广东深圳市龙岗区龙城高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

龙城高级中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试卷 本试卷共4页，19道题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 3 B. 15 C. 10 D. 30 2. 满足等式的的值为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 如果实数满足等式，那么的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 5. 已知，则（ ） A. 32 B. 31 C. D. 1 6. 已知为坐标原点，为椭圆的右顶点．若椭圆上存在两点，，使得以，，，为顶点的四边形是正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 现将3个标有数字1，2，3的不同红球及3个白球（白球之间没有区别）放入3个不同的盒子中，每个盒子放入2个球，则不同的放法种数为（ ） A. 15 B. 90 C. 24 D. 36 8. 若直线是曲线与曲线的公切线，（ ） A. B. 1 C. e D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是等差数列的前项和，为公差，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，取最小值 C. D. 10. 已知函数，，且在处取得极小值，则（ ）． A. B. 仅有一个极值点 C. 当时， D. 当时， 11. 某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有6架无人机，有甲、乙、丙、丁4条街道需要巡检，若6架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是（ ） A. 若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有12种不同的巡检方案 B. 若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有84种不同的巡检方案 C. 若给无人机按1~6编号，它们排队依次起飞，其中1号、2号两架无人机不相邻，则共有480种不同的顺序 D. 若给无人机按1~6编号，每条街道至少需要1架无人机，甲街道至多需要2架无人机，则共有1440种不同的巡检方案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则___________．（用数字作答） 13. 已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，则的最小值是___________． 14. 函数是定义在上的奇函数，其导函数记为，当时，恒成立，若，则不等式的解集为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知的展开式中第项的系数与第项的系数和为． （1）求的值； （2）求展开式中含的项，并指出该项的二项式系数． 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若有三个零点，求的取值范围. 17. 已知数列的前项和为，当时满足． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，求证：对于任意，都有． 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且椭圆上满足的点有且仅有2个． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于两点（在第一象限），与轴，轴分别交于点，且；点关于轴的对称点为，直线与椭圆的另一个交点为． （i）记直线的斜率分别为，证明：为定值； （ii）求直线的斜率的最小值． 19. 已知函数． （1）求的图像在处的切线方程； （2）若，证明：； （3）探究函数的零点个数． 龙城高级中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试卷 本试卷共4页，19道题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】84 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1） （2）含的项为，该项的二项式系数为． 【16题答案】 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为. （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 所以， 当时，，不等式成立， 当时， 综上． 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）设，则， 所以， 由，知 故， 故为定值． （ii） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：当时，函数， 要证明，即证， 设，则，问题转化为， 设，则， 所以在区间上单调递减，所以， 即，即， 所以． （3）当时，有1个零点；当时，有3个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $