湖南张家界市侨辉中学2024-2025学年高一上学期新生入学自编测试数学卷

**基本信息** 融合地方文化与数学文化，梯度设计考察初中核心知识及高中衔接能力，如“南天一柱”航拍情境题、赵爽弦图证明题，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|代数（倒数、科学记数法）、几何（三视图、平行四边形）|基础概念辨析，如第4题中位数众数考察数据意识| |填空题|6/18|代数（因式分解、不等式组）、概率（摸球概率）|文化情境题，如第11题《算法统宗》行程问题| |解答题|9/58|函数（反比例、二次函数）、几何证明（全等、相似）、应用（统计调查、经济问题）|综合题梯度明显，如23题二次函数平移与等腰直角三角形存在性考察推理能力与创新意识|

2024年张家界市侨辉中学新生入学测试卷 数学参考答案及评分标准 一、选择题（共8小题，每小题3分，共计24分） 1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．B 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 9． 10．2＜x≤3 11．6 12．π 13． 14． 三、解答题（共9小题，共计58分） 15．解： ..................4分 ..................5分 16.解： ............................................3分 ∵，且；当x=2时，原式=1. .....................5分 17．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD=BC， AD∥BC. ∵BC=CE， ∴AD=CE. ∵AD∥BC， ∴∠D=∠FCE，∠DAF=∠E. ∴△ADF≌△ECF（ASA）. ......3分 （2）∵AB∥DC，∴∠ABE=∠DCE. 又∵∠E=∠E, ∴△ECF ∽△EBA. ..............4分 ∵EC:EB=1:2，则△ECF与△EBA面积的比是1:4. ∵△ECF的面积1. ∴△EBA的面积是4，则四边形ABCF的面积是3. .....................6分 18．解：（1）400，m=100 ............................................2分 （2）30，90 ............................................4分 （3）3040%=12万人. ∴该市中心城区对交通治理达到非常满意的约有12万人. ...................6分 19．解：设医用口罩的单价为x元，则消毒液的单价为（4x+1）元. 依题意得 .................................3分 解得x=2. .............................................4分 检验：x=2是原分式方程的根，且符合题意. ....................5分 答：医用口罩的单价是每个2元. .............................6分 20．解：（1）∵△ABC内接于⊙O, ∴∠A=∠D, ∠ABM=∠ACD. ∴△ABM ∽△DCM. .....................................3分 （2）解法一：连接BO并延长BO交⊙O于点E，连接CE. ∴∠BCE=90°, 又∠D=30°, ∴∠E=30°. 在Rt△BCE中，BE=2BC=2，OB=. ∴⊙O的面积是2π. ...................6分 解法二：连接CO并延长CO交⊙O于点E，连接BE，证法同解法一. 解法三：连接BO，CO. ∵∠D=30°, ∴∠BOC=60°. ∵OB=OC, ∴△BOC是等边三角形. ∴OB=BC=. ∴⊙O的面积是2π. ...........6分 21．解：延长AB交“南天一柱”所在直线于点D，则AD⊥CD，设CD= xm. 根据题意可知，AB=9. ...................................1分 在Rt△BCD中，由∠DBC=45°，得BD=CD= x. .........................2分 在Rt△ACD中，由, AD=≈. .................4分 ∵AB=ADBD. ∴x=54. 解得x=162. .....................6分 又162＞150. 因此，这架航拍无人机能继续安全地向正东飞行. ..............................7分 22．解：（1）①..........................2分 （2）证明：，∵， ∴≥0, 即△≥0. ∴关于的勾系一元二次方程必有实数根. ..............5分 （3）当x=1，, 即， ∵， ∴，∴c=4. ..........................7分 23．解：(1)根据题意得，解得. ..............2分 因此，所求抛物线的关系式是. ………………………… 3分 （2）设抛物线的顶点为D，则D(1，4)．如图①，过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，交BC于点E. ∵OC=OB=3, ∴∠OBC=∠OCB=45°. ∴EF=BF=2. ∵DE<k<DF, ∴DFEF＜k＜DF，即2＜k＜4 . ……………………………………… 6分 （3）设P（，）过点P分别作x轴，直线的垂线，垂足分别为点G，H. 则∠PGB=∠PHQ=90°. ∠HPQ+∠QPG=∠QPG+∠BPG, ∴∠BPG=∠QPH. 又PB=PQ, ∴△PGB≌△PHQ(AAS). ∴PG=PH. ①当点P在x轴的下方时，如图②，有. 即，解得，∴P1（0，3）,P2（1，4）. .……… 8分 ②当点P在x轴的上方时，同理有. 即，解得，. 综上所述,符合题意的点P共有4个，即P1（0，3），P2（1，4），P3（）, P4（）. ……………………10分 ( D ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年张家界市侨辉中学新生入学测试卷 数 学 考生注意：本学科试卷共三道大题，满分100分，考试时量90分钟。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 8的倒数是（ ） A. 8 B. -8 C. D. - 2. 中国信息通信研究院报道：2019年我国数字经济增长值规模为358000亿元．用科学记数法表示358000的结果是（ ） A. 0.358× B. 3.58× C. 35.8× D. 3.58× 3. 如图1所示的几何体的俯视图是（ ） 4. 张家界六月份某一周的最高气温如下（单位：℃）：28，30，28，30，32，28，33．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 28，30 B. 30，28 C. 32，28 D. 32，30 5. 如图，在ABCD中，CH⊥AB，H为垂足，如果∠A=110°，那么∠BCH的度数是（ ） A. 20° B. 30° ( 第5题图 )C. 50° D. 70° 6. 下列运算从左到右正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC=56°，则∠BAC的度数为（ ） ( 第7题图 )A. 32° B. 30° C. 28° D. 26° 8. 如图，在直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABC边AB的中点D，已知A（3，0），C（0，2），则该反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. ( 第8题图 ) 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.） 9. 因式分解： ． 10. 不等式组的解集为 ． 11. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程是 里． ( 第12题图 )12. 如图，分别以Rt△ABC的顶点A，B为圆心，以2cm为半径画圆，图中阴影部分的面积为 cm2． 13. 一个不透明的袋子中装有大小和质地都相同的5个球：3红2白．若从袋子中随机摸出1个球，恰好摸到红球的概率是 ． ( 第14题图 )14. 如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD交AE于点G，连接GD，若CE=3，CF=4，则EG的长为 ． 三、解答题（本大题共9个小题，满分58分．请考生用黑色碳素笔在答题卡相应的题号后的答题区域内作答，必须写出运算步骤、推理过程或文字说明，超出答题区域的作答无效.） 15. （本小题5分）计算：3tan30°（π+1）0（1）2020． 16. （本小题5分）先化简：，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值． 17. （本小题6分）如图，ABCD中，延长BC到点E，使得CE=BC，连接AE交CD于点F． （1）求证：△ADF≌△ECF； （2）若△ECF的面积是1，求四边形ABCF的面积． 18. （本小题6分）张家界市为创建“交通安全畅通城”，交通部门决定从2020年4月开始进行为期一年的交通安全综合治理，某调查小组为了解市民对这近3个月交通安全治理的满意度，采取随机抽取样本的方式进行问卷调查，调查结果分为“A：非常满意，B：满意，C：基本满意，D：不满意”四个等级．并根据调查结果绘制了如下不完全统计图表． 各种情况人数频数分布表 各种情况人数的扇形统计图 ( 等级 频数 A 160 B m C n D 20 ) （1）在这次调查中一共抽查了 名市民，表中m= ； （2）在扇形统计图中，x= ；B等级所对应的扇形圆心角是 度； （3）若该市中心城区约有市民30万人，请你根据调查结果估计该市中心城区大约有多少市民对交通治理达到非常满意． 19. （本小题6分）返校复课后，某学校欲采购一批医用口罩和消毒液为全体师生免费使用．经了解，消毒液单价是医用口罩单价的4倍多1元，用400元购买的医用口罩数量与用1800元购买消毒液的数量相等，求医用口罩的单价是多少？ 20. （本小题6分）如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连接BD，CD，AC与BD交于点M． （1）求证：△ABM ∽△DCM； （2）若∠D=，BC=，求⊙O的面积． 21. （本小题7分）“南天一柱”是张家界“三千奇峰”中的一座，位于世界自然遗产武陵源风景名胜区袁家界景区南端．2010年1月25日，“南天一柱”正式命名为《阿凡达》的“哈利路亚山”．如图，航拍无人机以9m/s的速度在空中向正东方向飞行，拍摄云海中的“南天一柱”美景．在A处测得“南天一柱”底部C的俯角为37°，继续飞行6s到达B处，这时测得“南天一柱”底部C的俯角为45°，已知“南天一柱”的高为150m，问这架航拍无人机继续向正东飞行是否安全？（参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75） 22. （本小题7分）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成了一个正方形，并用它证明了勾股定理，这体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲；如图，四边形ABCD是证明勾股定理时用到的一个图形，是Rt△ABE和Rt△ECD的边长，易知AD=，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）下列方程是“勾系一元二次方程”的是 (填序号)； ① ② （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ABCD的周长是，求的值． 23. （本小题10分）已知抛物线y＝与轴交于A，B两点（A在B点的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知点A的坐标是（1，0）． （1）求此抛物线的表达式； （2）如图①将抛物线向上平移k个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△BOC内（不包括△BOC的边界），求k的取值范围； （3）如图②设点P是抛物线上任意一点，点Q在直线上，△BPQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，请求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． 数学试卷 第4页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $