3.2 确定圆的条件（教学课件）2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“确定圆的条件”展开，涵盖不在同一直线三点确定一圆、三角形外接圆与外心等核心知识。通过温故知新复习线段垂直平分线等旧知，结合考古玉佩找圆心的情境导入，引导学生从过一点、两点到三点作圆的探究，搭建知识衔接的学习支架。 其亮点在于以情境化问题驱动探究，让学生经历“类比—猜想—证明—应用”过程，发展数学思维与几何直观。通过分类讨论三点共线与否的情况，结合尺规作外接圆等实践，培养推理意识与应用能力。学生能在探究中深化理解，教师可借助分层例题与易错提醒提升教学效果。

第三章 圆 3.2 确定圆的条件 学习目标 过程与方法 知识与技能 探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆 理解三角形的外接圆、外心、内接三角形的概念 掌握用尺规作三角形的外接圆 知道外心是三角形三边垂直平分线的交点，能判断外心的位置 经历“类比—猜想—操作—证明”的探究过程，体会分类讨论和数形结合的数学思想 02 01 课前自主·知识预习奠基 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 两条直线的位置关系：平行、相交、重合 圆的定义：平面内到定点距离等于定长的点的集合 思考：过一个点可以画多少个圆？过两个点呢？过三个点呢？ 温故知新 考古队在一次发掘中，找到了一块残缺的圆形玉佩。玉佩边缘已经破损不堪，但表面仍清晰地留着三个古老的刻痕点A、B、C。专家看后说：“这枚玉佩的设计极为讲究，所有的纹饰都围绕圆心展开。只要找到圆心，就能精准复原出它原本的模样。” 思考一下，圆弧已经残缺，只剩下这孤零零的三个点，圆心究竟藏在哪里呢？ 情境导入 问题1：过三个已知点A、B、C，能确定一个圆吗？如果能，怎样找到它的圆心？ 问题2：过一个点可以确定一个圆吗？过两个点呢？ 新知讲解：经过一个点和两个点的圆 经过一个已知点A： 圆心位置任意，半径即为圆心到A的距离 结论：可以画无数个圆 经过两个已知点A、B： 圆心到点A、B的距离相等 圆心在线段AB的垂直平分线上 结论：可以画无数个圆 新知讲解：经过三个点的圆 情况1：三个点在一条直线上（如图） 线段AB、BC的垂直平分线互相平行，没有交点 结论：不能画出经过三点的圆 新知讲解：经过三个点的圆 情况2：三个点不在一条直线上（如图） 线段AB、BC的垂直平分线相交于点O 连接OA、OB、OC ∵ 点O在AB的垂直平分线上，∴ OA = OB ∵ 点O在BC的垂直平分线上，∴ OB = OC ∴ OA = OB = OC 以O为圆心、OA长为半径作圆，必经过A、B、C三点 结论：能确定一个圆 新知讲解：确定圆的条件 定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆 关键词理解： “不在同一条直线上”——三点共线时无法作圆 “确定”——有且只有一个圆 过任意三个不共线的点，能作且只能作一个圆 例题 1 C 下列条件中，不能确定一个圆的是（　　） A．圆心与半径 B．直径 C．平面上的三个已知点 D．三角形的三个顶点 例题 2 如图，某地出土了一面残缺的圆形青铜镜，请用直尺和圆规确定这面青铜镜的圆心。 新知讲解：三角形的外接圆 因为三角形的三个顶点不共线，所以它们可以确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆。外接圆的圆心叫作三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形，外心是三角形三边的垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等（都等于外接圆半径） 如图 ， 是 的外接圆， 是 的内接三角形。 新知讲解：外心的位置 锐角三角形：外心在三角形的内部 直角三角形：外心在斜边的中点处 钝角三角形：外心在三角形的外部 例题 3 尺规作图，如图，已知△ABC，作△ABC的外接圆 A B C 例题 3 ①分别作边AB、BC的垂直平分线l1、l2，l1与l2的交点为O ②连接OA(或OB、OC) ③以点O为圆心，OA为半径作圆，⨀O就是所求作的圆。 A B C l1 l2 O 新知讲解：多边形的外接圆 思考：任意四边形都有外接圆吗？ 不一定，只有对角互补的四边形才有外接圆 如果多边形的顶点都在同一个圆上，这个圆叫作多边形的外接圆 这个多边形叫作圆的内接多边形 例题 4 将△ABC绕它的外心O旋转任意角度得到△DEF。 求证：点A、B、C、D、E、F在同一个圆上。 证明思路： ∵ 旋转不改变点到旋转中心的距离， ∴ OA = OB = OC = OD = OE = OF， ∴ 点A、B、C、D、E、F都在以点O为圆心、OA长为半径的同一个圆上。 “确定一个圆”的前提是“不在同一条直线上的三个点”，三点共线时不能作圆 外心是三角形三边垂直平分线的交点，不是角平分线的交点（与内心区分） 锐角三角形的外心在内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在外部 作外接圆时，作两条垂直平分线即可确定圆心，第三条边上的垂直平分线也过同一点 外心到三角形三个顶点的距离相等，这是检验作图是否正确的重要依据 易错提醒 课堂探究·能力合作提升 基础过关练 1. 下列说法正确的是（ ） A. 经过三个点一定可以确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 直角三角形的外心在斜边中点处 D. 钝角三角形的外心在三角形内部 2. 如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 C D 基础过关练 3. 下列说法：①任意一个圆有且仅有一个内接三角形；②任意一个三角形有且仅有一个外接圆；③长度相等的两条弧是等弧；④直径是圆中最长的弦，其中正确的是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4. 已知△ABC的外心为点O，若OA = 5，则OB = ______，OC = ______。 5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 . D 5 5 (2，1) 课后测评·学业效果巩固 1. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 课后测评 A 【解析】第①块碎片中有一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，再分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长。故选 A。 2. 如图，在平面直角坐标系中，，则 的外心坐标为（ ） A. B. C. D. 课后测评 D 【解析】如图， 的外心是三角形三边垂直平分线的交点， 与 的交点 即为所求的的外心，的外心坐标是。故选 D。 3. 如图，在 中，，将 绕点 A 按逆时针方向旋转 得到 ，点 在直线 上。若 ，则点 和 的外心之间的距离是（ ） A. 1 B. C. D. 课后测评 B 课后测评 【解析】如图，由题意可知，。在 中，。设 的外心为点 。 外心 在斜边 的中点处，。故选 B。 4. 已知 三点可以确定一个圆，则以下 点坐标不满足要求的是（ ） A. B. C. D. 课后测评 C 课后测评 【解析】设直线 MN 的函数表达式为 。将 代入，得 ，解得 ，。 A 选项，当 时，，故不在直线 MN 上，根据不在同一直线上的三点确定一个圆，得点 与 可以确定一个圆，故本选项不符合题意；B 选项，当 时，，故本选项不符合题意；C 选项，当 时，，故点 在直线 MN 上，故 三点不能确定一个圆，故本选项符合题意；D 选项，当 时，，故本选项不符合题意。故选 C。 5. 平面上有四个点，它们不都在同一直线上，过其中三个点作圆，可以作出不重复的圆 n 个，则 n 的值不可能为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 课后测评 C 课后测评 【解析】分为三种情况： ① 当四点都在同一个圆上时，如图，此时 。 ② 当三点在同一直线上时，如图。分点 A, B, C；A, C, D；A, B, D 共圆三种情况，可作 3 个圆，即此时 。 课后测评 ③ 当 A, B, C, D 四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，如图，分点 A, B, C；B, C, D；C, D, A；D, A, B 共圆四种情况，可作 4 个圆，即此时 。 综上，n 的值不能是 2。故选 C。 6. 将边长为 2 的小正方形 ABCD 和边长为 4 的大正方形 EFGH 如图摆放，使得 C, E 两点刚好重合，且 B, C, H 三点共线，此时经过 A, F, G 三点作一个圆，则该圆的半径为 . 课后测评 课后测评 【解析】由题意可知，。如图，取 CH 的中点 O，则 OC=OH=2，OB=4，连接 OA, OF, OG。 四边形 ABCD, EFGH 为正方形， 由勾股定理可得 ，，，即点 O 为过 A, F, G 三点所作圆的圆心，则该圆的半径为 ，故答案为 。 7. 设 x, y 是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为 。 课后测评 【解析】设这个直角三角形的斜边长为 z。由题意得。。令，则有 ，整理得 ，（不合题意，舍去），。 为直角三角形的斜边长， 这个直角三角形的外接圆直径为 ，半径为 ， 这个直角三角形的外接圆面积为 ， 课堂小结 第三章 圆 3.2 确定圆的条件 $