精品解析：宁夏回族自治区银川市兴庆区银川北塔中学2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

银川北塔中学2025-2026学年第二学期期末学业评估 八年级数学试卷 （总分120分 时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在平行四边形、矩形、等腰三角形、菱形、正方形这几个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 如果分式中的x、y的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的2倍 C. 扩大到原来的4倍 D. 扩大到原来的6倍 3. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，以点为圆心、长为半径画弧，交边于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，则的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 6 5. 某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，连接，点E，F满足以下条件中的一个：①；②；③；④．其中，能使四边形为平行四边形的条件个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在中，，分别是上的动点，连接，E，F分别为的中点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、每小题3分，填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解：__________． 10. 如图，在中，，点D在内部，且到三边的距离相等，则_______． 11. 若关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是________． 12. 今年3月，为庆祝建校13周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是________． 13. 图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则______． 14. 关于x的分式方程有增根，则________． 15. 如图，是的角平分线，，，将沿所在直线翻折，点在边上的落点记为点，那么等于______． 16. 在中，，，，点，分别为，的中点，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，若、同时出发，到达终点即停止运动，在第________s时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组，并写出其整数解． 18. 解方程及化简 （1）解方程：； （2）化简：． 19. 先化简，，再从之中选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法） （1）将向下平移3个单位长度，得到（点A，B，C的对应点分别为，，），画出． （2）以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得到（点B，C的对应点分别为，），画出． （3）在线段上画一点D，使得的面积是面积的． 21. 如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）请在图中连接，若恰好平分，求证：四边形是平行四边形． 22. 某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． （1）求证：加固后的是等腰三角形； （2）经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 23. 近期，曹魏古城“夜经济”持续火爆，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元? （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：；乙：． 则甲所列方程中的表示________，乙所列方程中的表示________； （2）从甲、乙两种方法中选择一种进行完整解答； （3）该经营者准备以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，总费用不超过1350元，则最多可购进A型玩具多少个? 24. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 25. 如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点． （1）求的面积； （2）在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平面内是否存在点Q，使得以A、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标． 26. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置，如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转． （1）【问题发现】 ①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接EF，则线段，，之间的数量关系是________． （2）【类比迁移】 如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，延长交于点P，连接，，矩形可绕点O旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． （3）【拓展应用】 如图3，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕点D旋转．当时，请求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川北塔中学2025-2026学年第二学期期末学业评估 八年级数学试卷 （总分120分 时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在平行四边形、矩形、等腰三角形、菱形、正方形这几个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求； 矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合要求； 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； ∴ 符合要求的图形共个. 2. 如果分式中的x、y的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的2倍 C. 扩大到原来的4倍 D. 扩大到原来的6倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答． 【详解】解：． ∴x、y的值都扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大到原来的2倍． 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 3. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．先求出的值，再根据图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：将点代入， 得， 解得， ， 根据图象，不等的解集为， 故选：A 4. 如图，在中，，以点为圆心、长为半径画弧，交边于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，，则的面积为（ ） A. B. 7 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，作图—基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线． 利用基本作图得到，再根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算的长，即可求解． 【详解】解：由作法得，则， ∵，， ∴， 在中，， ∴的面积为． 故选：A 5. 某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达．已知快车的速度比慢车的速度每小时快20km，求慢车的速度？设慢车的速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设慢车的速度为，则快车的速度是，再根据题意列出方程即可． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意可得： ． 故选：A． 6. 如图所示，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度，点恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，得出是等边三角形是解题关键． 利用旋转和平移的性质得出，，，进而得出是等边三角形，即可得出以及的度数． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点C重合， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，． 故选：C． 7. 如图，在平行四边形中，点E，F在对角线上，连接，点E，F满足以下条件中的一个：①；②；③；④．其中，能使四边形为平行四边形的条件个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质可得，再根据平行四边形的判定定理及全等三角形的判定对各个条件进行逐一判断即可． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ①∵， ∴， 即， ∴， 即， ∵，四边形是平行四边形，故①符合题意； ②∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴四边形是平行四边形，故②符合题意； ③∵，若，则， ∴三点共线， 又∵在上，不在上， ∴这种情况不存在，故不符合题意； ④由，，无法判定， ∴无法推出， 即无法推出， ∴不能判定四边形是平行四边形，故④不符合题意； 综上所述，能使四边形为平行四边形的条件有①②，共2个． 8. 如图，在中，，分别是上的动点，连接，E，F分别为的中点，则的最小值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，当时，最小，即最小，利用平行四边形性质和勾股定理求出的最小值即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 要使最小，则需最小， ∵G是上的动点，A是定点， ∴当时，最小， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴（负值舍去）， ∴的最小值． 二、每小题3分，填空题（每小题3分，共24分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式和完全平方公式因式分解，熟练掌握运算法则是解题关键． 10. 如图，在中，，点D在内部，且到三边的距离相等，则_______． 【答案】##44度 【解析】 【分析】点D在内部，且到三边的距离相等，得到平分，平分，根据三角形内角和求解即可； 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ； 11. 若关于x的不等式只有两个负整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式只有两个负整数解，确定出这两个负整数解，进而得到关于的不等式． 【详解】解：∵不等式只有两个负整数解， ∴这两个负整数解为和． ∴要使不等式仅有，两个负整数解，可得． 12. 今年3月，为庆祝建校13周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是________． 【答案】72 【解析】 【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，利用矩形的性质，直角三角形的性质，求解即可； 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F， 根据题意，得， ∴四边形是平行四边形． ， ， ， ， 根据题意，得矩形的宽为， ， ， 故重叠部分图形的面积是：； 13. 图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查等边对等角，正多边形的外角，根据题意易得中间五边形为正五边形，为其的一个外角，根据正五边形的每个外角的度数相等，求出的度数，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由题意，中间五边形为正五边形，为其的一个外角， ∴， 由题意和图可知：为等腰三角形， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程增根的概念，分式方程的增根是使分式方程分母为零的未知数的值，先确定增根，再将增根代入去分母后的整式方程，即可求出的值． 【详解】解∵关于的分式方程有增根 ∴分母， 解得 方程两边同乘去分母，得 将代入整式方程，得 解得 15. 如图，是的角平分线，，，将沿所在直线翻折，点在边上的落点记为点，那么等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等边对等角，三角形外角的性质， 先根据折叠可得，即可得，再根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：根据折叠可得， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 故答案为：． 16. 在中，，，，点，分别为，的中点，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，若、同时出发，到达终点即停止运动，在第________s时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，一元一次方程的应用．先利用勾股定理求得，再分两种情况讨论，求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点，分别为，的中点， ∴， 设运动时间为时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴，，， 当、相遇前，则，即， 解得， 当、相遇后，则，即， 解得， 故答案为：或5． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组，并写出其整数解． 【答案】 ；整数解为 【解析】 【详解】解:， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为； ∴不等式组的整数解为. 18. 解方程及化简 （1）解方程：； （2）化简：． 【答案】（1）原方程无解 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得， 经检验，是原方程的增根， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解： ． 19. 先化简，，再从之中选取一个合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 根据题意得：且且且， ∴x不能取0，，2，1， ∵， ∴符合题意的整数， 当时，原式． 20. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C的坐标分别为，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（不要求写画法） （1）将向下平移3个单位长度，得到（点A，B，C的对应点分别为，，），画出． （2）以点A为旋转中心，将绕点A顺时针旋转，得到（点B，C的对应点分别为，），画出． （3）在线段上画一点D，使得的面积是面积的． 【答案】（1）解：根据题意，得，，，画图如下： （2）解：根据题意，得，，画图如下： （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据平移思想，确定，，，画出即可； （2）根据题意，得，，画图即可； （3）根据矩形的对角线互相平分，三角形中线平分三角形的面积求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）请在图中连接，若恰好平分，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵是的平分线， ∴ ∴ ∴（等边对等角）. ∴ （2） 证明：如图：连接 由（1）得，. ∵恰好平分， ∴（等腰三角形三线合一） 在和中， ∴, ∴（全等三角形的对应边相等）， 又∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出、，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定，然后根据等量代换即可证明结论； （2）如图：连接，由（1）得，，由等腰三角形三线合一可得，再证明，即，再结合即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． （1）求证：加固后的是等腰三角形； （2）经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【答案】（1） 证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）原始支撑段的长度是8米 【解析】 【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 近期，曹魏古城“夜经济”持续火爆，某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．求两种型号玩具的单价各是多少元? （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程： 甲：；乙：． 则甲所列方程中的表示________，乙所列方程中的表示________； （2）从甲、乙两种方法中选择一种进行完整解答； （3）该经营者准备以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，总费用不超过1350元，则最多可购进A型玩具多少个? 【答案】（1）B型玩具的单价；用元购进A型玩具的数量 （2）A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元 （3）最多可购进A型玩具116个 【解析】 【分析】（1）根据所列方程即可判断出的意义； （2）任意选择一种方法解答即可； （3）设可购进A型玩具个，则，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据所列方程即可知，甲所列方程中的表示B型玩具的单价；乙所列方程中的表示用元购进A型玩具的数量； 【小问2详解】 解：甲：， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， 答：A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元； 乙：， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， （元）， 答：A型玩具单价为8元，B型玩具单价为5元； 【小问3详解】 解：设可购进A型玩具个，则B型玩具个， 根据题意得：， 解得， 整数最大值是116， 答：最多可购进A型玩具116个． 24. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据，得到，即可得证； （2）勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，斜边上的中线求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活应用，是解题的关键． 25. 如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点． （1）求的面积； （2）在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平面内是否存在点Q，使得以A、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）6 （2）存在， （3）满足条件的点Q坐标为，， 【解析】 【分析】（1）确定，的解析式为，，，得到，根据计算即可； （2）根据题意，是定长，要使的周长最短，只需最短，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则点E就是使的周长最短的位置处，利用待定系数法求解即可； （3）设，分为对角线， 为对角线，为对角线；由中点坐标公式，构造方程组求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ， 把代入，得， 解得， 故的解析式为， 令，得， 解得， 故， 直线与x轴交于点A，且经过定点， 故， 故， ； 【小问2详解】 解： 根据题意，是定长，要使的周长最短，只需最短，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则点E就是使的周长最短的位置处， ， ， 设直线的解析式为，根据题意，， 解得， ∴直线的解析式为． 令，得， 解得， 故； 【小问3详解】 解：， 由点与点构成一个平行四边形，设， 当为对角线时，由中点坐标公式得： ， 解得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式得： ， 解得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴． 综上所述，满足条件的点Q坐标为，，． 26. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置，如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转． （1）【问题发现】 ①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接EF，则线段，，之间的数量关系是________． （2）【类比迁移】 如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，延长交于点P，连接，，矩形可绕点O旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． （3）【拓展应用】 如图3，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕点D旋转．当时，请求出线段的长． 【答案】（1）① ② （2）证明：线段，，之间的数量关系是，理由如下： ∵矩形，矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴；， ∴垂直平分； ∴； ∵矩形， ∴， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质，证明即可． ②根据正方形的性质，证明，再利用勾股定理，等量代换解答即可． （2）首先，得到；，证明垂直平分，得到；再利用勾股定理证明即可． （3）当点E在线段上时，延长到点G；使，连接,，设，则，根据勾股定理，得，，求解即可；当点E在线段的反向延长线上时，延长到点Q；使，连接,，设，则，根据勾股定理，得，继而得到，，求解即可． 【小问1详解】 ①解：线段，之间的数量关系是，理由如下： ∵正方形，正方形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． ②解：线段，，之间的数量关系是，理由如下： ∵正方形，正方形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； ∴； ∵正方形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点E在线段上时， ，， ， 延长到点G；使，连接,， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分； ∴； ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 解得； 当点E在线段的反向延长线上时， ，， ， 延长到点Q；使，连接,， ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分； ∴； ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， ∴， 解得； 综上所述，的长为或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $