第08讲 一元二次方程概念与因式分解法解一元二次方程（知识详解+6典例精讲+课后作业）2026年八年级数学暑假预习讲义沪教版（五四制）

第08讲 一元二次方程概念与因式分解法解一元二次方程 （知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：一元二次方程的定义 知识点02：一元二次方程的一般形式 知识点03：一元二次方程的解 知识点04：因式分解法解一元二次方程 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：一元二次方程的定义 题型02：化成一元二次方程的一般式 题型03：由一元二次方程的定义求参数 题型04：判断是否是一元二次方程的解 题型05：由一元二次方程的解求参数 题型06：因式分解法解一元二次方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（9） 【知识点01】一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程． 概念解析： 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【知识点02】一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【知识点03】一元二次方程的解 满足方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数x叫作这个方程的实数根(或者实数解)，简称实根或者根. 对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根。 【知识点04】因式分解法解一元二次方程 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题. 像上面这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法，因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程 因式分解法解一元二次方程一般步骤： （1）将方程右边化为零； （2）将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【题型01】一元二次方程的定义 【典例1-1】．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意. 【典例1-2】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）下列关于的方程，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次，这样的方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，方程为一元一次方程，无法保证一定是一元二次方程，因此A不符合题意； B、是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，因此B符合题意； C、整理后为，未知数的最高次数为，是一元三次方程，因此C不符合题意； D、分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，因此D不符合题意． 故选：B． 【典例1-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当m________时，方程是关于x的一元二次方程． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义可得：且，由此解答即可． 本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：是一元二次方程， ， ， 故答案为： 【变式1-1】．（25-26八年级上·上海·期末）方程①；②；③；④（为实数）；⑤；⑥，其中是一元二次方程的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含一个未知数、未知数最高次数为2的整式方程是一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①方程含两个未知数，不符合“只含一个未知数”，不是一元二次方程； ②方程展开为，满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程； ③方程含分式，不是整式方程，不符合定义，不是一元二次方程； ④方程中，当时，方程变为，不是一元二次方程，故该方程不一定是一元二次方程 ⑤方程满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程； ⑥方程，展开移项化简得，是一元一次方程，不是一元二次方程. 综上，是一元二次方程的有②⑤，共2个. 故选：B． 【变式1-2】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的方程是一元二次方程，那么所满足的条件是_____． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程中二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的定义，需满足未知数的最高次数为2且二次项系数不为零；由此只需保证方程中二次项系数，即可求出的取值条件． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得， 故答案为：． 【变式1-3】．（25-26八年级上·上海松江·期末）写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是6，其中一个根是，满足条件的方程是______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的解，构造一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式 ，设方程为，代入已知根求解的值． 【详解】解：设一元二次方程为， 将根代入方程， 得，即， 整理得， 解得 ， 故方程为． 故答案为：． 【题型02】化成一元二次方程的一般式 【典例2-1】．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是（、、为常数，）． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 故选：D． 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【答案】A 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，准确运算是解题的关键．一元二次方程的一般形式为，将方程化为一般形式后判断二次项系数和常数项的值即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数为5，常数项为， 故选：A． 【典例2-3】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式后，即可确定一次项系数． 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． 【变式2-1】．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 【变式2-2】．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数是__________． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，形如为一元二次方程的一般式.通过移项合并即可求解． 【详解】解： 移项合并： 一次项系数为：． 故答案为：． 【变式2-3】．（2025八年级上·上海·专题练习）写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式下，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，将一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先将一元二次方程化为一般形式，进而完成解答． 【详解】解：把方程化为一般形式为， 所以二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【题型03】由一元二次方程的定义求参数 【典例3-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为，且二次项系数不为，列方程求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 由得或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， ． 故选：B． 【典例3-2】．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得：且，再解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得， 故选：． 【典例3-3】．（25-26八年级上·上海崇明·期末）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是__________． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟记定义是解本题的关键．根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，据此求解即可． 【详解】解：由方程 是一元二次方程， 得二次项系数 ， 解得 ． 故答案为 ． 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，即可求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得． 故选：C． 【变式3-2】．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）当_______________时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 根据一元二次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）关于的方程是一元二次方程．则需满足条件是______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得，未知数的最高次数为，且二次项系数不为零． 【详解】解：由于方程是关于的一元二次方程，因此未知数的最高指数必须等于，即， 解得，所以或． 同时，二次项系数， 即．因此． 故答案为：． 【变式3-4】．（2025八年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 【题型04】判断是否是一元二次方程的解 【典例4-1】．在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【详解】解：A．当时，，不是方程的根； B．当时，，不是方程的根； C．当时，，是方程的根； D．当时，，不是方程的根． 【典例4-2】．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时，，该选项不符合题意； B、当时，，该选项符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、当时，，该选项不符合题意． 故选：B． 【典例4-3】．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 【变式4-1】．（25-26八年级·上海闵行·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 【变式4-2】．对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是_____． 【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据当时，有可得答案． 【详解】解：∵当时，，即， ∴是该方程的一个根， 故答案为： 【变式4-3】．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 【题型05】由一元二次方程的解求参数 【典例5-1】．（25-26八年级上·上海·期中）若是方程 的根 ， 则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 【典例5-2】．（23-24八年级上·上海青浦·期中）关于的一元二次方程有一个根为，则的值（   ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入原方程，求出的值，再根据一元二次方程的定义得出，即可解答． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为， ，且， 解得：， 故选：C． 【典例5-3】．（25-26八年级上·上海·期末）已知关于的方程的一个根为2，则______． 【答案】1 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查由一元二次方程的解求参数，即把根代入方程可使等式成立，进而求解未知系数． 【详解】解：∵关于的方程的一个根为2， ∴将代入方程，得， 解得； 故答案为：． 【变式5-1】．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若是方程的根，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根以及代数式求值， 把代入方程可得出，结合已知可得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵， ∴， 则， 故选：C． 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为 1 ， 常数项为 3， 且它的一个根为，这个一元二次方程是_____ 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，构造一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式 ，由题意二次项系数 ，常数项 ，且一个根为．把代入方程，可求出一次项系数 ，从而得到方程． 【详解】解：由题意，设所求一元二次方程为； 将代入方程得：， 解得：． 则方程为：； 故答案为：． 【变式5-3】．（25-26八年级上·上海松江·期中）请写出一个一元二次方程，使这个方程的一次项系数是，且它的一个根是1．这个方程可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的解，此题为开放性题目，答案不是唯一，答案只要满足题意即可．可设一元二次方程为 ，把代入，求出，然后令，则可求c的值，即可求解． 【详解】解：∵该方程的一次项系数是， ∴设一元二次方程为 ， ∵方程的一个根是1， ∴， ∴， 取，则， ∴方程为， 故答案为：（答案不唯一） 【题型06】因式分解法解一元二次方程 【典例6-1】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解： ， ， 或， 所以， 故选：C． 【典例6-2】．（24-25八年级上·上海闵行·期中）方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法求解是解题关键．先去括号化简，再根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 故选C． 【典例6-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）方程的根是________． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】先移项将方程化为一边为0的形式，再提取公因式因式分解，令每个因式为0即可求出方程的根． 【详解】解：移项得， 提取公因式得， 则或 解得，． 【典例6-4】．（23-24八年级上·上海·期中）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解： 化简得：， ， 或， ，． 【变式6-1】．（23-24八年级上·上海·期中）已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程、构成三角形的条件 【分析】先求解给定的一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系排除不符合的取值，最后计算得到三角形的周长. 【详解】解：∵， 因式分解得， ∴或， 当时，，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去， 当时，，满足三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为. 【变式6-2】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）方程的根是__________． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 【变式6-3】．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）小明发明了一个魔术盒，当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到，则___________． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义，根据新定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴，即， ∴， 解得或， 故答案为：或． 【变式6-4】．解方程：． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 【变式6-5】．（25-26八年级上·上海松江·期末）按要求解答下列问题： 小华与小海两位同学解方程的过程如下： 小华： 解： 两边同时除以，得 ． 解得：． 小海： 解： 提公因式，得， 由此得或． 解得：，． (1)小华的解法是错误的，原因是____________ (2)小海的解法是______（填“正确”或“错误”）．如果小海的解法错误，请写出正确的解题过程． 【答案】(1)可能为0 (2)错误，见解析，， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是关键． （1）根据除数为零无意义进行解答即可； （2）判断后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：小华的解法是错误的，原因是：两边同时除以，可能为0． 故答案为：可能为0 （2）解：小海的解法是错误的，正确的过程如下：     整理得 解得，． 所以原方程的根是，． 一、核心易错警示 1.解方程前必须将方程右边化为0，切忌直接拆分因式求解； 2.切勿随意约去含未知数的因式，避免丢失方程的根； 3.判定一元二次方程时，优先验证二次项系数a≠0，这是最核心的判定条件； 4.因式分解要分解彻底，必须化为两个一次因式乘积的形式，才能正确降次求解。 二、课堂核心思想与总结 1. 本质思想：降次转化思想，将未知的一元二次方程问题，转化为已学的一元一次方程问题解决； 2. 方法优势：因式分解法是解一元二次方程最简便、快捷的方法，优先适用于左边易分解、右边为0的一元二次方程； 3. 学习关键：精准掌握一元二次方程的定义特征，熟练运用常见因式分解方法，规范解题步骤，规避常见易错点。 一、单选题 1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数最高次数为2， 选项A中，的未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项B中，原方程整理得，满足一元二次方程的全部条件，符合要求； 选项C中，展开整理原方程：左边展开得，右边为，移项合并得：，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项D中，未说明，当时，未知数最高次数不是2，不满足定义，不符合要求． 2．方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟记一元二次方程一般式的概念．将化为一般形式即可求解． 【详解】解：将化为一般形式为：， 由此可知：，，． 故选：C． 3．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 4．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】解：把代入方程 得， 解得， 又因为，即， 所以， 故选：A． 6．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A．15 B．11和13 C．11 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程与三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法和三角形的三边关系是解题的关键． 先解方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系判断出符合条件的第三边长，最后计算三角形周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵三角形两边长分别为3和6， ∴当第三边长为2时，，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，舍去， 当第三边长为4时，且，满足三角形三边关系， ∴三角形的周长为． 故选：D． 二、填空题 7．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 【答案】 1 【分析】本题主要考查一元二次方程化为一般形式，掌握一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先通过去括号、移项、合并同类项、然后同时除以二次项的系数得到二次项系数是1的一元二次方程，再确定二次项系数、一次项系数、常数项即可． 【详解】解： ， 所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是． 故答案为：1；；． 8．已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是______． 【答案】8 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，得到高的长度，再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】解：由，因式分解得 ， 解得 或 （舍去负根）， ∴斜边上的高为4， 在等腰直角三角形中，斜边上的高也是斜边上的中线，且等于斜边的一半， ∴斜边长为 ， 故答案为 8． 9．在实数范围内定义一种新运算，规定：，则方程的解为____ 【答案】，． 【分析】结合新定义的运算法则得到关于的一元二次方程，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， 解得：，． 10．已知是方程的一个根，则______． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 11．关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 12．已知是方程的一个根，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、整体代入法求代数式的值． 利用方程的根的定义得到含的等式，再将所求代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，根据方程的根的定义可得： ， 移项得． 将代入，得． 13．关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，知道一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 由常数项为0可得，再结合一元二次方程二次项系数不为0，确定m的值即可． 【详解】解： ， ∵常数项为且常数项为0， ∴ ， 解得， 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即． ∴． 故答案为：． 14．若是关于的一元二次方程，则的值为__________． 【答案】3或 【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，， 解得或． 故答案为：3或． 15．若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． 16．已知m，n是方程的两根，则＝________． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据，是一元二次方程的两个数根，可得，，则有，，然后代入求解即可． 【详解】解：、是一元二次方程的两个根， ，， ，， ，， ． 故答案为：8． 17．如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了新定义计算、一元二次方程的解、代数式求解和绝对值方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 由方程可得两根为和，根据根的距离为1，得，分两种情况求解的值，再计算代数式即可． 【详解】解：∵方程为， ∴其两根为和， 由题意得，， 设，则 或， 解得或， 代数式 ， 当时，， 故； 当时，， 故． 综上，代数式的值为． 故答案为：． 三、解答题 18．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 【答案】(1)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义． （1）移项，将方程化为一般形式，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 19．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 移项后根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项得， 因式分解得， 即， 所以或， 解得． 20．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解，即可解题． 【详解】解： 或， 解得． 21．解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 22．已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元一次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义和一元一次方程的定义． （1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是一元一次方程， 则且． 解得； （2）解：方程是一元二次方程， 则， 解得． 23．先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 24．已知一元二次方程有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 【答案】 ；方程的另一根为 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程得到关于的方程，结合一元二次方程二次项系数不为0，舍去不符合条件的值，再将符合条件的代入原方程，求解得到方程的另一根． 【详解】解：一元二次方程有一个根为， 将代入方程得， 因式分解得， 解得， 原方程是一元二次方程，二次项系数不为， ，即， ， 将代入原方程得 ， 整理得， 提取公因式得， 解得， 方程的另一根为． 25．问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题目中给出的利用方程根的代换求新方程的方法，并应用“换根法”解决问题． （1）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （2）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （3）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得． 26．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 一元二次方程概念与因式分解法解一元二次方程 （知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：一元二次方程的定义 知识点02：一元二次方程的一般形式 知识点03：一元二次方程的解 知识点04：因式分解法解一元二次方程 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：一元二次方程的定义 题型02：化成一元二次方程的一般式 题型03：由一元二次方程的定义求参数 题型04：判断是否是一元二次方程的解 题型05：由一元二次方程的解求参数 题型06：因式分解法解一元二次方程 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（9） 【知识点01】一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程． 概念解析： 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面： “化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 【知识点02】一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫做常数项． 一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 【知识点03】一元二次方程的解 满足方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数x叫作这个方程的实数根(或者实数解)，简称实根或者根. 对于一个一元二次方程，可以依据根的意义，判断一个未知数的值是不是这个方程的根。 【知识点04】因式分解法解一元二次方程 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题. 像上面这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法，因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程 因式分解法解一元二次方程一般步骤： （1）将方程右边化为零； （2）将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； （3）令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； （4）分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【题型01】一元二次方程的定义 【典例1-1】．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【典例1-2】．（24-25八年级上·上海·阶段检测）下列关于的方程，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-3】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）当m________时，方程是关于x的一元二次方程． 【变式1-1】．（25-26八年级上·上海·期末）方程①；②；③；④（为实数）；⑤；⑥，其中是一元二次方程的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的方程是一元二次方程，那么所满足的条件是_____． 【变式1-3】．（25-26八年级上·上海松江·期末）写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是6，其中一个根是，满足条件的方程是______． 【题型02】化成一元二次方程的一般式 【典例2-1】．把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【典例2-3】．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 【变式2-1】．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数是__________． 【变式2-3】．（2025八年级上·上海·专题练习）写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【题型03】由一元二次方程的定义求参数 【典例3-1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 【典例3-2】．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【典例3-3】．（25-26八年级上·上海崇明·期末）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是__________． 【变式3-1】．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如果方程，是关于x的一元二次方程，那么m的值为（    ） A． B．3 C． D．0 【变式3-2】．（23-24八年级上·上海金山·阶段检测）当_______________时，关于的方程是一元二次方程． 【变式3-3】．（25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）关于的方程是一元二次方程．则需满足条件是______． 【变式3-4】．（2025八年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【题型04】判断是否是一元二次方程的解 【典例4-1】．在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】．（23-24八年级上·上海金山·期末）下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【典例4-3】．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【变式4-1】．（25-26八年级·上海闵行·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】．对于一元二次方程，若，则该方程的一个根是_____． 【变式4-3】．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【题型05】由一元二次方程的解求参数 【典例5-1】．（25-26八年级上·上海·期中）若是方程 的根 ， 则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【典例5-2】．（23-24八年级上·上海青浦·期中）关于的一元二次方程有一个根为，则的值（   ） A． B．或 C． D．以上都不对 【典例5-3】．（25-26八年级上·上海·期末）已知关于的方程的一个根为2，则______． 【变式5-1】．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）若是方程的根，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D． 【变式5-2】．（25-26八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为 1 ， 常数项为 3， 且它的一个根为，这个一元二次方程是_____ 【变式5-3】．（25-26八年级上·上海松江·期中）请写出一个一元二次方程，使这个方程的一次项系数是，且它的一个根是1．这个方程可以是_____． 【题型06】因式分解法解一元二次方程 【典例6-1】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】．（24-25八年级上·上海闵行·期中）方程的根是（   ） A．， B．， C．， D．， 【典例6-3】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）方程的根是________． 【典例6-4】．（23-24八年级上·上海·期中）解方程：． 【变式6-1】．（23-24八年级上·上海·期中）已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 【变式6-2】．（23-24八年级上·上海·阶段检测）方程的根是__________． 【变式6-3】．（25-26八年级上·上海奉贤·期末）小明发明了一个魔术盒，当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数：，例如把放入其中，就会得到．现将有理数对放入其中，得到，则___________． 【变式6-4】．解方程：． 【变式6-5】．（25-26八年级上·上海松江·期末）按要求解答下列问题： 小华与小海两位同学解方程的过程如下： 小华： 解： 两边同时除以，得 ． 解得：． 小海： 解： 提公因式，得， 由此得或． 解得：，． (1)小华的解法是错误的，原因是____________ (2)小海的解法是______（填“正确”或“错误”）．如果小海的解法错误，请写出正确的解题过程． 一、核心易错警示 1.解方程前必须将方程右边化为0，切忌直接拆分因式求解； 2.切勿随意约去含未知数的因式，避免丢失方程的根； 3.判定一元二次方程时，优先验证二次项系数a≠0，这是最核心的判定条件； 4.因式分解要分解彻底，必须化为两个一次因式乘积的形式，才能正确降次求解。 二、课堂核心思想与总结 1. 本质思想：降次转化思想，将未知的一元二次方程问题，转化为已学的一元一次方程问题解决； 2. 方法优势：因式分解法是解一元二次方程最简便、快捷的方法，优先适用于左边易分解、右边为0的一元二次方程； 3. 学习关键：精准掌握一元二次方程的定义特征，熟练运用常见因式分解方法，规范解题步骤，规避常见易错点。 一、单选题 1．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 2．方程化为一般形式后，a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 6．三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A．15 B．11和13 C．11 D．13 二、填空题 7．将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 8．已知等腰直角三角形斜边上的高的长度恰好是方程的根，那么这个直角三角形斜边的长是______． 9．在实数范围内定义一种新运算，规定：，则方程的解为____ 10．已知是方程的一个根，则______． 11．关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 12．已知是方程的一个根，则的值为______． 13．关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 14．若是关于的一元二次方程，则的值为__________． 15．若关于的方程是一元二次方程，则___________． 16．已知m，n是方程的两根，则＝________． 17．如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是_____． 三、解答题 18．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 19．解方程：． 20．解方程：． 21．解方程： 22．已知关于的方程． (1)当满足什么条件时，此方程是一元一次方程？ (2)当满足什么条件时，此方程是一元二次方程？ 23．先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 24．已知一元二次方程有一个根为零，求m的值和方程的另一根． 25．问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 26．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $