湖南永州市第八中学2025-2026学年高一上学期入学检测数学试卷

**基本信息** 以《哪吒之魔童闹海》票房、风筝测量等真实情境为载体，通过基础题到综合题的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配高一入学学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图形性质、科学记数法|结合社会热点（电影票房）考查数感| |填空题|8/24|因式分解、概率、新定义|“b级收缩数”新定义题发展创新意识| |解答题|8/66|统计、利润模型、圆与几何变换|风筝测量题体现几何直观，汽车续航统计培养数据意识，利润问题强化模型意识|

2025 年永州八中高一入学考试 数学试卷参考答案 学校：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。 1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 【1答案】B 【解答】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项错误； B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B选项正确； C是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项错误； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误； 2.估计的值在（ ） A.1 和 2 之间 B.2 和 3 之间 C.3 和 4 之间 D.4 和 5 之间 【2答案】C 【解答】解：∵2＜＜3， ∴3＜+1＜4， 故选：C． 3.下列各式计算正确的是（） A. B. C. D. 【3答案】D 4.2025 年大年初一上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》的中国票房收入 2 月 13 日夜间突破 100 亿元人民币。该片是首部单一市场票房过 10 亿美元、首部全球票房超 10 亿美元的非好莱坞影片。它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度。将 100 亿用科学记数法表示应为（） A. 1×108 B. 1×109 C. 1×1010 D. 1×1011 【4答案】C． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：100亿=10000000000=1×1010． 5.如图，两张宽为 3 的长方形纸条叠放在一起，已知 ∠ABC=60∘，则阴影部分的面积是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【5答案】A． 【分析】首先过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得AB=BC的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案． 【解答】解：两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，如图，作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F， ∵AD∥BC，AB∥CD，BE=BF=3， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC=∠ADC=60°， ∴∠ABE=∠CBF=30°， ∴AB=2AE，BC=2CF， ∵AB2=AE2+BE2，BE=3， ∴AB， 同理：BC=， ∴AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AD= ∴S菱形ABCD=AD×BE=​ 6.若，则 x 的取值范围是（ ） A. x≥−3 B. x≥2 C. x>−3 D. x>2 【6答案】B 7.如图，AC，BC 为圆⊙O的弦，连接 OA，OB，OC。若 ∠AOB=40°，∠OAC=30°，则 ∠BCO 的度数为（） A.40° B.45° C.50° D.55° 【7答案】C 【分析】根据圆周角和圆心角的关系得∠ACB=∠AOB=20°，再根据∠OCA=30°即可得出∠BCO的度数． 8. 【解答】解：∵∠AOB=40°， ∴∠ACB=∠AOB=20°， ∵∠OCA=30°， ∴∠BCO=∠OCA+∠ACB=50°． 8.某超市在端午节当天举办购物满 68 元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为 1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉。小明和小购物都满 68 元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（ ） A. ​ B. ​ C. D. 【8答案】D 【解答】解：列树状图如下： 由树状图可知：两人恰好得到不同馅的粽子的概率是 9.如图，将一副三角尺的直角顶点重合放置则下列结论不正确的是（ ） A. 若∠2=30°，则 AC∥DE B. 若 BC∥AD，则 ∠2=45° C. ∠BAE+∠CAD=180° D. 若 ∠CAD=140∘，则 ∠4=∠C 【答案】D 【解答】解：由题意，知∠BAC=∠DAE=90°，∠B=∠C=45°，∠D=30°，∠E=60°， A．若∠2=30°， ∴∠1=∠BAC-∠2=60°， ∴∠1=∠E， ∴AC∥DE，所以此选项正确，不符合题意； B．若BC∥AD， ∴∠3=∠B=45°， ∴∠2=∠DAE-∠3=45°，所以此选项正确，不符合题意； C．∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠BAE+∠CAD=∠2+∠1+∠2+∠3=90°+90°=180°，所以此选项正确，不符合题意； D．若∠CAD=140°，∠D=30°， ∴∠CAD+∠D=170°． ∴AC和DE不平行， ∴∠4≠∠C，所以此选项错误，符合题意． 10.如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9…△A3n-2A3n-1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，2n,顶点A3，A6，A9…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心（等边三角形各内角角平分线的交点），点A2024的坐标为（　　） A. B. C. D. 无法确定 【10答案】A 【解答】解：∵2024=3×675-1， ∴点A2024和点A2在同一个象限，在第675个三角形中， ∵△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9…，△A3n-2A3n-1A3n，它们的边长依次是2，4，6，…，2n, ∴第675个三角形的边长为2×675， ∴点A2024的横坐标为675， 如图，连接OA，作AM⊥x轴于点M，则∠OMA=90°， 由题意得：∠MOA2025=120°-90°=30°， ∴AM=675×tan30°= ∴点A2024的坐标为（675，）， 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 11.分解因式：7m2−28=__________ 【11答案】 12. 不透明袋子中装有 13 个球，其中有 3 个红球、4 个黄球、6 个绿球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机取出 1 个球，则它是绿球的概率为__________ 【12答案】 解：袋子中红球的个数为3， 球的总数为3+4+6=13， 根据概率计算方法用红球的个数除以总球的个数可知： 抽到绿球的概率为 13. 已知 x1​、x2分别是一元二次方程 x2−3x+1=0 的两个根。则 的值为__________ 【13答案】3． 解：由题知， 因为x1，x2分别是一元二次方程x2-3x+1=0的两个根， 所以x1+x2=3，x1x2=1， 则 14. 一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，则它的顶角为__________ 【14答案】130°或50° ①如图2，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，∠DEN=40°， ∵EN是DF边上的高， ∴∠N=90°， ∴∠EDN=90°-40°=50°， ∴∠EDF=180°-50°=130°， ②如图1所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，∠ABM=40°， 又∵BM是AC边上的高， ∴∠AMB=90°， ∴∠A=90°-40°=50°， 故顶角为：130°或50°． 15. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 ，甲纸条的与乙纸条的 叠合在一起形成长为 81 的纸条，则 a+b=__________ 【15答案】99 解：根据题意得， 解得： ∴a+b=99， 16.如图，⊙O是地球的示意图，其中 AB 表示赤道，CD，EF 分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°。夏至日正午时，太阳光线 GD 所在直线经过地心 O，此时点 F 处的太阳高度角 ∠IFH（即平行于 GD 的光线 HF 与⊙O的切线 FI 所成的锐角）的大小为__________ 【16答案】43°． 【解答】解：∵∠DOB=∠FOB=23.5°，∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°， ∵GD∥HF，∴∠OFH=180°-∠DOF=133°， ∵FI是⊙O的切线， ∴OF⊥FI，即∠OFI=90°， 则∠IFH=133°-90°=43°． 17.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO 的顶点 O 与原点重合，顶点 B 在 x 轴上，∠ABO=90°，OA 与反比例函数的图象交于点 D，且 OD=2AD，过点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C。若S四边形ABCD=5 ，则 k 的值为__________ 【17答案】． ∵OD=2AD ∴ ∵∠ABO=90° ⊥ ∴AB∥DC ∴△DCO△ABO ∴ ∴ ∴ ∵S四边形ABCD=5 ∴=4 ∴ ∴ ∵该反比例函数的图像的一支位于第二象限 ∴k= 18. 设 a为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于 b，十位与个位的数字之和等于 b−1，则称这样的数为 " b 级收缩数 "。例如正整数 2634 中，因为 2+6=8，3+4=7=8−1，所以 2634 是 "8 级收缩数"，其中 b=8。 最小的 "4 级收缩数" 是 ；若一个 "6 级收缩数" 的千位数字与十位数字之积为 6，且这个数能被 19 整除，则满足条件的数是 【18答案】1303，2432． 解：∵是“4级收缩数”， ∴b=4． ∵求最小的“4级收缩数”， ∴千位数字可选数字1， ∴百位数字为3． ∵十位与个位数字的和为3， ∴十位可选最小的数字0， ∴个位数字为3． ∴最小的“4级收缩数”为：1×1000+3×100+0×10+3=1303； 设“6级收缩数”的千位数字为x,十位上的数字为y,则百位数字为6-x,个位上的数字为5-y. ∵千位数字与十位数字之积为6， ∴（不合题意，舍去）或或 ∴“6级收缩数”为6014或2432或3323． ∵这个数能被19整除，上述3个数只有2432是19的整数倍， ∴“6级收缩数”为：2432． 三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 小题每题 8 分，第 23、24 小题每题 9 分，第 25、26 小题每题 10 分，共 66 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.计算：2cos30°−∣−∣+(2025−π)0 20. 先化简，再求值：，其中 a=3 解： 当a=3时，原式= 21. 某综合实践小组学习了 "勾股定理" 之后，设计方案测量风筝的垂直高度 CE。测得水平距离 BD 的长为 15 米；风筝线 BC 的长为 25 米；牵线放风筝的小明的身高为 1.6 米。 (1) 求风筝的垂直高度 CE； (2) 如果小明想风筝沿 CD 方向下降 12 米，则他应该往回收线多少米？ 21，解：由题意得：∠CDB=90°，AB=DE=1.6米， （1）在Rt△CDB中，由勾股定理得：CD= =20（米）， ∴CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米）； （2）如图，在CD上截取CF=12米，连接BF， 则DF=CD-CF=20-12=8（米）， 在Rt△BDF中，由勾股定理得：BF==17（米）， ∴25-17=8（米）， ∴他应该往回收线8米． 22. 小华外出旅游时打算从汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程为 420km。该汽车租赁公司有 A、B、C 三种车型可供选择，每天的租金分别为 300 元 / 辆，380 元 / 辆，500 元 / 辆。为了选择合适的车型，小华对三种纯电动汽车满电续航里程进行了调查，信息如下： 【整理数据】 (1) 补全上述条形统计图； (2) 在 A 型车满电续航里程的扇形统计图中，"390km" 对应的圆心角度数为__________ 【分析数据】 型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km） A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n (3) 填空：m= ，n= 【做出决策】 （4）综合上述信息，你认为小华选择哪个车型较为合适？说明理由。 【22答案】（1）； （2）72° （3）430，450； （4）小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为420km，∵A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求；B，C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，∴选择B型号的纯电动汽车较为合适． 23. 某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某品牌火腿的市场行情。下表是 "智多星" 小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题。 某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2024.10.2 活动地点 某火腿销售店 实践内容 调查火腿市场行情，帮助店家解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 火腿的进价为40元/千克． 当火腿售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克火腿每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该店某天销售火腿获利1600元，则火腿的售价为多少元/千克？ 问题2 当火腿的售价定为多少元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大？ 【解答】解：问题1：设火腿的售价为x元/千克， 由题意得：（x-40）[100（x-50）×2]=1600， 解得：x=60或x=80， ∵要让顾客得到更大的实惠，∴x=60， 答：火腿的售价为60元/千克； 问题2：该店当日销售火腿所获利润为y元， 由题意得：y=（x-40）[100-（x-50）×2] =（x-40）（200-2x）=2x2+280x-8000 =2（x-70）2+1800， ∵-2＜0， ∴当x=70时，y最大，最大值为1800， 答：当火腿的售价定为70元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大 24. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是劣弧 BD 中点，AC 与 BD 相交于点 E，连接 BC，∠BCF=∠BAC，CF 与 AB 的延长线相交于点 F。 (1) 求证：CF 是 ⊙O 的切线； (2) 求证：∠ACD=∠F； (3) 若 AB=10，BC=6，求 AD 的长。 （1） 证明：连接OC， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠OCB=90°， ∵OA=OC， ∴∠BAC=∠ACO， ∵∠BCF=∠BAC， ∴∠BCF+∠OCB=90°， ∴∠OCF=90°， ∴OC⊥CF， ∴CF是⊙O的切线； （2）∵点C是BD中点， ∴CD=BC ∴∠CAD=∠BAC， ∵∠BCF=∠BAC， ∴∠CAD=∠BCF， ∵CD=DC ∴∠CAD=∠CBD， ∴∠BCF=∠CBD， ∴BD∥CF， （3）如图：设OC、BD交于点H， ∵BD∥CF，OC⊥CF， ∴OC⊥BD， ∴DH=BH； 设OH=x,则CH为（5-x），根据勾股定理， 解得：x ∴OH= ∵OH是△ABD的中位线， ∴AD=2OH= 25. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=α，点 D 在射线 BC 上，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 180°−2α得到线段 AE（点 E 不在直线 AB 上），过点 E 作 EF∥AB，交直线 BC 于点 F。 (1) 如图 1，α=45∘，点 D 与点 C 重合，求证：BF=AC； (2) 如图 2，点 D、F 都在 BC 的延长线上，用等式表示 DF 与 BC 的数量关系，并证明。 证明：（1）∵∠ACB=90°，∠ABC=45°， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∵线段AD绕点A逆时针旋转180°-2×45°=90°得到线段AE，点D与点C重合， ∴AE=AD=AC，∠EAB=90°-∠BAC=45°， ∴∠EAB=∠ABC， ∴BC∥AE， ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∴BF=AE， ∴BF=AC； （2）DF=2BC，证明： 如图，在DC上取一点G，使得CG=CB， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACG=∠ACB=90°， 在Rt△ACG和Rt△ACB中， ， ∴Rt△ACG≌Rt△ACB（SAS）， ∴AG=AB， ∴∠AGB=∠ABG=α， ∴∠BAG=180°-2α， ∵将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AE， ∴DA=EA， ∴∠DAE=∠GAB=180°-2α， ∴∠DAG=∠EAB， ∴△DAG≌△EAB（SAS）， ∴DG=BE，∠AGD=∠ABE=180°-∠AGC=180°-α， 又∵∠ABC=α， ∵∠FBE=∠ABE-∠ABC=180°-α-α=180°-2α， ∵EF∥AB， ∴∠BFE=∠ABF=α， ∴∠BEF=180°-∠FBE-∠BFE=α， ∴BE=BF， ∴DG=BF， ∴DF=BD-BF=BD-DG=BG=2BC． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 A(0,3)，B(6,3)，顶点为 P抛物线(a<0) 经过点 C()。两条抛物线在第一象限内的部分别记为 (1) 求 b，c 的值及点 P 的坐标； (2) 点 D 在 L1上，到 x 轴的距离为，判断 L2能否经过点 D，若能，求 a 的值；若不能，请说明理由； (3) 直线 AE:y=kx+n(k>0) 交 L1于点 E，点 M 在线段 AE 上，且点 M 的横坐标是点 E 横坐标的一半。 1 若点 E 与点 P 重合，点 M 恰好落在 L2上，求 a 的值； ② 若点 M 为直线 AE 与 L2 的唯一公共点，请直接写出 k 的值。 【26答案】（1）b＝6，c＝3，P（3，12）；（2）不能；（3）①；②． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P， ∴， 解得：b＝6，c＝3， ∴y＝﹣x2+6x+3＝﹣（x﹣3）2+12， ∴P（3，12）； （2）∵点D在L1（第一象限）上，到x轴的距离为， 则， ∴当时，， 解得：或， ∴或， ∵抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点，对称轴为直线x＝3， ∴L2经过点和， ∴L2不能经过点D， （3）①∵A（0，3），P（3，12）， 当E，P重合时，则E（3，12）， ∵M是AE的中点， ∴， ∵点恰好落在L2上，L2经过点， ∴， 解得：； ②直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，A（0，3）， ∴n＝3， ∴直线AE的解析式为y＝kx+3， ∵y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点， ∴， ∴， ∴， 联立， 消去y得，， ∴，则， ∵点M的横坐标是点E横坐标的一半， ∴，即， 将E代入y＝﹣x2+6x+3， ∴ ∵点M为直线AE与L2的唯一公共点， ∴②， 联立①②得：或， 当时，唯一公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $2025年永州八中高一入学考试 数学试卷 学校： 姓名： 考号： 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选 项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( D 2·3 2.估计1+√6的值在（) (A)1和2之间 (B)2和3之间 (C)3和4之间 (D)4和5之间 3下列各式计算正确的是() A.a2.a5=a10 B.（-a2=a C.(a-b)=a2-b2 D.（-x-y)(-x+y)=x2-y2 4.2025年大年初一上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》的中国票房收入2月13日夜间突破100亿 元人民币.该片是首部单一市场票房过10亿美元、首部全球票房超10亿美元的非好莱坞影片.它的 成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力 标注了新高度.将100亿用科学记数法表示应为() A.1×108 B.1×109 C.1×100 D.1×10 5.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知LABC=60,则阴影部分的面积是（) A. 6v3 B. 3v3 C. 0 D. 9w3 6.若Vx+3)(x-2)=√x+3√x-2,则x的取值范围是（) A.x≥-3 B.x22 C.x>-3 D.x>2 7.如图，AC,BC为⊙0的弦，连接OA,OB,OC,若∠AOB=40°，∠0CA=30°，则∠BC0的度数为() A.40° B.45° C.50° D.55° B A 超市在端午节当天举办购物满68元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外 完全相同的球（编号为1,2,3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的棕子，三种馅 分别是豆沙、蛋黄和腊肉。小明和小华购物都满68元，一起去参加抽奖活动，他们怡好得到不同馅 的棕子的概率是〈 A君 B C. D. 2如图，格一副三角尺的直角顶点重合放置则下列结论不正确的是 品4 B A.若∠2=30°.则AC∥DEB.若BC∥AD,则∠2=45 C.∠BAE+∠CAD=180 D.若∠CAD=140°，则∠4=∠C 63 -D 10.如图，△444，△4A4,，△44A,…,△4m-2An-14n（n为正整数)均为等边三角形，它 们的边长依次是2,4,6，…，2，顶点4，A,A，,…,An均在y轴上，点O是所有等边三 角形的中心，点Am的坐标为( 675V5 A. 675、655 B 3 3 65 D.无法确定 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 7m2-28= ) 11.分解因式： 12.不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从 袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 13。已知名，3分别是一元二次方程-3x+1=0的两个根，则上+上的值为 名x2 14.一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的顶角为 15.甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，b.如图，将甲纸条的上与乙纸条的二叠合在一起， 5 形成长为81的纸条，则a+b= 8 16.如图，⊙0是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD,EF分 别表示北回归线和南回归线，∠D0B=∠F0B=23.5°，夏至 北回归线 D 日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处的 A 太阳高度角∠FH(即平行于GD的光线H亚与⊙0的切线FI所 南回归线 成的锐角)的大小为 17.如图，在平面直角坐标系中，Rt△AB0的顶点O与原点重合， 顶点B在x轴上，∠ABO=90?,OA与反比例函数y=仁的图象交于 点D,且OD=2AD,过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若 S四边形BcD=5,则k的值为 0 18.设为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于b,十位与个位的数字之和等 于b-1,则称这样的数为“b级收缩数”.例如正整数2634中，因为2+6=8,3+4=7=8-1，所以2634 是“8级收缩数”，其中b=8、最小的“4级收缩数”是一：若一个“6级收缩数”的千位数字与十位 数字之积为6，且这个数能被19整除，则满足条件的数是 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21,22小题每题8分，第23,24小 题每题9分，第25,26小题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 19.计算：（←）+2cos30°-12+(2025-m)° 20.先化简，再求值： a2-2a1 24-2 a2-2a+1a 其中a=3 21.某综合实践小组学习了“勾股定理”之后，设计方案测量风筝的垂直高度CE、测得水平距离BD的 长为15米；风筝线BC的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米. (1)求风筝的垂直高度CE: (2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 22.小华外出旅游时打算从汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程为420km. 该汽车 租赁公司有A,B,C三种车型可供选择，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆.为了 选择合适的车型，小华对三种纯电动汽车满电续航里程进行了调查，信息如下： A型纯电动汽车满电续航里程统计情况 个车辆数 10 420 380km 410km 390km 30% 400km 380390400410420续航里程/km 条形统计图 扇形统计图 B型纯电动汽车满电 C型纯电动汽车满电 续航里程统计情况 续航里程统计情况 个车辆数 6430km 440km 470km 50km 410420430440450续航里 460km 程km 折线统计图 雷达图 【整理数据】 (1)补全上述条形统计图： (2)在A型车满电续航里程的扇形统计图中，“390km”对应的圆心角度数为 【分析数据】 型 平均里程(km) 中位数(km) 众数(kam) 号 400 400 410 B 432 m 440 453 450 n (3)填空： m= n= 【做出决策】 (4)综合上述信息，你认为小华选择哪个车型较为合适？说明理由. 23.某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某品牌火腿的市场行情.下表是“智多星”小组的调查 记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题， 某校社会实践调查记录表 2024.10.2 活动地点 某火腿销售店 团队名称 智多星 活动时间 实践内容 调查火腿市场行情， 帮助店家解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 火腿的进价为40元/千克。 调研信息 当火腿售价为50元/千克时，每天可销售100千克. 若每千克火腿每涨价1元，销售量每天就会减少2千克. 问题1 涨价后，若该店某天销售火腿获利1600元，则火腿的售价为多少元/千克？ 解决问题 问题2 当火腿的售价定为多少元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大？ 24,如图，AB是OO的直径，点C是劣弧BD中点，AC与BD相交于点E,连接BC,∠BCF=∠BAC, CF与AB的延长线相交于点F (1)求证：CF是⊙0的切线： D (2)求证：∠ACD=∠F: (3)若AB=10,BC=6,求AD的长 25.在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=Q,点D在射线BC上，连接AD,将线段AD绕点 A逆时针旋转180°-2a得到线段AE(点E不在直线AB上)，过点E作EF∥AB,交 直线BC于点F. (1)如图1，=45°，点D与点C重合，求证：BF=AC: (2)如图2，点D,F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明. D C(D) 图1 图2 26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0,3),B(6,3),顶点为P、抛 物线y=a(x-3)2+d(a<0)经过点 两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L，一2 (1)求b,c的值及点P的坐标， (2)点D在匕上，到x轴的距离为安·判 判断L,能否经过点D,若能，求a的值：若不能，请说 明理由。 (3)直线AE:y=a+(化>O)交L于点E,点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐 标的一半。 ①若点E与点P重合，点M恰好落在L,上，求a的值： ②若点M为直线AE与L,的唯一公共点，请直接写出k的值. y M c 1 2025 年永州八中高一入学考试 数学试卷 学校：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） 2.估计的值在（ ） A.1 和 2 之间 B.2 和 3 之间 C.3 和 4 之间 D.4 和 5 之间 3.下列各式计算正确的是（） A. B. C. D. 4.2025 年大年初一上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》的中国票房收入 2 月 13 日夜间突破 100 亿元人民币。该片是首部单一市场票房过 10 亿美元、首部全球票房超 10 亿美元的非好莱坞影片。它的成功意义远不止于票房，更是中国文化创新活力、魅力与实力的一次生动展示，为中国电影的影响力标注了新高度。将 100 亿用科学记数法表示应为（ ） A. 1×108 B. 1×109 C. 1×1010 D. 1×1011 5.如图，两张宽为 3 的长方形纸条叠放在一起，已知 ∠ABC=60∘，则阴影部分的面积是（） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 6.若，则 x 的取值范围是（ ） A. x≥−3 B. x≥2 C. x>−3 D. x>2 7.如图，AC，BC 为圆⊙O的弦，连接 OA，OB，OC。若 ∠AOB=40°，∠OAC=30°，则 ∠BCO 的度数为（） A.40° B.45° C.50° D.55° 8. 某超市在端午节当天举办购物满 68 元即可参加抽奖的活动，每人可以从抽奖箱中的三个除编号外完全相同的球（编号为 1，2，3）中抽取一个球（抽取后放回），每个球对应一种馅的粽子，三种馅分别是豆沙、蛋黄和腊肉。小明和小购物都满 68 元，一起去参加抽奖活动，他们恰好得到不同馅的粽子的概率是（ ） A. ​ B. ​ C. D. 9.如图，将一副三角尺的直角顶点重合放置则下列结论不正确的是（ ） A. 若∠2=30°，则 AC∥DE B. 若 BC∥AD，则 ∠2=45° C. ∠BAE+∠CAD=180° D. 若 ∠CAD=140∘，则 ∠4=∠C 10.如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9…△A3n-2A3n-1A3n（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，2n,顶点A3，A6，A9…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心（等边三角形各内角角平分线的交点），点A2024的坐标为（　　） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 11.分解因式：7m2−28=__________ 12.不透明袋子中装有 13 个球，其中有 3 个红球、4 个黄球、6 个绿球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机取出 1 个球，则它是绿球的概率为__________ 13.已知 x1​、x2分别是一元二次方程 x2−3x+1=0 的两个根。则 的值为__________ 14.一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，则它的顶角为__________ 15.甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 ，甲纸条的与乙纸条的 叠合在一起形成长为 81 的纸条，则 a+b=__________ 6.如图，⊙O是地球的示意图，其中 AB 表示赤道，CD，EF 分别表示北回归线和南回归线，∠DOB=∠FOB=23.5°。夏至日正午时，太阳光线 GD 所在直线经过地心 O，此时点 F 处的太阳高度角 ∠IFH（即平行于 GD 的光线 HF 与⊙O的切线 FI 所成的锐角）的大小为__________ 17.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO 的顶点 O 与原点重合，顶点 B 在 x 轴上，∠ABO=90°，OA 与反比例函数的图象交于点 D，且 OD=2AD，过点 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C。若S四边形ABCD=5 ，则 k 的值为__________ 18.设 a为正整数，对于一个四位正整数，若千位与百位的数字之和等于 b，十位与个位的数字之和等于 b−1，则称这样的数为 " b 级收缩数 "。例如正整数 2634 中，因为 2+6=8，3+4=7=8−1，所以 2634 是 "8 级收缩数"，其中 b=8。 最小的 "4 级收缩数" 是 ；若一个 "6 级收缩数" 的千位数字与十位数字之积为 6，且这个数能被 19 整除，则满足条件的数是 三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 小题每题 8 分，第 23、24 小题每题 9 分，第 25、26 小题每题 10 分，共 66 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19.计算：2cos30°−∣−∣+(2025−π)0 20. 先化简，再求值：，其中 a=3 21. 某综合实践小组学习了 "勾股定理" 之后，设计方案测量风筝的垂直高度 CE。测得水平距离 BD 的长为 15 米；风筝线 BC 的长为 25 米；牵线放风筝的小明的身高为 1.6 米。 (1) 求风筝的垂直高度 CE； (2) 如果小明想风筝沿 CD 方向下降 12 米，则他应该往回收线多少米？ 22. 小华外出旅游时打算从汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程为 420km。该汽车租赁公司有 A、B、C 三种车型可供选择，每天的租金分别为 300 元 / 辆，380 元 / 辆，500 元 / 辆。为了选择合适的车型，小华对三种纯电动汽车满电续航里程进行了调查，信息如下： 【整理数据】 (1) 补全上述条形统计图； (2) 在 A 型车满电续航里程的扇形统计图中，"390km" 对应的圆心角度数为__________ 【分析数据】 型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km） A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n (3) 填空：m= ，n= 【做出决策】 （4）综合上述信息，你认为小华选择哪个车型较为合适？说明理由。 23. 某校开展社会实践活动，要求学生调查当地某品牌火腿的市场行情。下表是 "智多星" 小组的调查记录表，请根据下表中的相关信息解决两个实际问题。 某校社会实践调查记录表 团队名称 智多星 活动时间 2024.10.2 活动地点 某火腿销售店 实践内容 调查火腿市场行情，帮助店家解决销售问题，让顾客得到更大的实惠 调研信息 火腿的进价为40元/千克． 当火腿售价为50元/千克时，每天可销售100千克． 若每千克火腿每涨价1元，销售量每天就会减少2千克． 解决问题 问题1 涨价后，若该店某天销售火腿获利1600元，则火腿的售价为多少元/千克？ 问题2 当火腿的售价定为多少元/千克时，该店当日销售火腿所获利润最大？ 24. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是劣弧 BD 中点，AC 与 BD 相交于点 E，连接 BC，∠BCF=∠BAC，CF 与 AB 的延长线相交于点 F。 (1) 求证：CF 是 ⊙O 的切线； (2) 求证：∠ACD=∠F； (3) 若 AB=10，BC=6，求 AD 的长。 25. 在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠ABC=α，点 D 在射线 BC 上，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 180°−2α得到线段 AE（点 E 不在直线 AB 上），过点 E 作 EF∥AB，交直线 BC 于点 F。 (1) 如图 1，α=45∘，点 D 与点 C 重合，求证：BF=AC； (2) 如图 2，点 D、F 都在 BC 的延长线上，用等式表示 DF 与 BC 的数量关系，并证明。 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 A(0,3)，B(6,3)，顶点为 P抛物线(a<0) 经过点 C()。两条抛物线在第一象限内的部分别记为 (1) 求 b，c 的值及点 P 的坐标； (2) 点 D 在 L1上，到 x 轴的距离为，判断 L2能否经过点 D，若能，求 a 的值；若不能，请说明理由； (3) 直线 AE:y=kx+n(k>0) 交 L1于点 E，点 M 在线段 AE 上，且点 M 的横坐标是点 E 横坐标的一半。 1 若点 E 与点 P 重合，点 M 恰好落在 L2上，求 a 的值； ② 若点 M 为直线 AE 与 L2 的唯一公共点，请直接写出 k 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $