检验的赔付期望为：元， 因为，故生产线无需整箱检验. 对于生产线，不检验的赔付期望：元， 因为，故生产线需要整箱检验. 【解析】 【分析】（1）根据题中信息可完善列联表，零假设为优等品与生产线无关联，计算出的观测值，结合临界值可得出结论； （2）解法一：求出两条生产线抽取单个面包为优等品的概率，分析可知的所有可能取值为、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出的分布列，进而可求得的值； 解法二：设为生产线抽取个面包中的优等品数量，则，设为生产线抽取个面包中的优等品数量，则，根据题意得，再利用二项分布的期望公式以及期望的性质可求得的值； （3）记、生产线次品率为、，由此计算出两条生产线不检验的赔付期望值，再与各生产线整箱面包的检测费用的大小作比较，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意得列联表如下： 优等品 非优等品 合计 合计 零假设为优等品与生产线无关联，， 因为，依据小概率值的独立性检验，可以认为不成立，面包是否为优等品与生产线有关联. 【小问2详解】 解法一：生产线抽取单个面包为优等品的概率为， 生产线抽取单个面包为优等品的概率为， 的所有可能取值为、、、、， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 . 解法二：设为生产线抽取个面包中的优等品数量，则， 设为生产线抽取个面包中的优等品数量，则. 由题意，， . 【小问3详解】 记、生产线次品率为、，则，， 生产线整箱面包的次品数， 生产线整箱面包的次品数， 每箱面包全检成本：元， 对于生产线，不检验的赔付期望为：元， 因为，故生产线无需整箱检验. 对于生产线，不检验的赔付期望：元， 因为，故生产线需要整箱检验. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若存在、，使得. （i）求实数的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1） （2）（i） （ⅱ）由（ⅰ）知, 先证：， 令，所以，. 当时，，所以在上单调递减，； 当时，，所以在上单调递增，， 所以，当时，，即. 所以，即，所以； 再证，设、， 易知直线方程为，直线方程为， 因为当时，，所以， 即，即①， 当时，令， 则. 因为在时单调递增，，， 则，使得， 则在单调递减，在上单调递增. 又因为，，所以时，. 即当时，，所以， 所以②，由①②知，， 综上，. 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）（i）利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （ii）根据（i）可得，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，推导出，结合可证得；再构造函数，，分析该函数的单调性与极值，推导出，，数形结合可得出，进而推导出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，，求导得. 所以，，所求切线方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，，， 令，得，所以在上单调递减， 令，得，所以在上单调递增 所以. 又因为，当时，；当时，， 由题意可知直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 所以实数的取值范围为. （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $