2026-2027学年人教版数学上学期八年级第十四章 全等三角形单元试卷

**基本信息** 八年级《全等三角形》单元卷，以桥梁钢架、智能闸机等真实情境为载体，覆盖全等判定与性质，梯度设计适配单元复习，提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等判定（如SSS/SAS）|桥梁钢架结构判定依据辨析| |填空题|5/15|性质应用|跷跷板中点性质计算| |解答题|7/52|综合应用|折叠坐凳全等证明、秋千运动全等应用，含“一线三垂直”模型与动态探究|

2026-2027学年第一学期 八年级 《第十四章全等三角形》单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 1、 选择题: 1．如图，，，，则的度数为（   C  ） A． B． C． D． 2．如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（  A   ） A． B． C． D． 3．如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（  A  ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，下列条件中，不能判定的是（   D  ） A． B． C． D． 5．下列各组条件中，不能判定和全等的是（  B   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 6．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（  D   ） A．，， B．， C．，， D．，， 7．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（   B  ） A． B． C． D． 【解题步骤】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 8．小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（   B  ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（   C ） A． B． C． D． 10．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  C）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，在和中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 12．如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是________________． 13．如图，中，，平分交于，点在线段上，满足，若，，则的长为___14___． 14．如图，小丁和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高OM，于F，于E．小丁在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，已知C，M，D三点共线，与互余，且，，．则办公楼的高度________． 15．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为___或_____． 三、解答题 16．小红在公园游玩时发现一池塘，她想知道池塘的宽，由于不能直接测量，她设计了如下方案： 主题 测量池塘的宽 测量方案及示意图 ①在池塘旁的开阔地上确定一点，使点能够直接到达池塘两端，，测得的度数； ②在的另一侧作射线，使，沿着射线走与长相同的距离到点处； ③测量出． 根据以上信息，求池塘的宽． 【解题思路】根据证明，再由全等三角形的性质求解． 【解题步骤】解：∵，， ∴ ∴， 答：池塘的宽为． 17．如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【解题思路】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【解题步骤】（1）证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ，， ． 18．2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的_________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【解题思路】（1）根据三角形的稳定性即可解答； （2）先证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【解题步骤】（1）稳定 （2）理由：是，的中点，， ，． 又， ， ． 19．【特例感知】 (1)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 (2)请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 【解题思路】（1）根据同角的余角相等可得：； （2）证明，根据全等三角形的性质可证； （3）证明，根据全等三角形的性质可得，根据，，即可求出的长度． 【解题步骤】（1）解：， 根据同角的余角相等，可得：； （2）解：， 理由如下： ， ， 在和中，， ， ，， ； （3）解：是的外角， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，即， ． 20．小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求处距离地面的高度． 【解题思路】（1）根据等角的余角相等和直角三角形的性质得出，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，结合题意，即可求解． 【解题步骤】（1）(1)，理由如下： 由题意可知，， 故， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ （2）解：∵， ∴，， ∵，分别为和， ∴， ∵， ∴， ∴处距离地面的高度为． 21．综合与探究： 问题情境：数学课上，老师和同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动．已知中，，点是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使得，，连接． (1)特例分析：如图1，当点在线段上，且时，则________． (2)拓展探究：若，． ①如图2，当点在线段上移动时，和之间有着怎样的数量关系？并说明理由． ②当点在直线上移动时，和之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 【解题思路】（1）证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证； （2）①证明，得到，再进行等量代换，最后利用三角形内角和定理即可求证； ②分别讨论当点M在线段上移动时，当点M在线段的延长线上移动时，当点M在线段的反向延长线上移动时，三种情况即可． 【解题步骤】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①解：，理由如下： ， ， 即， 在和中， ， ， ， ，，， ； ②解：当点M在线段上移动时，，证明见小问①； 当点M在线段的延长线上时，如图1，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点M在射线的反向延长线上时，如图2，， 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 22．【探究与发现】 (1)如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A．    B．    C．    D． 【变式与应用】 (2)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】 (3)如图2，，，与互补，连接，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点 ∴ 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． 【解题思路】（1）由三角形中线的定义得到，再根据，可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，根据三角形三边的关系求出的取值范围，则可求出的取值范围； （3）由全等三角形的性质得到，则可证明，得到，据此可证明；再证明，得到，据此可证明． 【解题步骤】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由三角形的三边关系可得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第14页，共15页 第15页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期 八年级 《第十四章 全等三角形》单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 一、选择题: (本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．如图，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，且，延长交于点F，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，某桥梁的钢架结构中，和的顶点，，，在同一直线上．已知，且，同时点是的中点，点是的中点．则判定的依据是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，，下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 5．下列各组条件中，不能判定和全等的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（     ） A．，， B．， C．，， D．，， 7．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，点为的中点，点是下方一点，连接，．平分，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在和中，，，、、、四点共线，若要用“”直接判定，则可以添加的条件是：______________． 12．如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是________________． 13．如图，中，，平分交于，点在线段上，满足，若，，则的长为______． 14．如图，小丁和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高OM，于F，于E．小丁在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角，已知C，M，D三点共线，与互余，且，，．则办公楼的高度________． 15．如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 三、解答题(本大题有7小题，共52分) 16．（4分） 小红在公园游玩时发现一池塘，她想知道池塘的宽，由于不能直接测量，她设计了如下方案： 主题 测量池塘的宽 测量方案及示意图 ①在池塘旁的开阔地上确定一点，使点能够直接到达池塘两端，，测得的度数； ②在的另一侧作射线，使，沿着射线走与长相同的距离到点处； ③测量出． 根据以上信息，求池塘的宽． 17．（6分）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 18．（8分）2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的_________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 19．（9分） 【特例感知】 (1)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 (2)请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 20．（8分）．小萌同学与爸妈周末去公园游玩——荡秋千，如图所示，小萌坐在秋千的起始位置处，与地面垂直并交于点，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，，爸爸在处接住小萌时． (1)判断与是否全等，并说明理由； (2)求处距离地面的高度． 21．（10分）综合与探究： 问题情境：数学课上，老师和同学们一起以两个“顶角相等的等腰三角形”为背景展开探究活动．已知中，，点是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使得，，连接． (1)特例分析：如图1，当点在线段上，且时，则________． (2)拓展探究：若，． ①如图2，当点在线段上移动时，和之间有着怎样的数量关系？并说明理由． ②当点在直线上移动时，和之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 22．（12分）【探究与发现】 (1)如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． A．    B．    C．    D． 【变式与应用】 (2)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【问题拓展】 (3)如图2，，，与互补，连接，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 证明：如图，延长至H，使，连接． ∵E是的中点 ∴ 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． 第6页，共8页 第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $