26.1二次函数的概念（2知识点+4大题型+分层训练）2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.1二次函数的概念（解析版） 学习目标导航 1、 理解二次函数的概念， 2、 掌握其解析式的不同形式，并能用描点法画出二次函数的图象。 洞悉◆教材知识 知识点1．二次函数 1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景， 核心题型◆归纳 【题型1 】二次函数的有关概念 【题型2】根据二次函数的定义求参数的值 【题型3】判断是否是二次函数关系 【题型4】根据实际问题列二次函数关系式 分层训练 题型解析◆精准备考 【题型1 】二次函数的有关概念 1．下列函数中，关于的二次函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】形如、、为常数，的函数叫做二次函数，由此判断即可． 【详解】解：、不是关于的二次函数，故此选项不符合题意； 、是的正比例函数，故此选项不符合题意； 、是关于的二次函数，故此选项符合题意； 、当时，不是关于的二次函数，故此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为　　 A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】 【分析】二次函数、、为常数，中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项；由此判断即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的各项及各项系数是解题的关键． 3．在下列表达式中，为自变量，问哪些是二次函数？ ，，，，，，． 【答案】二次函数有：，，，． 【分析】根据二次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：二次函数有：，，，． 【点评】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1；（2）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为2． 【题型2】根据二次函数的定义求参数的值 4．已知是二次函数，则　　 A．0 B．1 C． D．1或 【答案】 【分析】根据二次函数的定义可得且，从而可得答案． 【详解】解：由条件可知， 解得或， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义．熟练掌握定义是关键． 5．若函数表示是的二次函数，则的值为　　． 【答案】． 【分析】根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，解得或， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键． 6．已知是关于的二次函数，求的值． 【分析】根据题意可得，，，因式分解求值即可． 【详解】解：由已知条件可得：，， 解得：，，， ． 【点评】本题主要考查二次函数的概念，因式分解求一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是关键． 【题型3】判断是否是二次函数关系 7.如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为 ，的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，，随的变化而变化，则，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】 【分析】分别根据题意得，，即可得，与满足的函数关系． 【详解】解：矩形的面积为，线段的长为 ，的长为， ， ， 正方形的面积为， ， ，与满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系． 故选：． 【点评】本题主要考查反比例函数和二次函数的定义，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 8.把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为 ，另一条直角边的长为 ，图②中的较小正方形面积为 ．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，反比例函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答案】 【分析】根据题意和图形，可以分别写出与的关系和与的关系，从而可以得到与满足的函数关系和与满足的函数关系． 【详解】解：， 则，与满足一次函数关系， ， 则与满足二次函数关系， 故选：． 【点评】本题考查勾股定理，菱形的性质、一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式． 【题型4】根据实际问题列二次函数关系式 9.为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为，该药品的原价是50元，降价后的价格是元，则与之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，得出第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，再根据两次降价后的价格为元，即可得出与的函数关系式． 【详解】解：由题意可得： 第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格为元， 又两次降价后的价格为元， 与的函数关系式为：． 故选：． 【点评】本题考查了根据实际问题列出二次函数的关系式，正确根据数量关系列出式子是解题关键． 10.某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据降价元，则售价为元，销售量为本，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可． 【详解】解：设每本降价元，则售价为元，销售量为本， 根据题意得，， 故选：． 【点评】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式． 1．长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先根据周长，将长方形的另一边表示出来，再根据长方形的面积=长×宽，即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得： ∵长方形的周长为，其中一边为， ∴长方形的另一边长为， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是掌握长方形的面积计算方法. 2．以下函数式二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数，进行判断． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项错误； B、由得到，是一次函数，故本选项错误； C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误； D、由原函数解析式得到，符合二次函数的定义，故本选项正确． 应选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键． 3．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．函数是二次函数，故本选项符合题意； C．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数． 4．二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可． 【详解】解：， ∴二次项系数是2，一次项系数是， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键． 5．下列函数中是二次函数的是(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可． 【详解】解：A选项：是一次函数，故此选项错误； B选项：，是二次函数，故此选项正确； C选项：，为一次函数，故此选项错误； D选项：是组合函数，不是二次函数，故此选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的定义：函数（，a、b、c为常数）叫二次函数． 6．若函数是二次函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 7．在二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 【答案】0 【分析】分别得出二次项系数，一次项系数和常数项相加即可； 【详解】∵， ∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1， ∴； 故答案是0． 【点睛】本题主要考查了二次函数一般式的认识，准确分析判断是解题的关键． 8．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为________．（结果保留） 【答案】 【分析】根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解：依题意，圆面积与的函数关系为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，掌握圆的面积公式是解题的关键． 9．二次函数的二次项系数是______． 【答案】 【分析】根据二次项系数的定义即可进行解答． 【详解】解：二次函数的二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的相关定义，解题的关键是掌握二次函数中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 10．如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 【答案】 【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等量关系，此题主要利用了长方形的面积公式解题． 11．若函数是关于x的二次函数，求m的值． 【答案】1 【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得， ∴的值为1． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 12．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 13．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 14．下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 【答案】D 【分析】该题考查了一元二次方程的一般式，二次函数的定义和应用，旋转，根据以上相关知识点解答即可． 【详解】解：A：一元二次方程的一次项系数为，正确； B：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得，即， 当时，系数，不符合要求， ∴，正确； C：数字“69”整体旋转后，得到“69”，正确； D：第一季度的营业额包括一月、二月和三月， 一月为200万元，二月为万元，三月为万元， 总和， 而非，错误． 故选：D． 15．如图，在中，，，点是斜边上一点，以点为圆心的圆分别与，相切于点，．设，的半径为，则与的函数关系式为____________． 【答案】 【分析】连接，，根据切线的性质可得，从而可得四边形是正方形，进而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：连接，， 与相切于点，与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，， ， ． ． ． 16．函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 17．数学实验课，小明用4张面积相等的直角三角形纸片（任意两张均不能完全重合）做如下探究：如图，，将每张直角三角形纸片的一个锐角顶点与重合，一直角边在射线上，且另一个锐角顶点位于内部，得到4个位于内部的锐角顶点，探究这4个顶点的分布规律．关于这4个顶点，下列说法正确的是____________．（写出所有正确结论的序号） ①它们中的任意三点都不在同一直线上；②它们可以在同一直线上； ③它们在双曲线的同一分支上；④它们可以在同一条抛物线上． 【答案】①③ 【分析】本题考查了反比例的应用，二次函数的应用，一次函数的应用．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求得四个点的坐标分别为，，，，求得它们在双曲线上，据此求解即可判断． 【详解】解：如图，，，，是四个面积相等的直角三角形， 设，，，，它们的面积都是， ∴，，，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图， ∴，，，， ∵， ∴它们在双曲线上，即它们在双曲线的同一分支上，说法③正确； 它们中的任意三点都不在同一直线上， ∴说法①正确，说法②错误； 它们不可能在同一条抛物线上， ∴说法④错误， 综上①③正确， 故答案为：①③． 18．如图，在中，，．点D在边上，线段交于M，连接，． (1)若，求证：四边形是平行四边形． (2)若D为的中点，四边形是平行四边形，，试求出四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形内角和得到，根据垂线的定义得到，可知，根据可知四边形是平行四边形； （2）先证明是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，进而可知平行四边形是菱形，得到，根据三角函数得到，根据菱形面积公式即可求出与的函数关系式． 【详解】（1）证明：中，，， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形 （2）解：中，，， ， 是直角三角形， 为的中点， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形 ， 中，， ， 四边形的面积y与x的函数关系式为． 19．综合与实践 问题情境：为全面推进乡村振兴，拓宽农民增收致富渠道，某村通过种植优质蔬菜品种，助推村民增收致富．小颖的父母准备响应号召种植蔬菜，小颖想利用所学知识为父母找到该蔬菜的最佳上市时间，实现收益最大化． 实践操作：小颖利用假期对往年该蔬菜的市场行情和生产情况进行了调查，希望能对今年该蔬菜的最佳上市时间进行一个预测．她统计了去年当地该蔬菜种植期间（3月-9月）每千克的售价、成本价与销售时间的关系数据如下，并发现它们的关系满足我们学过的函数关系． 销售时间（）（月份） 3 4 5 6 7 8 9 售价（）（元/） 5 3 1 成本价（元/） 4 1 4 问题解决：根据上述信息，帮助小颖解决下列问题： (1)去年该蔬菜的售价（元/kg）是销售时间x（月份）的_______函数，去年该蔬菜的成本价（元/kg）是销售时间（月份）的________函数（选填“一次”或“反比例”或“二次”）； (2)求与的函数表达式； (3)去年哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益（收益=售价-成本价）最大？每千克的最大收益是多少元？ 【答案】(1)一次，二次 (2)（，且为整数） (3)去年5月出售这种蔬菜，每千克收益最大，每千克的最大收益是元 【分析】（1）直接根据一次函数、二次函数的意义即可解答； （2）由表格可知，顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）先利用待定系数法求得与的函数表达式为（，且为整数）；再结合（2）可得，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵销售时间每增加1个月，蔬菜的售价（元/）减少， ∴去年该蔬菜的售价（元/）是销售时间x（月份）的符合一次函数； ∵当时，函数有最小值1，另外数据具有对称性， ∴去年该蔬菜的成本价（元/）是销售时间（月份）的二次函数． （2）解：由表格可知，顶点坐标为， 设与的函数表达式为 ．     将，代入表达式可得：解得． 与的函数表达式为（，且为整数） （3）解：设与的函数表达式为， 由题意可知，当时，；当时，， ，解得 与的函数表达式为（，且为整数）； 设每千克的收益为元． 则， ，且为整数，， 当时，． 去年5月出售这种蔬菜，每千克收益最大，每千克的最大收益是元． 20．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)m的值为2 (2)当x为0时，此二次函数有最小值5，当时，y随x的增大而减小 (3)新抛物线的顶点坐标为，存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）由二次函数定义可知，的指数必须等于 2，且二次项系数 ，由此解出 的值． （2）将代入函数解析式得，根据二次函数的顶点坐标公式和开口方向，可确定其顶点坐标、最小值及增减性． （3）由平移规律“左加右减、上加下减”得新抛物线顶点为，设，分别讨论、、三种情况，利用两点间距离公式列方程求解 值，即可得到所有满足条件的点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为 2； （2）解：∵的值为 2， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵， ∴当 时，此二次函数有最小值 5，当时，随的增大而减小； （3）解：∵，顶点坐标为， ∴将此二次函数的图象向左平移 3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后新抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 设， 则 ① 当时， ，解得 或 9， ∴ 点的坐标为或； ②当时， ，解得， ∴点的坐标为； ③ 当时， ，解得或， ∴点的坐标为或． 综上，点的坐标为或或或或． 21．考向预测综合与实践综合与实践 【活动背景】随着科技的不断进步，扫地机器人已经深入千家万户，成为现代家庭清洁的得力助手． 【活动调查】为了解A，B两款扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间，某实验小组成员分别随机调查了A，B两款扫地机器人各10台，记录下它们运行的最长时间（单位：分钟），并对数据进行整理、描述和分析[运行最长时间用x（分钟）表示，共分为四组：不合格，合格，良好，优秀]，下面给出了部分信息： 10台A款扫地机器人一次充满电后运行最长时间分别是：111，88，95，104，98，107，104，102，97，104． 10台B款扫地机器人一次充满电后运行最长时间属于良好的数据分别是：102，103，105，101，104，102． A，B两款扫地机器人运行最长时间统计表 平均数 中位数 众数 方差 A 101 103 a 39.4 B 101 b 102 43.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据调查数据，该实验小组成员认为A款扫地机器人的性能更好，请你说明理由． 【实验操作】 为进一步了解A款扫地机器人需要多久能充满电，以及充满电后扫地机器人的最大打扫区域面积，该实验小组成员设计了两组实验． 实验Ⅰ：探究充电状态下扫地机器人显示屏显示增加的电量y（）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 表1 扫地机器人充电状态 时间t/分钟 0 20 100 120 … 增加的电量y/% 0 10 50 60 … 观察表1，发现y与t成一次函数关系，表达式为． 实验Ⅱ：探究充满电后扫地机器人打扫过程中显示屏显示剩余的电量e（）与已打扫区域面积s（平方米）的关系，数据记录如表2； 表2 扫地机器人打扫过程 已打扫区域面积s/平方米 0 160 320 340 … 剩余的电量 100 60 20 15 … 【建立模型】 (3)观察表2，猜想e关于s的函数关系为______（填序号），并写出e关于s的函数表达式：______． ①一次函数；②反比例函数；③二次函数 【解决问题】 (4)已知该款扫地机器人设计了智能断点续扫功能，电量低于时自动回充后再继续清洁．在某次清扫过程中，扫地机器人显示剩余电量是，还有300平方米的区域未打扫，在自动回充前能否完成打扫？若能，请说明理由；若不能，最少还需要充电多少分钟才能完成打扫？ 【答案】(1)104，102，10； (2)A款扫地机器人运行最长时间的平均数与B款相同，但中位数和众数均大于B款，且方差小于B款； (3)①；； (4)不能，最少还需要充电10分钟才能完成打扫． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求得，再求得优秀的占比即可解答； （2）利用平均数，中位数做决策即可解答； （3）根据表格数据即可判断，再利用待定系数法即可解答； （4）将代入，可得，再结合题意判断即可． 【详解】（1）解：根据题意可得104出现的次数最多，所以众数； 根据题意可得B款数据合格和不合格的数据之和为个， 则B款数据中第5个为，第6个为， 所以中位数； ， 所以； （2）解：略 （3）解：根据表2中的数据，可得e关于s的函数关系为一次函数； 设， 把，代入可得 ， 解得， 所以e关于s的函数关系为； （4）解：在自动回充前不能完成打扫． 将代入，得； 打扫300平方米的区域，扫地机器人需要用电， ，， 扫地机器人至少需要充电． 将代入，得． 最少还需要充电10分钟才能完成打扫． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.1二次函数的概念（原卷版） 学习目标导航 1、 理解二次函数的概念， 2、 掌握其解析式的不同形式，并能用描点法画出二次函数的图象。 洞悉◆教材知识 知识点1．二次函数 1、定义：一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 二次函数解析式的表示方法 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标 ． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景， 核心题型◆归纳 【题型1 】二次函数的有关概念 【题型2】根据二次函数的定义求参数的值 【题型3】判断是否是二次函数关系 【题型4】根据实际问题列二次函数关系式 分层训练 题型解析◆精准备考 【题型1 】二次函数的有关概念 1．下列函数中，关于的二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为　　 A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 3．在下列表达式中，为自变量，问哪些是二次函数？ ，，，，，，． 【题型2】根据二次函数的定义求参数的值 4．已知是二次函数，则　　 A．0 B．1 C． D．1或 5．若函数表示是的二次函数，则的值为　　． 6．已知是关于的二次函数，求的值． 【题型3】判断是否是二次函数关系 7．如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为 ，的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，，随的变化而变化，则，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 8．把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为 ，另一条直角边的长为 ，图②中的较小正方形面积为 ．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与，与满足的函数关系分别是　　 A．一次函数关系，反比例函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【题型4】根据实际问题列二次函数关系式 9．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为，该药品的原价是50元，降价后的价格是元，则与之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 10．某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数表达式为　　 A． B． C． D． 1．长方形的周长为，其中一边为，面积为．那么与的关系是（    ） A． B． C． D． 2．以下函数式二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 4．二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中是二次函数的是(      ) A． B． C． D． 6．若函数是二次函数，则（    ） A． B． C． D． 7．在二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为_____． 8．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为________．（结果保留） 9．二次函数的二次项系数是______． 10．如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 11．若函数是关于x的二次函数，求m的值． 12．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 13．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A．B． C． D． 14．下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 15．如图，在中，，，点是斜边上一点，以点为圆心的圆分别与，相切于点，．设，的半径为，则与的函数关系式为____________． 16．函数是关于的二次函数，则______． 17．数学实验课，小明用4张面积相等的直角三角形纸片（任意两张均不能完全重合）做如下探究：如图，，将每张直角三角形纸片的一个锐角顶点与重合，一直角边在射线上，且另一个锐角顶点位于内部，得到4个位于内部的锐角顶点，探究这4个顶点的分布规律．关于这4个顶点，下列说法正确的是____________．（写出所有正确结论的序号） ①它们中的任意三点都不在同一直线上；②它们可以在同一直线上； ③它们在双曲线的同一分支上；④它们可以在同一条抛物线上． 18．如图，在中，，．点D在边上，线段交于M，连接，． (1)若，求证：四边形是平行四边形． (2)若D为的中点，四边形是平行四边形，，试求出四边形的面积与的函数关系式． 19．综合与实践 问题情境：为全面推进乡村振兴，拓宽农民增收致富渠道，某村通过种植优质蔬菜品种，助推村民增收致富．小颖的父母准备响应号召种植蔬菜，小颖想利用所学知识为父母找到该蔬菜的最佳上市时间，实现收益最大化． 实践操作：小颖利用假期对往年该蔬菜的市场行情和生产情况进行了调查，希望能对今年该蔬菜的最佳上市时间进行一个预测．她统计了去年当地该蔬菜种植期间（3月-9月）每千克的售价、成本价与销售时间的关系数据如下，并发现它们的关系满足我们学过的函数关系． 销售时间（）（月份） 3 4 5 6 7 8 9 售价（）（元/） 5 3 1 成本价（元/） 4 1 4 问题解决：根据上述信息，帮助小颖解决下列问题： (1)去年该蔬菜的售价（元/kg）是销售时间x（月份）的_______函数，去年该蔬菜的成本价（元/kg）是销售时间（月份）的________函数（选填“一次”或“反比例”或“二次”）； (2)求与的函数表达式； (3)去年哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益（收益=售价-成本价）最大？每千克的最大收益是多少元？ 20．已知二次函数． (1)求m的值． (2)当x为何值时，此二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出当x如何取值时，y随x的增大而减小？ (3)若将此二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，直接写出平移后新抛物线的顶点坐标．在新抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q与原抛物线的顶点P及原点O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21．考向预测综合与实践综合与实践 【活动背景】随着科技的不断进步，扫地机器人已经深入千家万户，成为现代家庭清洁的得力助手． 【活动调查】为了解A，B两款扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间，某实验小组成员分别随机调查了A，B两款扫地机器人各10台，记录下它们运行的最长时间（单位：分钟），并对数据进行整理、描述和分析[运行最长时间用x（分钟）表示，共分为四组：不合格，合格，良好，优秀]，下面给出了部分信息： 10台A款扫地机器人一次充满电后运行最长时间分别是：111，88，95，104，98，107，104，102，97，104． 10台B款扫地机器人一次充满电后运行最长时间属于良好的数据分别是：102，103，105，101，104，102． A，B两款扫地机器人运行最长时间统计表 平均数 中位数 众数 方差 A 101 103 a 39.4 B 101 b 102 43.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据调查数据，该实验小组成员认为A款扫地机器人的性能更好，请你说明理由． 【实验操作】 为进一步了解A款扫地机器人需要多久能充满电，以及充满电后扫地机器人的最大打扫区域面积，该实验小组成员设计了两组实验． 实验Ⅰ：探究充电状态下扫地机器人显示屏显示增加的电量y（）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1：表1 扫地机器人充电状态 时间t/分钟 0 20 100 120 … 增加的电量y/% 0 10 50 60 … 观察表1，发现y与t成一次函数关系，表达式为． 实验Ⅱ：探究充满电后扫地机器人打扫过程中显示屏显示剩余的电量e（）与已打扫区域面积s（平方米）的关系，数据记录如表2； 表2 扫地机器人打扫过程 已打扫区域面积s/平方米 0 160 320 340 … 剩余的电量 100 60 20 15 … 【建立模型】 (3)观察表2，猜想e关于s的函数关系为______（填序号），并写出e关于s的函数表达式：______． ①一次函数；②反比例函数；③二次函数 【解决问题】 (4)已知该款扫地机器人设计了智能断点续扫功能，电量低于时自动回充后再继续清洁．在某次清扫过程中，扫地机器人显示剩余电量是，还有300平方米的区域未打扫，在自动回充前能否完成打扫？若能，请说明理由；若不能，最少还需要充电多少分钟才能完成打扫？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $