精品解析：宁夏回族自治区银川景博学校2025-2026学年度第二学期八年级期末测试数学试卷

银川景博学校2025-2026学年度第二学期八年级期末测试卷 科目：数学 （时间：120分钟满分120分） 一．选择题（分） 1. 若分式有意义，则需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ） A. 2024，2025，2026 B. 2025，2026，2027 C. 2023，2024，2025 D. 2026，2027，2028 4. 如图，线段平移得到线段，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到，当点恰好落在的延长线上时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某校规定：期中考试数学成绩不低于80分可获奖．小明考了分，离获奖最少还差12分，可列不等式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，已知B(﹣3，0)、C(2，0)，则点D的坐标为（ ） A. (4，5) B. (5，4) C. (5，3) D. (4，3) 9. 如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 二．填空题（分） 11. 若分式，则的值为__________．约分：__________．因式分解：__________． 12. 分式方程的解是_______． 13. 如果一次函数的图象与轴的交点是，那么不等式的解集是_____． 14. 如图，点、分别是的边、的中点，连接，过点作、交的延长线于点，若，则的长为__________． 15. 已知，则代数式的值为__________． 16. 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边BC于点D．若，则的长为_______． 17. 关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是___________． 18. 如图， 中，， 为的中点，以为边作正方形．若的长为2，则的长为_____． 19. 如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P， PE⊥AB于点E，若PE＝1，则两平行线AD与BC间的距离为__________ 20. 在矩形中，，，P为边上的一个动点，过点P分别作、的垂线，垂足分别为N，M两点，则__________________． 三、解答题（共60分） 21. 解不等式组并将解集表示在数轴上： 22. 因式分解： （1）a3－2a2＋a ； （2）4a2(2x－y)＋b2(y －2x) ． 23. 先化简，再从0，1，2中选择合适的代入求值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）点关于坐标原点对称的点的坐标为__________； （2）将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）若A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形的位置发生怎样的变化? 25. 如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若平分，，，求的长． 26. 4月23日是世界读书日．某书店在世界读书日前同时购进A，B两类图书，已知1本A类图书的进价比1本B类图书的进价多8元，用1600元购进A类图书的数量与用1200元购进B类图书的数量相同． （1）求A，B两类图书每本的进价各是多少元； （2）该书店计划用不超过6000元购进这两类图书200本，A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为28元，设购进A类图书本，将这批图书全部售出后获得的利润为元． ①求与之间的函数解析式； ②书店如何进货才能使所获利润最大？最大利润为多少元？ 27. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接和． （1）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）当是_____三角形时，四边形是正方形． 28. 课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 （1）①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 （2）如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 （3）如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川景博学校2025-2026学年度第二学期八年级期末测试卷 科目：数学 （时间：120分钟满分120分） 一．选择题（分） 1. 若分式有意义，则需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，关键是熟练应用知识点解题；依据分式分母不为零的性质求解即可. 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为， ∴对于分式，需满足， ∴. 故选：C． 2. 已知，，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，，根据不等式的性质判断即可得到，，，． 【详解】解：由题意得，， 不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向要改变， ，故A成立； 不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变， ，故B不成立； 不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向要改变， ，故C不成立； 不等式两边同时加一个数，不等号方向不变， ，故D不成立． 3. 小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ） A. 2024，2025，2026 B. 2025，2026，2027 C. 2023，2024，2025 D. 2026，2027，2028 【答案】B 【解析】 【详解】解： ， 故的计算结果能被2025，2026，2027整除． 4. 如图，线段平移得到线段，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由题意得出先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得出，，代入计算即可得出答案，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． 【详解】解：平移前后点对应点，点对应点，故先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度， ，， ， 故选：A． 5. 如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到，当点恰好落在的延长线上时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由旋转可得，，即得，，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转可得，，， ∴，， 即， ∵， ∴, ∴， 故选：． 6. 某校规定：期中考试数学成绩不低于80分可获奖．小明考了分，离获奖最少还差12分，可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确获奖的分数要求，再根据“离获奖最少还差12分”找到小明分数与获奖分数线的关系，即可列出正确不等式． 【详解】解：∵ 不低于80分可获奖，小明考了分，离获奖最少还差12分， ∴ ，即． 7. 如图，中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的尺规作图以及等腰三角形的判定，解题关键是利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线得到等腰三角形，再通过线段差计算DH的长度． 【详解】解：由题意是通过“作一个角的平分线”的尺规作图方法得到的， 因此， 在平行四边形中：，，，， 因为， 所以（两直线平行，内错角相等）； 结合，可得； 因此为等腰三角形，即； 因为，， 所以． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，已知B(﹣3，0)、C(2，0)，则点D的坐标为（ ） A. (4，5) B. (5，4) C. (5，3) D. (4，3) 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质和点的坐标求出AD＝AB＝BC＝5，再利用勾股定理求出OA的长度，进而得到点D的坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A在y轴上，B（﹣3，0），C（2，0）， ∴AB＝AD＝BC，OB＝3，OC＝2， ∴AB＝AD＝BC＝OB+OC＝5， ∴AD＝AB＝CD＝5， ∴OA＝＝＝4， ∴点D的坐标为（5，4）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 9. 如图，，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形、菱形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理和菱形的判定是解题的关键．根据三角形的中位线定理可得，，，，，，得到四边形为平行四边形，再结合选项逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：分别为的中点， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， A、添加条件，则有，此时为矩形，不符合题意； B、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； C、添加条件，此时为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，则有，此时为菱形，符合题意； 故选：D． 10. 如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据分式方程的解是负数，得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解： 解得： 且 ∵关于的分式方程的解是负数， ∴，且 ∴且， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 二．填空题（分） 11. 若分式，则的值为__________．约分：__________．因式分解：__________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】第一题根据分式值为零的条件求解，需满足分子为零且分母不为零；第二题根据分式的基本性质进行约分；第三题先提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解． 【详解】解：1. 由得， 由得， 因此； 2. ； 3. ． 12. 分式方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先变形统一分母，再将分式方程化为一元一次整式方程，求解后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：原方程可变形为 两边同乘最简公分母，去分母得 去括号得 移项、合并同类项得 系数化为得 经检验，是原分式方程的解． 13. 如果一次函数的图象与轴的交点是，那么不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一次函数的增减性，结合函数与x轴的交点坐标即可求出不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点是， ∴当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴不等式，即，对应函数图象在x轴上方的部分，可得x的取值范围是． 14. 如图，点、分别是的边、的中点，连接，过点作、交的延长线于点，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线的判定和性质得出，判定四边形为平行四边形，得出相等的线段，最后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：∵点、分别是的边、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 15. 已知，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先对分式进行整理得出，然后化简代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴将代入上式得， 原式． 16. 如图，在中，，按以下步骤作图：①分别以点A和B为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边BC于点D．若，则的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查作图一基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，勾股定理是解答本题的关键． 连接，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，由题意得．设，则，在中，由勾股定理得，，代入求出的值即可． 【详解】解：连接， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， 设，则， 在中，由勾股定理得，，即， 解得， ∴的长为3． 故答案为：3． 17. 关于的不等式组有3个整数解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式组，根据不等式组有3个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式组得， ∵该不等式组有3个整数解，即， ∴， 解得． 18. 如图， 中，， 为的中点，以为边作正方形．若的长为2，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质和勾股定理可求出的长，由直角三角形的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， 为的中点， ∴． 19. 如图，已知AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P， PE⊥AB于点E，若PE＝1，则两平行线AD与BC间的距离为__________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=1,PE=PN=1,即可得出答案. 【详解】过点P作MN⊥AD, ∵AD∥BC, ∴PN⊥BC, ∵∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,PE⊥AB于点E, ∴PM=PE=1，PE=PN=1, ∴MN=PM+PN=1+1=2. 【点睛】本题考查角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键. 20. 在矩形中，，，P为边上的一个动点，过点P分别作、的垂线，垂足分别为N，M两点，则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】设与交于点O，连接，首先利用勾股定理求出，得到，然后求出，然后利用求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点O，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与交于点O， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（共60分） 21. 解不等式组并将解集表示在数轴上： 【答案】， 【解析】 【详解】， 由， ， ， 解得：； 由， ， ， ， 综上不等式组的解集：， 画图略 22. 因式分解： （1）a3－2a2＋a ； （2）4a2(2x－y)＋b2(y －2x) ． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式a，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式（2x−y），再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式＝a(a2－2a＋1) ＝a(a－1)2； （2）解：原式＝(2x－y)( 4a2－b2) ＝(2x－y) (2a＋b)( 2a－b)． 【点睛】本题考查用提公因式法、公式法因式分解，掌握公式的结构特征、找准公因式是正确进行因式分解的关键． 23. 先化简，再从0，1，2中选择合适的代入求值． 【答案】，时值为 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，再进行除法运算，最后进行加减运算，化简后，代入一个使方程有意义的值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴当时，原式． 24. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）点关于坐标原点对称的点的坐标为__________； （2）将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的； （3）若A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变，图形的位置发生怎样的变化? 【答案】（1） （2）如图所示，即为所求作的图形； （3）图形的位置是向右平移了3个单位 【解析】 【分析】（1）根据两个点关于原点对称时，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得出答案； （2）分别找到点A、B绕着点C顺时针旋转以后的对应点、，然后顺次连接即可得出旋转后的图形； （3）横坐标都加3，纵坐标不变，根据平移规律：左右平移点的纵坐标不变，上下平移时点的横坐标不变即可得出图形向右平移了3个单位长度． 【小问1详解】 解：∵， ∴点B关于坐标原点O对称的点的坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵A、B、C三点的横坐标都加3，纵坐标不变， ∴图形的位置是向右平移了3个单位． 25. 如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若平分，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵ 四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】（1）已知四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，所以．再由平分，可得，所以，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）易得为等边三角形，三线合一结合含30度角的直角三角形，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴. 26. 4月23日是世界读书日．某书店在世界读书日前同时购进A，B两类图书，已知1本A类图书的进价比1本B类图书的进价多8元，用1600元购进A类图书的数量与用1200元购进B类图书的数量相同． （1）求A，B两类图书每本的进价各是多少元； （2）该书店计划用不超过6000元购进这两类图书200本，A类图书每本的售价为38元，B类图书每本的售价为28元，设购进A类图书本，将这批图书全部售出后获得的利润为元． ①求与之间的函数解析式； ②书店如何进货才能使所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）1本A类图书的进价为32元，1本B类图书的进价为24元 （2）①；②购进A类图书150本，B类图书50本所获利润最大，最大利润为1100元 【解析】 【分析】（1）设1本A类图书的进价为元，则1本B类图书的进价为元，根据“1本A类图书的进价比1本B类图书的进价多8元，用1600元购进A类图书的数量与用1200元购进B类图书的数量相同”，列方程，解方程即可得解； （2）先由列出一次函数解析式，找到自变量的取值范围，由一次函数的增减性，即可得解． 【小问1详解】 解：设1本A类图书的进价为元，则1本B类图书的进价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验是方程的解，且符合题意． （元）． 答：1本A类图书的进价为32元，1本B类图书的进价为24元， 【小问2详解】 解：①根据题意，得， 与之间的函数解析式为， ②根据题意，得， 解得， ， 随的增大而增大， 当时，值最大， （本）， 答：购进A类图书150本，B类图书50本所获利润最大，最大利润为1100元． 27. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接和． （1）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）当是_____三角形时，四边形是正方形． 【答案】（1）解：四边形是菱形，证明如下： ，   ，  E是的中点，  ， 在和中，  ， ， ， 在中，是边上的中线， ， 又， 四边形是平行四边形，  是边上的中线， ， ， 四边形是菱形． （2）以为斜边的等腰直角 【解析】 【分析】（1）证明和全等，得到，推出，证明四边形是平行四边形， 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，即可求解； （2）由（1）得，当时，四边形是菱形，由等腰三角形的性质，结合正方形的判定定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当是以为斜边的等腰直角三角形时，四边形是正方形， 理由：当是以为斜边的等腰直角三角形时，，， 由（1）得，四边形是菱形，  ，， ， 四边形是正方形，  当是以为斜边的等腰直角三角形时，四边形是正方形． 28. 课本再现 如图，正方形的对角线、相交于点，正方形的顶点与点重合，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，连接． 问题发现 （1）①求证：； ②猜想：，，之间的数量关系是______． 类比迁移 （2）如图，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点，与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，判断，，之间的数量关系并进行证明． 拓展应用 （3）如图，在中，，，，点是边的中点，，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）①证明见解析； ②； （2），证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）①结合正方形性质推得，，利用角边角即可证明； ②结合全等三角形性质得，再结合正方形性质推得，由勾股定理得，即可推得； （2）连接，延长交于点，结合矩形性质，利用角边角证明，再由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，最后结合勾股定理即可证明； （3）过点作，延长交于点，连接、，利用角边角证明，由全等三角形性质得，，再由垂直平分线性质得，设，则，利用勾股定理得方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：①正方形中，，， 正方形中，， ，， ， 即， 在和中， ， ； ②解：，理由如下： ， ， 正方形中，，， ， 即， 中，， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接，延长交于点， 点是矩形的中心， ， 矩形中，，， ， 在和中， ， ， ，， 矩形中，， 垂直平分， ， 中，， ； 【小问3详解】 解：如下图：，， ， 过点作，延长交于点，连接、， ， 点是边的中点，，，， ，， 在和中， ， ， ，， 又， 即垂直平分， ， 中，， 中，， ， 设，则， 有， 解得， ． 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、构造合适的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $