暑假阶段复习1：实数&二次根式 提优讲义2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

暑假阶段复习1：实数&二次根式 提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解平方根与立方根：掌握平方根、算术平方根、立方根的定义及表示，能熟练求一个数的平方根、立方根。 · 理解无理数的概念，能识别常见的无理数（含根号开不尽、π、无限不循环小数）。 · 掌握实数比较大小的方法（平方法、倒数法、作差法），能进行实数的四则运算及化简。 · 理解二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式、同类二次根式的判定，熟练进行二次根式的乘除、加减及混合运算。 · 培养数感与运算能力：通过系统复习，提升数学运算素养，为后续学习奠定基础。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 平方根与立方根 平方根：若 ，则 叫做 的平方根，记作 （）。其中正平方根称为算术平方根（）。 立方根：若 ，则 叫做 的立方根，记作 （任意实数）。 - 正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 - 任意实数都有唯一立方根，符号与 相同。 典型例题 1 判断正误： 是17的一个平方根。 解析：17的平方根为 ， 是其中一个正平方根，正确。 典型例题 2 判断：-64的立方根是-4。 解析：因为 ，所以-64的立方根是-4，正确。 ☆ 2. 实数及其计算 实数包括有理数和无理数。有理数包括整数和分数；无理数是无限不循环小数，如 、、0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次增加）。 实数比较大小：常用方法有①平方法（正数比较）；②作差法；③倒数法；④借助数轴。 实数的运算：有理数的运算律在实数范围内同样适用，注意绝对值、零次幂、负指数幂的处理。 典型例题 3 下列关于判断正确的是（　　） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比π大的数 D．是一个无理数 【分析】根据实数、无理数的定义和算术平方根的定义进行判断即可． 【解答】解：A：5表示5的算术平方根，5的平方根为±5，故A不符合题意； B：实数与数轴上的点一一对应，5是实数，可用数轴上的点表示，故B不符合题意； C：5≈2.236，而π≈3.1416，则5＜π，故C不符合题意； D：5无法表示为两个整数之比，且是无限不循环小数，属于无理数，故D符合题意； 故选：D． 典型例题 4 比较大小： ____ ， ____ 。 解析：利用倒数法：，，因为 ，所以 ；同理可得 。 ☆ 3. 二次根式的性质与运算 二次根式有意义：被开方数 。 最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式。 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。 运算：乘除法则 ，（）；加减法先化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 典型例题 5 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可． 【解答】解：，，都是最简二次根式， 中被开方数含分母，不是最简二次根式， 故选：D． ☆知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平方根 （） 负数无平方根；0的平方根是0 算术平方根 （） 非负 立方根 （任意实数） 符号与相同 无理数 无限不循环小数 常见形式：含根号开不尽、、构造小数 二次根式 （） 被开方数非负 最简二次根式 被开方数无分母、无开方因子 化简时注意符号 同类二次根式 化简后被开方数相同 用于加减合并 核心考点 ·3大典型考点精讲 【考点1】平方根与立方根（第1—10题） · 求平方根：先判断被开方数非负，再求其平方根（注意正负两个）。 · 求立方根：直接开立方，注意符号。 · 算术平方根与平方根区别：算术平方根是非负的。 · 利用平方根性质解方程：如两个平方根互为相反数，可列方程求参数。 1．（2025秋•松江区期末）下列说法正确的是（　　） A．只有正数才有平方根 B．27的立方根是±3 C．是17的一个平方根 D．的算术平方根是4 2．（2025秋•松江区月考）下列判断正确的是（　　） A．﹣64的立方根是﹣4 B．49的算术平方根是±7 C．的立方根是 D．的平方根是 3．（2025秋•闵行区月考）一个正数的两个不相等的平方根是3a+2和﹣7a+10，那么这个数是（　　） A．121 B．100 C．3 D．9 4．（2025秋•金山区期中）已知，则a的值为（　　） A．9 B．±9 C．±3 D．3 5．（2025秋•上海校级月考）下列说法：①任何数都有平方根；②±2是的立方根；③；④（﹣4）3的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2025秋•松江区期末）如果与互为相反数，那么x2+y的算术平方根是　 　 ． 7．（2025秋•闵行区期末）已知1.732，5.477，那么　 　 ． 8．（2026春•越秀区校级期中）已知，则　 　 ． 9．（2026春•浦东新区校级期中）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2． （1）求a，b，c的值； （2）若a＜c＜b，求5a+2b﹣c的立方根． 10．（2025秋•浦东新区校级月考）已知2x﹣1的算术平方根是3，2y+3的立方根是﹣1，求x﹣y的平方根． 【考点2】实数（第11—28题） · 无理数识别：重点关注开方开不尽的数、、以及无限不循环小数。 · 实数比较：平方法（正数）、倒数法、作差法、借助数轴。 · 实数运算：注意绝对值、零次幂、立方根、二次根式的混合运算顺序。 · 有理数运算律在实数中仍适用：分配律、结合律等。 11．（2025秋•徐汇区校级月考）下列关于判断正确的是（　　） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比π大的数 D．是一个无理数 12．（2026•上海）下列选项中是无理数的是（　　） A． B．4 C． D． 13．（2025秋•奉贤区期中）写出一个在3和4之间的无理数：　 　 ． 14．（2025秋•青浦区校级月考）比较大小：_____，_____，正确的是（　　） A．＞；＞ B．＞；＜ C．＜；＞ D．＜；＜ 15．（2024春•浦东新区校级期中）的大小关系是（　　） A． B． C． D． 16．（2024春•青浦区校级月考）比较大小　 　 ．（填“＞”或“＜”＝） 17．（2025秋•浦东新区校级月考）比较大小： 　 　 ． 18．（2025秋•浦东新区校级期末）下列选项正确的是（　　） A．的平方根是±4 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 19．（2025秋•闵行区校级期中）下列说法中，正确的有（　　） ①无理数与无理数的差一定是无理数； ②无理数与无理数的商一定是无理数； ③有理数与无理数的差一定是无理数； ④有理数与无理数的商一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2025秋•闵行区校级期中）下列说法： ①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数； ②数轴上的点与有理数一一对应； ③无理数都是无限小数； ④带根号的数都是无理数． ⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数． 其中错误的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（2025秋•长宁区校级月考）若，则a、b的值为（　　） A．a＝2，b＝1 B．a＝﹣2，b＝﹣1 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝1 22．（2025秋•长宁区期中）计算：|﹣5|　 　 ． 23．（2025秋•浦东新区校级期中）已知m＜0，化简：　 　 ． 24．（2026春•浦东新区校级期中）若x，y是有理数，且满足． （1）求x，y的值； （2）求x+2y的平方根． 25．（2026春•浦东新区校级期中）计算：． 26．（2025秋•浦东新区校级期末）计算： （1）； （2）． 27．（2025秋•浦东新区校级月考）． 28．（2025秋•闵行区校级期中）计算：． 【考点3】二次根式的性质与运算（第29—43题） · 二次根式有意义：被开方数 。 · 化简最简二次根式：分母有理化，开方因子提出。 · 同类二次根式：先化简，再判断被开方数是否相同。 · 混合运算：先乘除后加减，能化简的先化简，注意运算法则。 29．（2026•黄浦区二模）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 30．（2025秋•浦东新区期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 31．（2026•静安区校级模拟）下列根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 32．（2025秋•徐汇区校级月考）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x≥﹣2 33．（2025秋•虹口区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 34．（2026•静安区校级模拟）若，，则a2﹣b2＝　 　 ． 35．（2025秋•青浦区校级期中）最简二次根式与是同类二次根式，则x＝　 　 ． 36．（2025秋•普陀区期末）若式子有意义，则x的取值范围是 　 　 ． 37．（2023秋•浦东新区期末）化简： 　 　 ． 38．（2026春•虹口区校级月考）若正整数a、m、n满足，求a+m+n＝　 　 ． 39．（2025秋•浦东新区校级期末）计算：． 40．（2026春•杨浦区校级期中）计算：． 41．（2025秋•青浦区校级期末）计算：． 42．（2025秋•嘉定区校级月考）已知，，求x2+y2+xy的值． 43．（2025秋•杨浦区期末）计算：． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1：平方根概念 · 练习2：无理数识别 · 练习3：同类二次根式 · 练习4：同类二次根式（含字母） · 练习5：二次根式乘法 【练习1】（2025春•台江区期中）4的平方根是（　　） A．2 B．16 C． D．±2 【练习2】（2026春•长宁区校级月考）在下列各数中：3.、、、、、2.10100100…（它的位数无限，且相邻两个“1”之间的“0”依次增加1个），无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【练习3】（2025秋•浦东新区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【练习4】（2026•闵行区三模）下列与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【练习5】（2025秋•金山区校级月考）　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 夯实基础：熟记平方根、立方根的定义，区分平方根与算术平方根。 分类归纳：将无理数常见类型（开方开不尽、π、构造小数）归类记忆。 规范化简：二次根式化简要彻底，注意分母有理化，避免符号错误。 运算训练：加强二次根式混合运算练习，注意运算顺序和法则。 错题整理：针对比较大小、化简求值等易错点，整理典型错题。 【作业1】（2026•青浦区二模）下列实数中，无理数是（　　） A．0 B． C．π D． 【作业2】（2024•宝山区二模）若二次根式有意义，则x的取值范围为（　　） A．x≥1 B．x≥0 C．x＞1 D．x＞0 【作业3】（2026春•庐阳区校级期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【作业4】（2024秋•浦东新区校级月考）化简成最简二次根式后等于（　　） A． B． C． D． 【作业5】（2026春•虹口区校级月考）已知，则的值为（　　） A． B．2 C．或2 D．或2 【作业6】（2023秋•金山区期末）计算：　 　 ． 【作业7】（2025秋•杨浦区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是　 　 ． 【作业8】（2025秋•上海校级期中）若是整数，则正整数n的最小值是 　 　 ． 【作业9】（2025秋•青浦区校级期末）当a＜0时，化简　 　 ． 【作业10】（2025秋•上海校级期末）计算：． 【作业11】（2025秋•浦东新区校级期末）（1）计算： （2）计算： 【作业12】（2025秋•浦东新区校级期末）计算： （1）； （2）（a＞0）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假阶段复习1：实数&二次根式 提优讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解平方根与立方根：掌握平方根、算术平方根、立方根的定义及表示，能熟练求一个数的平方根、立方根。 · 理解无理数的概念，能识别常见的无理数（含根号开不尽、π、无限不循环小数）。 · 掌握实数比较大小的方法（平方法、倒数法、作差法），能进行实数的四则运算及化简。 · 理解二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式、同类二次根式的判定，熟练进行二次根式的乘除、加减及混合运算。 · 培养数感与运算能力：通过系统复习，提升数学运算素养，为后续学习奠定基础。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 平方根与立方根 平方根：若 ，则 叫做 的平方根，记作 （）。其中正平方根称为算术平方根（）。 立方根：若 ，则 叫做 的立方根，记作 （任意实数）。 - 正数有两个平方根，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 - 任意实数都有唯一立方根，符号与 相同。 典型例题 1 判断正误： 是17的一个平方根。 解析：17的平方根为 ， 是其中一个正平方根，正确。 典型例题 2 判断：-64的立方根是-4。 解析：因为 ，所以-64的立方根是-4，正确。 ☆ 2. 实数及其计算 实数包括有理数和无理数。有理数包括整数和分数；无理数是无限不循环小数，如 、、0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数依次增加）。 实数比较大小：常用方法有①平方法（正数比较）；②作差法；③倒数法；④借助数轴。 实数的运算：有理数的运算律在实数范围内同样适用，注意绝对值、零次幂、负指数幂的处理。 典型例题 3 下列关于判断正确的是（　　） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比π大的数 D．是一个无理数 【分析】根据实数、无理数的定义和算术平方根的定义进行判断即可． 【解答】解：A：5表示5的算术平方根，5的平方根为±5，故A不符合题意； B：实数与数轴上的点一一对应，5是实数，可用数轴上的点表示，故B不符合题意； C：5≈2.236，而π≈3.1416，则5＜π，故C不符合题意； D：5无法表示为两个整数之比，且是无限不循环小数，属于无理数，故D符合题意； 故选：D． 典型例题 4 比较大小： ____ ， ____ 。 解析：利用倒数法：，，因为 ，所以 ；同理可得 。 ☆ 3. 二次根式的性质与运算 二次根式有意义：被开方数 。 最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式。 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。 运算：乘除法则 ，（）；加减法先化为最简二次根式，再合并同类二次根式。 典型例题 5 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可． 【解答】解：，，都是最简二次根式， 中被开方数含分母，不是最简二次根式， 故选：D． ☆知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平方根 （） 负数无平方根；0的平方根是0 算术平方根 （） 非负 立方根 （任意实数） 符号与相同 无理数 无限不循环小数 常见形式：含根号开不尽、、构造小数 二次根式 （） 被开方数非负 最简二次根式 被开方数无分母、无开方因子 化简时注意符号 同类二次根式 化简后被开方数相同 用于加减合并 核心考点 ·3大典型考点精讲 【考点1】平方根与立方根（第1—10题） · 求平方根：先判断被开方数非负，再求其平方根（注意正负两个）。 · 求立方根：直接开立方，注意符号。 · 算术平方根与平方根区别：算术平方根是非负的。 · 利用平方根性质解方程：如两个平方根互为相反数，可列方程求参数。 1．（2025秋•松江区期末）下列说法正确的是（　　） A．只有正数才有平方根 B．27的立方根是±3 C．是17的一个平方根 D．的算术平方根是4 【分析】根据立方根，平方根，算术平方根的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、只有正数和0才有平方根，故A不符合题意； B、27的立方根是3，故B不符合题意； C、是17的一个平方根，故C符合题意； D、的算术平方根是2，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（2025秋•松江区月考）下列判断正确的是（　　） A．﹣64的立方根是﹣4 B．49的算术平方根是±7 C．的立方根是 D．的平方根是 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义分别计算判断即可． 【解答】解：A、﹣64的立方根是﹣4，故此选项符合题意； B、49的算术平方根是7，故此选项不符合题意； C、的立方根是，故此选项不符合题意； D、的平方根是，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 3．（2025秋•闵行区月考）一个正数的两个不相等的平方根是3a+2和﹣7a+10，那么这个数是（　　） A．121 B．100 C．3 D．9 【分析】根据平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：∵一个正数的两个不相等的平方根是3a+2和﹣7a+10， ∴3a+2﹣7a+10＝0， 解得a＝3， 当a＝3时，3a+2＝11，﹣7a+10＝﹣11， ∴这个数为（±11）2＝121， 故选：A． 【点评】本题考查平方根，连接平方根的定义是正确解答的关键． 4．（2025秋•金山区期中）已知，则a的值为（　　） A．9 B．±9 C．±3 D．3 【分析】根据立方根的定义得出1﹣a＝﹣8，解一元一次方程即可得出答案． 【解答】解：∵， ∴1﹣a＝（﹣2）3，即1﹣a＝﹣8， ∴a＝9， 故选：A． 【点评】本题主要考查立方根，熟记立方根的定义是解题的关键． 5．（2025秋•上海校级月考）下列说法：①任何数都有平方根；②±2是的立方根；③；④（﹣4）3的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行判断即可． 【解答】解：①非负数有平方根，原说法“任何数都有平方根”错误； ②8，2是的立方根，原说法错误； ③，原说法错误； ④（﹣4）3的立方根是﹣4，原说法错误； ⑤算术平方根不可能是负数，正确； 所以不正确的有4个． 故选：C． 【点评】本题主要是考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，熟练地掌握概念是解题的关键． 6．（2025秋•松江区期末）如果与互为相反数，那么x2+y的算术平方根是　　 ． 【分析】先根据与互为相反数，求出x＝3，y＝﹣2，进而得到x2+y＝32+（﹣2）＝7，即可求出x2+y的算术平方根是． 【解答】解：根据题意可知，， ∴2x﹣6＝0，2+y＝0， 解得：x＝3，y＝﹣2， ∴x2+y＝32+（﹣2）＝9﹣2＝7， ∴x2+y的算术平方根是． 故答案为：． 【点评】本题考查了算术平方根，相反数，掌握相应的定义是关键． 7．（2025秋•闵行区期末）已知1.732，5.477，那么　54.77　 ． 【分析】先将原式变形为，进而得出答案． 【解答】解：1010×5.477＝54.77． 故答案为：54.77． 【点评】本题主要考查算术平均数，熟练掌握其知识点是解题的关键． 8．（2026春•越秀区校级期中）已知，则　1.01　 ． 【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可． 【解答】解：∵， ∴1.01； 故答案为：1.01． 【点评】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键． 9．（2026春•浦东新区校级期中）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2． （1）求a，b，c的值； （2）若a＜c＜b，求5a+2b﹣c的立方根． 【分析】（1）根据算术平方根的定义，绝对值以及立方根的定义进行计算即可； （2）根据a＜c＜b，确定a、b、c的值，再求出5a+2b﹣c的值，由立方根的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2， ∴a＝±4，b3，3c﹣2＝﹣8， 即a＝±4，b＝3，c＝﹣2； （2）∵a＜c＜b， ∴a＝﹣4，b＝3，c＝﹣2， ∴5a+2b﹣c＝﹣20+6﹣（﹣2）＝﹣20+6+2＝﹣12， ∴5a+2b﹣c的立方根为． 【点评】本题考查算术平方根、立方根以及绝对值，掌握算术平方根、立方根以及绝对值的定义是正确解答的关键． 10．（2025秋•浦东新区校级月考）已知2x﹣1的算术平方根是3，2y+3的立方根是﹣1，求x﹣y的平方根． 【分析】根据定义计算即可． 【解答】解：由条件可知2x﹣1＝9， 解得：x＝5， 由条件可知2y+3＝﹣1， 解得：y＝﹣2， ∴x﹣y＝5﹣（﹣2）＝7， ∴x﹣y的平方根是． 【点评】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握以上知识点是关键． 【考点2】实数（第11—28题） · 无理数识别：重点关注开方开不尽的数、、以及无限不循环小数。 · 实数比较：平方法（正数）、倒数法、作差法、借助数轴。 · 实数运算：注意绝对值、零次幂、立方根、二次根式的混合运算顺序。 · 有理数运算律在实数中仍适用：分配律、结合律等。 11．（2025秋•徐汇区校级月考）下列关于判断正确的是（　　） A．表示5的平方根 B．不可以用数轴上的点来表示 C．是一个比π大的数 D．是一个无理数 【分析】根据实数、无理数的定义和算术平方根的定义进行判断即可． 【解答】解：A：表示5的算术平方根，5的平方根为，故A不符合题意； B：实数与数轴上的点一一对应，是实数，可用数轴上的点表示，故B不符合题意； C：，而π≈3.1416，则，故C不符合题意； D：无法表示为两个整数之比，且是无限不循环小数，属于无理数，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查算术平方根、无理数的定义及实数与数轴的关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．（2026•上海）下列选项中是无理数的是（　　） A． B．4 C． D． 【分析】根据有理数和无理数的定义判断各选项即可． 【解答】解：A、是分数，不是无理数，不符合题意； B、4是整数，不是无理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、3，是整数，不是无理数，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 13．（2025秋•奉贤区期中）写出一个在3和4之间的无理数：　π（答案不唯一）　 ． 【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此写出符合题意的一个无理数即可． 【解答】解：在3和4之间的无理数可以是π， 故答案为：π（答案不唯一）． 【点评】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 14．（2025秋•青浦区校级月考）比较大小：_____，_____，正确的是（　　） A．＞；＞ B．＞；＜ C．＜；＞ D．＜；＜ 【分析】先利用分母有理化求出它们的倒数，然后再进行比较即可解答． 【解答】解：， ， ， ∵，， ∴， ∴；； 故选：C． 【点评】本题考查了实数大小比较，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15．（2024春•浦东新区校级期中）的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意，都是正数，且都含有根号，则可通过比较其平方的大小，即可解答出． 【解答】解：∵，，； ∴， ∵都是正数， ∴． 故选：B． 【点评】本题主要考查了实数大小的比较，当给出的数中含有根式时，可以根据实际情况，考虑通过比较其平方的大小来解决． 16．（2024春•青浦区校级月考）比较大小　＞　 ．（填“＞”或“＜”＝） 【分析】先用（）减去（），再进行整理，然后两边平方得出与0的大小关系，最后进行移项，即可得出答案． 【解答】解：∵（）﹣（）＝（）﹣2， 又∵（）2﹣（）2＝2（）＜0， ∴， ∴． 故答案为：＞． 【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，解题的关键是通过移项、平方比较出与0的关系，再根据两个正数中绝对值大的数大，两个负数中绝对值大的反而小进行解答． 17．（2025秋•浦东新区校级月考）比较大小： 　＞　 ． 【分析】先根据分母有理化的方法得到，，再根据2，即可得到，则． 【解答】解：∵， ， ∵2， ∴， ∴， 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查了实数比较大小，分母有理化，正确地化简二次根式是解题的关键． 18．（2025秋•浦东新区校级期末）下列选项正确的是（　　） A．的平方根是±4 B． C．有理数除以无理数的商一定是无理数 D． 【分析】根据算术平方根、立方根、有理数、无理数的运算法则计算判断即可． 【解答】解：A、4，4的平方根是±2，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、有理数除以无理数的商不一定是无理数，如0除以任何不等于0的数都得0，故此选项不符合题意； D、5，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19．（2025秋•闵行区校级期中）下列说法中，正确的有（　　） ①无理数与无理数的差一定是无理数； ②无理数与无理数的商一定是无理数； ③有理数与无理数的差一定是无理数； ④有理数与无理数的商一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】逐一分析每个说法，通过举反例的方法判断其是否正确，从而确定正确说法的个数． 【解答】解：①例如和都是无理数，它们的差为是有理数，选项说法错误，不符合题意； ②例如和都是无理数，它们的商为是有理数，选项说法错误，不符合题意； ③假设有理数a与无理数b的差是有理数，即a﹣b＝c（c为有理数），那么b＝a﹣c．因为a和c都是有理数，有理数的差也是有理数，这与b是无理数矛盾，选项说法正确，符合题意； ④当有理数为0时，0除以无理数结果为0，是有理数，选项说法错误，不符合题意． 综上，只有③说法正确，正确的有1个． 故选：A． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 20．（2025秋•闵行区校级期中）下列说法： ①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数； ②数轴上的点与有理数一一对应； ③无理数都是无限小数； ④带根号的数都是无理数． ⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数． 其中错误的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】实数包括有理数和无理数；数轴上的点与实数一一对应，并非仅与有理数对应；带根号的数不一定都是无理数；两个实数的和为无理数时，至少有一个是无理数，据此判断即可． 【解答】解：①实数分为有理数和无理数，如果不是有理数，则一定是无理数，选项说法正确，不符合题意； ②数轴上的点与实数一一对应，但有理数不能覆盖所有点，选项说法错误，符合题意； ③无理数是无限不循环小数，都是无限小数，选项说法正确，不符合题意； ④带根号的数可能是有理数（如），选项说法错误，符合题意； ⑤两个有理数的和是有理数，如果和为无理数，则至少有一个是无理数，选项说法正确，不符合题意． ∴错误的有②和④，共2个． 故选：B． 【点评】本题考查了实数的运算，实数与数轴，掌握实数的运算法则是关键． 21．（2025秋•长宁区校级月考）若，则a、b的值为（　　） A．a＝2，b＝1 B．a＝﹣2，b＝﹣1 C．a＝2，b＝﹣1 D．a＝﹣2，b＝1 【分析】将化简成，对等号左边进行化简整理，与等号右边的2移项，得到，再得出a＝2，b＝﹣1． 【解答】解：∵， ∴， ∴2﹣a＝0，， ∴a＝2，b＝﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查实数的运算，有无理数参与的计算，结果是有理数，对等式进行整理使得无理数合并之后等于0． 22．（2025秋•长宁区期中）计算：|﹣5|　7　 ． 【分析】利用绝对值的性质和立方根的性质进行计算，再算乘法，后算加减即可． 【解答】解：原式＝5+2＝7， 故答案为：7． 【点评】此题主要考查了实数运算，关键是掌握在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行． 23．（2025秋•浦东新区校级期中）已知m＜0，化简：　﹣3m ． 【分析】根据运算法则逐一化简再运算即可． 【解答】解：∵m＜0， ∴m+|m|﹣m ＝﹣m+（﹣m）﹣m ＝﹣3m， 故答案为：﹣3m． 【点评】本题考查了绝对值的化简，二次根式的性质，立方根的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 24．（2026春•浦东新区校级期中）若x，y是有理数，且满足． （1）求x，y的值； （2）求x+2y的平方根． 【分析】（1）先根据去括号法则把已知等式的左边化简，从而列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y即可； （2）把（1）中求出的x，y代入x+2y，再求出它的平方根即可． 【解答】解：（1）， ， ， ∵x，y是有理数， ∴， 把y＝3代入3x﹣7y＝9得：x＝10， ∴； （2）由（1）得， ∴x+2y＝10+2×3＝10+6＝16， ∴x+2y的平方根是±4． 【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握平方根的定义． 25．（2026春•浦东新区校级期中）计算：． 【分析】先计算立方根、算术平方根、化简绝对值，再计算加减． 【解答】解：原式． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 26．（2025秋•浦东新区校级期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先运算零次幂，立方根，求一个数的绝对值，再运算加减法，即可作答； （2）先把除法化为乘法，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【解答】解：（1）原式； （2）原式 ． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 27．（2025秋•浦东新区校级月考）． 【分析】利用立方根、二次根式的性质、绝对值的性质进行化简，再进行加减法即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查了实数的运算，熟记运算法则是解题的关键． 28．（2025秋•闵行区校级期中）计算：． 【分析】先根据二次根式的性质和立方根的定义化简，再合并同类二次根式，即可求解． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 【考点3】二次根式的性质与运算（第29—43题） · 二次根式有意义：被开方数 。 · 化简最简二次根式：分母有理化，开方因子提出。 · 同类二次根式：先化简，再判断被开方数是否相同。 · 混合运算：先乘除后加减，能化简的先化简，注意运算法则。 29．（2026•黄浦区二模）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，据此进行判断即可． 【解答】解：，，都是最简二次根式， 中被开方数含分母，不是最简二次根式， 故选：D． 【点评】本题考查最简二次根式，熟练掌握其定义是解题的关键． 30．（2025秋•浦东新区期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），逐一判断各选项． 【解答】解：∵选项A：，含完全平方因数4，不符合题意； 选项B：被开方数含分母，不符合题意； 选项C：被开方数7是质数，无完全平方因数且无分母，符合题意； 选项D：被开方数含分母，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了最简二次根式的判断以及二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 31．（2026•静安区校级模拟）下列根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式的定义判断即可． 【解答】解：A、，与是同类二次根式，故此选项符合题意； B、2，2与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 32．（2025秋•徐汇区校级月考）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞﹣2 B．x≤﹣2 C．x＜﹣2 D．x≥﹣2 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解． 【解答】解：根据题意得：x+2≥0， 解得x≥﹣2． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次根式的意义和性质．关键是熟悉概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 33．（2025秋•虹口区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、315，故A不符合题意； B、2+3＝5，故B不符合题意； C、2，故C符合题意； D、3，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 34．（2026•静安区校级模拟）若，，则a2﹣b2＝　　 ． 【分析】根据二次根式的运算法则化简求值即可． 【解答】解：由条件可得：． 故答案为：8． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 35．（2025秋•青浦区校级期中）最简二次根式与是同类二次根式，则x＝　4　 ． 【分析】根据同类二次根式的定义，若两个最简二次根式是同类二次根式，则它们的被开方数必须相同，据此列出方程求解即可 【解答】解：根据同类二次根式的定义可得：x﹣1＝11﹣2x， 解得x＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 36．（2025秋•普陀区期末）若式子有意义，则x的取值范围是 　0＜x≤1　 ． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：∵式子有意义， ∴， ∴或， 解得0＜x≤1． 故答案为：0＜x≤1． 【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 37．（2023秋•浦东新区期末）化简： 　2　 ． 【分析】根据二次根式的性质解答即可． 【解答】解：∵4＜5， ∴2， ∴原式2． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是二次根式的性质，熟知二次根式具有非负性是解题的关键． 38．（2026春•虹口区校级月考）若正整数a、m、n满足，求a+m+n＝　12　 ． 【分析】等式两边平方得到a2﹣4m+n﹣2，因此a2＝m+n，mn＝8，求出nm＝8，n＝1，得到a＝3，即可求出a+m+n的值． 【解答】解：等式两边平方得到：a2﹣4m+n﹣2， ∴a2＝m+n，24， ∴mn＝8， ∵m＞n，a为正整数， ∴m＝8，n＝1， ∴a＝3， ∴a+m+n＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查二次根式的加减法，关键是掌握二次根式的性质． 39．（2025秋•浦东新区校级期末）计算：． 【分析】根据二次根式乘除法运算法则进行计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查二次根式乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 40．（2026春•杨浦区校级期中）计算：． 【分析】根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是关键． 41．（2025秋•青浦区校级期末）计算：． 【分析】先化为最简二次根式，利用乘法分配律计算，再合并即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． 42．（2025秋•嘉定区校级月考）已知，，求x2+y2+xy的值． 【分析】先分母有理化得到，再求出x+y和xy的值，最后把所求式子变形为（x+y）2﹣xy并代值计算即可得到答案． 【解答】解：根据分母有理化可得： ， ， ∴，， ∴原式＝（x2+2xy+y2）﹣xy ＝（x+y）2﹣xy ＝42﹣1 ＝15． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 43．（2025秋•杨浦区期末）计算：． 【分析】利用二次根式的性质和因式分解的方法得到，再把除法化为乘法，然后约分即可求解． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1：平方根概念 · 练习2：无理数识别 · 练习3：同类二次根式 · 练习4：同类二次根式（含字母） · 练习5：二次根式乘法 【练习1】（2025春•台江区期中）4的平方根是（　　） A．2 B．16 C． D．±2 【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可得到答案． 【解答】解：4的平方根是±2． 故选：D． 【点评】本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义． 【练习2】（2026春•长宁区校级月考）在下列各数中：3.、 、 、 、 、2.10100100…（它的位数无限，且相邻两个“1”之间的“0”依次增加1个），无理数的个数为（　　） 、、、、、2.10100100…（它的位数无限，且相邻两个“1”之间的“0”依次增加1个），无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据无理数的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：在下列各数中：3.、、、、、2.10100100…（它的位数无限，且相邻两个“1”之间的“0”依次增加1个），无理数有：、、、2.10100100…（它的位数无限，且相邻两个“1”之间的“0”依次增加1个），共有3个， 故选：B． 【点评】本题考查了无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 【练习3】（2025秋•浦东新区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） 同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质把选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断． 【解答】解：A、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，与的被开方数相同，是同类二次根式，故本选项符合题意； C、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【练习4】（2026•闵行区三模）下列与是同类二次根式的是（　　） 是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的性质进行化简，根据同类二次根式的定义逐项判断即可． 【解答】解：A、与不是同类二次根式，故A不符合题意； B、|a|，与不是同类二次根式，故B不符合题意； C、，与是同类二次根式，故C符合题意； D、与不是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【练习5】（2025秋•金山区校级月考）　2　 ． 　2　 ． 【分析】直接根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【解答】解：， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了二次根式乘法计算，二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 夯实基础：熟记平方根、立方根的定义，区分平方根与算术平方根。 分类归纳：将无理数常见类型（开方开不尽、π、构造小数）归类记忆。 规范化简：二次根式化简要彻底，注意分母有理化，避免符号错误。 运算训练：加强二次根式混合运算练习，注意运算顺序和法则。 错题整理：针对比较大小、化简求值等易错点，整理典型错题。 【作业1】（2026•青浦区二模）下列实数中，无理数是（　　） A．0 B． C．π D． 【分析】先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【解答】解：A、0是有理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、π是无理数，故此选项符合题意； D、是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式． 【作业2】（2024•宝山区二模）若二次根式有意义，则x的取值范围为（　　） 有意义，则x的取值范围为（　　） A．x≥1 B．x≥0 C．x＞1 D．x＞0 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴x﹣1≥0， 解得：x≥1． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 【作业3】（2026春•庐阳区校级期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【分析】被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是关键． 【作业4】（2024秋•浦东新区校级月考）化简成最简二次根式后等于（　　） 化简成最简二次根式后等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式有意义的条件，最简二次根式解答即可． 【解答】解：∵， 解得：x≤0且x≠1， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式定义，二次根式有意义的条件是解题的关键． 【作业5】（2026春•虹口区校级月考）已知，则 的值为（　　） ，则的值为（　　） A． B．2 C．或2 D．或2 【分析】依据题意，设m，n，且m≥0，n≥0，则m2＝3x+2，n2＝5x﹣4，从而3﹣x，故m﹣n，可得（m﹣n）[m+n﹣2]＝0，进而分类讨论计算可以得解． 【解答】解：由题意，设m，n，且m≥0，n≥0， ∴m2＝3x+2，n2＝5x﹣4． ∴3﹣x． ∴m﹣n． ∴（m﹣n）[m+n﹣2]＝0． 若m＝n，则， ∴3x+2＝5x﹣4， ∴x＝3． ∴m＝n， ∴2． 若m≠n，则m+n﹣2＝0，即m+n＝2， ∴m+n＝2． 综上，2或2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【作业6】（2023秋•金山区期末）计算：　 　 ． 　　 ． 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的乘法，掌握运算法则是解题的关键． 【作业7】（2025秋•杨浦区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则m的取值范围是m≥3　 ． 在实数范围内有意义，则m的取值范围是m≥3　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：2m﹣6≥0， 解得：m≥3， 故答案为：m≥3． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，数据二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【作业8】（2025秋•上海校级期中）若是整数，则正整数n的最小值是 　7　 ． 是整数，则正整数n的最小值是 　7　 ． 【分析】根据已知是整数，且，则得7n是完全平方数，即可得出满足条件的最小正整数n的值． 【解答】解：∵，且是整数， ∴是整数，即7n是完全平方数， ∴正整数n的最小值是7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了二次根式的定义，二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，二次根式的乘法法则． 【作业9】（2025秋•青浦区校级期末）当a＜0时，化简　 　 ． a＜0时，化简　　 ． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：根据题意可知，， 又∵a＜0， ∴﹣4a3＞0， ∴b＞0， ∴原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质和化简的方法是关键． 【作业10】（2025秋•上海校级期末）计算：． ． 【分析】根据二次根式混合运算法则，二次根式性质，进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键． 【作业11】（2025秋•浦东新区校级期末）（1）计算： （2）计算： 【分析】（1）先根据二次根式的性质，二次根式的除法和乘法法则计算，再合并同类二次根式即可； （2）先逐项化简，再合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【作业12】（2025秋•浦东新区校级期末）计算： （1）； （2）（a＞0）． 【分析】（1）先拆分根式除法并化简，再对分式分母有理化，最后去括号合并同类项，得出结果； （2）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $