第一章集合与常用逻辑用语章末测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学集合与常用逻辑用语单元卷，精选2025-2026届名校模拟题，覆盖集合运算、逻辑用语等核心知识，适配单元复习，注重数学抽象与推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单项选择题|5|集合交集（题1）、命题否定（题5）|基础巩固，真题情境（如成都二诊题1）| |多项选择题|2|真假命题（题6）、充分条件（题7C）|能力辨析，逻辑推理| |填空题|5|子集关系（题8）、子集个数（题10）|符号表达，数学语言应用| |解答题|3|集合运算与参数（题13）、分类讨论（题15）|综合应用，贴近高考趋势（如天津模拟题13）|

第一章 集合与常用逻辑用语 章末测试 一、单项选择题 1.【2025届成都二诊】已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {1, 2, 3}，则 A ∩ B = A. {1} B. {1, 2} C. {2, 3} D. {1, 2, 3} 2.【2025届湖南省名校联考】已知集合 A = {1, 2, 3, 4}，B = {x | x = n², n ∈ A}，则 A∩B = A. {1, 4} B. {2, 3} C. {9, 16} D. {1, 2} 3.【2025届福建省莆田一中】集合 A = {x | x ≥ 0 且 x 为偶数}，B = {x | x < 0 或 x >2}，则 A ∩ B = A. {x | x > 2 且 x 为偶数} B. {0, 2} C. {x | x ≥ 0} D. ∅ 4.【2025届四川省自贡一中二模】已知集合 A = {x | -1 < x < 3}，B = {x | x > 1}，则 A ∩ B = A. {x | -1 < x < 3} B. {x | 1 < x < 3} C. {x | x > -1} D. {x | x > 1} 5.【2025届北京清华附中】命题"∀x ∈ R，x² + 1 > 0"的否定是 A. ∀x ∈ R，x² + 1 ≤ 0 B. ∃x ∈ R，x² + 1 ≤ 0 C. ∃x ∈ R，x² + 1 > 0 D. ∀x ∈ R，x² + 1 < 0 2、 多项选择题 6.【2026届高三一轮复习阶段测试】下列命题中为真命题的是 A. ∃x ∈ R，x² + 1 = 0 B. ∀x ∈ R，x² ≥ 0 C. ∃x ∈ Z，x² = 2 D. ∀x ∈ Q，x² ∈ Q 7.【2026届高三一轮复习阶段测试】下列说法正确的是 A. 若 a > b，则 a² > b² B. 命题"∀x ∈ R，x² + x + 1 > 0"的否定是"∃x ∈ R，x² + x + 1 ≤ 0" C. "a > 1"是"< 1"的充分不必要条件 D. 不等式 x + ≥ 2 恒成立 3、 填空题 8.【2026届高三一轮复习阶段测试】已知 A = {x | -1 < x < 3}，B = {x | x < a}，且 A ⊆ B，则 a 的取值范围是__________ 9.【2026届高三一轮复习阶段测试】已知 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，如果 A ∪ C = B，那么集合 C 可以是 __________ 10.【2025届甘肃省武威市凉州区一模】集合 A = {x | x² - 5x + 6 = 0}，则 A 的子集个数为 __________ 11.【2025届成都市川师附中】已知命题 p："∃x ∈ R，x² + ax + 1 < 0"为假命题，则实数 a 的取值范围是__________ 12.【2025届福建省漳州市质检】若集合 A = {1, m}，B = {1, 2, 3}，且 A ⊆ B，则 m 的值为 __________ 4、 解答题 13.【2025届天津市高考模拟】已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {x | x² - ax + a - 1 = 0}。 若 A ∪ B = A，求实数 a 的值。 14.【2025届浙江省重点中学联考】设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合 A = {1, 3, 5}，B = {2, 4, 6}。 (1) 求 ∁ᵤ(A ∪ B)； (2) 若 C ⊆ U，且 A ∩ C = {1, 3}，B ∩ C = {4}，求集合 C。 15.【2025届山东省实验中学模拟】已知集合 A = {x | -2 ≤ x ≤ 5}，B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1}。 (1) 若 B ⊆ A，求实数 m 的取值范围； (2) 若 A ∩ B = ∅，求实数 m 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语 章末测试 一、单项选择题 1.【2025届成都二诊】已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {1, 2, 3}，则 A ∩ B = A. {1} B. {1, 2} C. {2, 3} D. {1, 2, 3} 【答案】B 【解析】由 x² - 3x + 2 = 0，解得 x = 1 或 x = 2，所以 A = {1, 2}。 又 B = {1, 2, 3}，所以 A ∩ B = {1, 2}。故选B。 2.【2025届湖南省名校联考】已知集合 A = {1, 2, 3, 4}，B = {x | x = n², n ∈ A}，则 A∩B = A. {1, 4} B. {2, 3} C. {9, 16} D. {1, 2} 【答案】A 【解析】依题意，B = {1, 4, 9, 16}，故 A ∩ B = {1, 4}。故选A。 3.【2025届福建省莆田一中】集合 A = {x | x ≥ 0 且 x 为偶数}，B = {x | x < 0 或 x >2}，则 A ∩ B = A. {x | x > 2 且 x 为偶数} B. {0, 2} C. {x | x ≥ 0} D. ∅ 【答案】A 【解析】集合 A 为大于等于0的偶数集，集合 B = {x | x < 0 或 x > 2}， 所以 A ∩ B = {x | x > 2 且 x 为偶数}。故选A。 4.【2025届四川省自贡一中二模】已知集合 A = {x | -1 < x < 3}，B = {x | x > 1}，则 A ∩ B = A. {x | -1 < x < 3} B. {x | 1 < x < 3} C. {x | x > -1} D. {x | x > 1} 【答案】B 【解析】A = {x | -1 < x < 3}，B = {x | x > 1}， 所以 A ∩ B = {x | 1 < x < 3}。故选B。 5.【2025届北京清华附中】命题"∀x ∈ R，x² + 1 > 0"的否定是 A. ∀x ∈ R，x² + 1 ≤ 0 B. ∃x ∈ R，x² + 1 ≤ 0 C. ∃x ∈ R，x² + 1 > 0 D. ∀x ∈ R，x² + 1 < 0 【答案】B 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，将"∀"改为"∃"，并否定结论。 所以命题的否定为：∃x ∈ R，x² + 1 ≤ 0。故选B。 2、 多项选择题 6.【2026届高三一轮复习阶段测试】下列命题中为真命题的是 A. ∃x ∈ R，x² + 1 = 0 B. ∀x ∈ R，x² ≥ 0 C. ∃x ∈ Z，x² = 2 D. ∀x ∈ Q，x² ∈ Q 【答案】BD 【解析】A项：x² + 1 = 0 无实数解，错误； B项：对任意实数 x，x² ≥ 0 恒成立，正确； C项：x² = 2 的解为 ±，不是整数，错误； D项：有理数的平方仍是有理数，正确。 故选BD。 7.【2026届高三一轮复习阶段测试】下列说法正确的是 A. 若 a > b，则 a² > b² B. 命题"∀x ∈ R，x² + x + 1 > 0"的否定是"∃x ∈ R，x² + x + 1 ≤ 0" C. "a > 1"是"< 1"的充分不必要条件 D. 不等式 x + ≥ 2 恒成立 【答案】BC 【解析】A项：当 a = -1，b = -2 时，a > b 但 a² = 1 < b² = 4，错误； B项：全称命题的否定正确，正确； C项：a > 1 时 1/a < 1 成立，但 1/a < 1 时可能是 a < 0，所以是充分不必要条件，正确； D项：由基本不等式，x + ≥，不能推出一定比2大或等于2。 故选BC。 3、 填空题 8.【2026届高三一轮复习阶段测试】已知 A = {x | -1 < x < 3}，B = {x | x < a}，且 A ⊆ B，则 a 的取值范围是__________ 【答案】a ≥ 3 【解析】因为 A ⊆ B，所以 A 中的所有元素都在 B 中。 A = {x | -1 < x < 3}，A ⊆ B需要 a ≥ 3。 即 a ≥ 3。 9.【2026届高三一轮复习阶段测试】已知 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，如果 A ∪ C = B，那么集合 C 可以是__________ 【答案】{4}（答案不唯一） 【解析】由 A ∪ C = B，得 C ⊆ B 。 所以 4 ∈ C。 C 可以是 {4}、{2, 4}、{3, 4}、{2, 3, 4} 中的任意一个。 故填 {4} 即可。 10.【2025届甘肃省武威市凉州区一模】集合 A = {x | x² - 5x + 6 = 0}，则 A 的子集个数为 __________ 【答案】4 【解析】由 x² - 5x + 6 = 0，解得 x = 2 或 x = 3，所以 A = {2, 3}。 含有 n 个元素的集合有 2ⁿ 个子集，所以 A 的子集个数为 2² = 4。 11.【2025届成都市川师附中】已知命题 p："∃x ∈ R，x² + ax + 1 < 0"为假命题，则实数 a 的取值范围是__________ 【答案】 -2 ≤ a ≤ 2 【解析】命题 p 为假，即 ¬p 为真："∀x ∈ R，x² + ax + 1 ≥ 0"为真。 二次函数 y = x² + ax + 1 开口向上，要使其恒 ≥ 0，需判别式 Δ ≤ 0。 Δ = a² - 4 ≤ 0，解得 -2 ≤ a ≤ 2。 12.【2025届福建省漳州市质检】若集合 A = {1, m}，B = {1, 2, 3}，且 A ⊆ B，则 m 的值为 __________ 【答案】2 或 3 【解析】因为 A ⊆ B，所以 A 中的元素都在 B 中。 已知 1 ∈ B，所以只需 m ∈ B。 又 A = {1, m}，m ≠ 1， 所以 m = 2 或 m = 3。 4、 解答题 13.【2025届天津市高考模拟】已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {x | x² - ax + a - 1 = 0}。 若 A ∪ B = A，求实数 a 的值。 【答案】a = 2 或 a = 3 【解析】由 x² - 3x + 2 = 0，得 A = {1, 2}。 由 A ∪ B = A，得 B ⊆ A。 方程 x² - ax + a - 1 = 0 的根只能是 1 或 2。 情况1：B = {1}，则方程有重根 x = 1。 代入得 1 - a + a - 1 = 0，恒成立。 判别式 Δ = a² - 4(a - 1) = a² - 4a + 4 = (a - 2)² = 0，得 a = 2。 此时方程为 x² - 2x + 1 = 0，根为 x = 1，B = {1} ⊆ A，符合。 情况2：B = {2}，则方程有重根 x = 2。 代入得 4 - 2a + a - 1 = 0，即 3 - a = 0，a = 3。 此时方程为 x² - 3x + 2 = 0，根为 x = 1, 2，B = {1, 2} = A ⊆ A，符合。 情况3：B = {1, 2}，则 a = 3（同上）。 综上，a = 2 或 a = 3。 14.【2025届浙江省重点中学联考】设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合 A = {1, 3, 5}，B = {2, 4, 6}。 (1) 求 ∁ᵤ(A ∪ B)； (2) 若 C ⊆ U，且 A ∩ C = {1, 3}，B ∩ C = {4}，求集合 C。 【答案】(1) ∅；(2) C = {1, 3, 4} 【解析】(1) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U。 所以 ∁ᵤ(A ∪ B) = ∅。 (2) 由 A ∩ C = {1, 3}，知 1 ∈ C，3 ∈ C，且 5 ∉ C（因为 5 ∈ A 但 5 ∉ A ∩ C）。 由 B ∩ C = {4}，知 4 ∈ C，且 2 ∉ C，6 ∉ C。 所以 C 中包含 1, 3, 4，不包含 2, 5, 6。 C ⊆ U，所以 C = {1, 3, 4}。 15.【2025届山东省实验中学模拟】已知集合 A = {x | -2 ≤ x ≤ 5}，B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m - 1}。 (1) 若 B ⊆ A，求实数 m 的取值范围； (2) 若 A ∩ B = ∅，求实数 m 的取值范围。 【答案】(1) m ≤ 3；(2) m < 1/2 或 m > 4 【解析】(1) B ⊆ A，分两种情况： ① B = ∅，即 m + 1 > 2m - 1，解得 m < 2。此时 B ⊆ A 成立。 ② B ≠ ∅，即 m ≥ 2。此时需要 m + 1 ≥ -2 且 2m - 1 ≤ 5。 m + 1 ≥ -2 ⇒ m ≥ -3（已满足 m ≥ 2）。 2m - 1 ≤ 5 ⇒ m ≤ 3。 所以 2 ≤ m ≤ 3。 综合①②：m < 2 或 2 ≤ m ≤ 3，即 m ≤ 3。 (2) A ∩ B = ∅，分两种情况： ① B = ∅，即 m < 2。此时 A ∩ B = ∅ 成立。 ② B ≠ ∅，即 m ≥ 2。此时需要 B 完全在 A 之外。 即 2m - 1 < -2 或 m + 1 > 5。 2m - 1 < -2 ⇒ m < （与 m ≥ 2 矛盾，舍去）。 m + 1 > 5 ⇒ m > 4。 所以 m > 4。 综合①②：m < 2 或 m > 4。 学科网（北京）股份有限公司 $