专题01 三角形中角度计算十二大常见几何模型（举一反三专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以十二大几何模型为核心，系统提炼角度关系结论，通过“模型-结论-例题-变式”架构实现从直观到抽象的推理训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |8字/A字/老鹰抓小鸡/飞镖等12模型|每模型1例+3变式|提炼各模型角度关系结论（如8字模型∠A+∠B=∠C+∠D）|从基础图形（8字/A字）到复杂综合（角平分线夹角/燕尾形），构建“图形识别-结论应用-变式拓展”逻辑链|

专题01 三角形中角度计算十二大常见几何模型（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【模型1 8字模型】 1 【模型2 A字模型】 3 【模型3 老鹰抓小鸡模型】 4 【模型4 飞镖模型】 5 【模型5 余角模模型】 7 【模型6 补角模模型】 9 【模型7 一线三等角模模型】 10 【模型8 三角形双内角平分线夹角模模型】 12 【模型9 三角形双外角平分线夹角模模型】 13 【模型10 三角形一内一外角平分线夹角模模型】 14 【模型11 8字形双角平分线夹角模模型】 15 【模型12 燕尾形双角平分线夹角模模型】 17 模型1：8字模型 结论：①， ②． 【模型1 8字模型】 【例1】（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【变式1-1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【变式1-2】如图，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（    ）． A．42° B．69° C．44° D．32° 【变式1-3】（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    模型2：A字模型 结论：①， ②． 【模型2 A字模型】 【例2】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________． 【变式2-2】将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则______； (2)如图2，已知中，，剪去后成四边形，则______； (3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是______； (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 模型3：老鹰抓小鸡模型 结论：． 【模型3 老鹰抓小鸡模型】 【例3】如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 【变式3-1】（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，，，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，设与，边分别交于点E、点F，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．30或45 【变式3-2】如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠（3个顶点不重合），①若，则______；②图中的度数和是______． 【变式3-3】（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，试探索与的关系（不必证明） （2）如图2，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； （3）如图3，在锐角中，于点F，于点G，、交于点H，把折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并证明你的结论． 模型4：飞镖模型 结论：． 【模型4 飞镖模型】 【例4】（24-25八年级上·湖北孝感·阶段检测）（1）如图①，求证：； （2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，求椅面和椅背的夹角的度数； （3）如图③，，则的度数为 ． 【变式4-1】在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中，，，，，则∠D的度数为（    ）    A．35° B．45° C．30° D．24° 【变式4-2】如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数. 【变式4-3】如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由． (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图（2），把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则　　． ②如图（3），平分，平分，若，，求的度数． ③如图（4），，的10等分线相交于点、、，若，，请直接写出的度数是 　　． 模型5：余角模型 结论：①， ②． 结论：①， ②． 【模型5 余角模模型】 【例5】如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是______________． 【变式5-1】（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【变式5-2】（2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中于D，于E，则与的关系是________ 模型6：补角模型 条件：． 结论：． 【模型6 补角模模型】 【例6】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，，，若与互补，则的度数为________． 【变式6-1】如图，在四边形中，与互补，E为延长线上的点，且，则的度数是______． 【变式6-2】如图，与相交于，，与互补． (1)说明的理由； (2)若，，求的度数． 【变式6-3】如图，在四边形中，与互补，分别平分，与相交于点G． (1)与有怎样的数量关系？说明理由： (2)若，求的度数． 模型7：一线等三角模型 类型一 一线三垂直 类型二 同侧一线三等角 类型三 异侧一线三等角 条件：． 结论：①， ②． 【模型7 一线三等角模模型】 【例7】如图，P是内一点，，过点P作直线，交分别于E，F．若，则_________． 【变式7-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 【变式7-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：． 【变式7-3】如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE． （1）求证：∠EAB＝∠CED； （2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 （直接写出答案即可）； （3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°） 模型8：三角形双内角平分线夹角模型 条件：BP平分，CP平分． 结论：． 【模型8 三角形双内角平分线夹角模模型】 【例8】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）在中，和的内角平分线交于点O．设，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知点为三条内角平分线的交点，过作于，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，若ΔABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E，则图中与∠ICE一定相等的角(不包括它本身)有____________________个． 【变式8-3】我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，      (1)如图1，若与，求的度数． (2)如图2，若的三条内角平分线相交于点I，过I作分别交于点D、E．试写出与之间有何数量关系，并说明理由． (3)定义：有两个角分别相等的两个三角形叫“孪生三角形”， ①图2中“孪生三角形”共 对； ②图2中当与满足怎样的数量关系时，与也成为“孪生三角形”（直接写出结论）． 模型9：三角形双外角平分线夹角模型 条件：BP平分，CP平分． 结论：． 【模型9 三角形双外角平分线夹角模模型】 【例9】中，，若、分别是，的外角平分线，则________度． 【变式9-1】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）在中，和的外角平分线交于点O．设，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，，分别是和的角平分线，交点是，，分别是和的角平分线，交点是，，在上，，在上，若，那么______．    【变式9-3】如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线交于点 A2，…∠An-1BC 的平行线与∠An-1CD 的平分线交于点 An，设∠A=θ，则∠An=_____． 模型10：三角形一内一外角平分线夹角模型 条件：BP平分，CP平分． 结论：． 【模型10 三角形一内一外角平分线夹角模模型】 【例10】如图，在中，是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点． (1)若，，则的度数是__________，的度数是__________． (2)当，时，求的度数． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，两条相交的直线，分别是直线上的两个动点，作的平分线，直线交的平分线于点，则________． 【变式10-2】如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 模型11：8字形双角平分线夹角模型 条件：AP平分，CP平分． 结论：． 【模型11 8字形双角平分线夹角模模型】 【例11】如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)由图1可知：______； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字型”有______个，以点为交点的“8字型”有______个； ②若，，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由． (3)如图3，在四边形中，，，若点E是延长线上的一点，交于点F，分别作、的角平分线，两条角平分线交于点G，直线交于点M，若，则______． 【变式11-1】如图，和相交于点O，分别平分和，若，则____． 【变式11-2】阅读材料： 如图1所示，线段与相交于点，称与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．       （图1）                 （图2）                （图3） （1）如图2所示，线段与相交于点，与的平分线和相交于点，交于点，交于点，已知，，则的度数是__________． （2）如图3所示，__________． 【变式11-3】平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°． （1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小． （2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC． 模型12：①燕尾形双角平分线夹角模型1 条件：BP平分，CP平分． 结论：． ②燕尾形双角平分线夹角模型2 条件：AP平分，DP平分． 结论：． 【模型12 燕尾形双角平分线夹角模模型】 【例12】如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，在中，，、分别平分和，，分别平分和，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，点B、C在∠MAN的两条边上运动，∠ABC和∠ACB的平分线的交于点O． (1)如图1，若∠MAN=68°，点B、C在运动过程中，∠BOC的大小会改变吗？如果不会，请求出∠BOC的度数；如果会，请说明理由． (2)如图2，若∠MAN=n，CH是∠BCN的平分线，CH的反向延长线交BO的延长线于点G，求∠G的度数（用含n的式子表示）． 【变式12-3】在图a中，应用三角形外角的性质不难得到下列结论：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．我们可以应用这个结论解决同类图形的角度问题． (1)在图a中，若∠1=20°，∠2=30°，∠BEC=100°，则∠BDC=　　　　； (2)在图a中，若BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，BE与CE交于E点，请写出∠BDC，∠BEC和∠BAC之间的关系；并说明理由． (3)如图b，若，试探索∠BDC，∠BEC和∠BAC之间的关系．（直接写出） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形中角度计算十二大常见几何模型（举一反三专项训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【模型1 8字模型】 1 【模型2 A字模型】 7 【模型3 老鹰抓小鸡模型】 12 【模型4 飞镖模型】 16 【模型5 余角模模型】 22 【模型6 补角模模型】 25 【模型7 一线三等角模模型】 29 【模型8 三角形双内角平分线夹角模模型】 33 【模型9 三角形双外角平分线夹角模模型】 38 【模型10 三角形一内一外角平分线夹角模模型】 41 【模型11 8字形双角平分线夹角模模型】 47 【模型12 燕尾形双角平分线夹角模模型】 54 模型1：8字模型 结论：①， ②． 【模型1 8字模型】 【例1】（24-25八年级下·山东济宁·阶段检测）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 【变式1-1】如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 【变式1-2】如图，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（    ）． A．42° B．69° C．44° D．32° 【答案】A 【分析】根据翻折的性质，及矩形的性质，求出，再利用“8”字模型求解即可． 【详解】由图形翻折的性质可知，， ，， ，利用“8”字模型， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形翻折问题，能够根据图形翻折的性质推理出是解决问题的关键，熟练运用“8”字模型是求最终结果的关键． 【变式1-3】（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【答案】（1）见解析； （2）； （3）； （4） 【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证； （2）设，，解方程即可得到答案； （3）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解； （4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解． 【详解】解：（1）如图.    ，， ． ， ； （2）如图.    ，分别平分，，设，， 则有， ， （3）如图.    直线平分，平分的外角， ，， ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 即 ． （4）连接    直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵180°， ∴， 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 模型2：A字模型 结论：①， ②． 【模型2 A字模型】 【例2】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【详解】 解：， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键． 【变式2-1】如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________． 【答案】 【分析】根据平角的定义求出，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：如图 ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 【变式2-2】将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角的定义和性质。 根据三角形外角的性质可得，根据平行线的性质可得． 【详解】解：如图， 由题意知，， ，， ， ， ． 故选：A． 【变式2-3】探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则______； (2)如图2，已知中，，剪去后成四边形，则______； (3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想与的关系是______； (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解； （2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； （3）根据（1）、（2）中思路即可求解； （4）根据折叠对应角相等，得到，，进而求出，，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： 在中，由外角性质可知： ， ， ∴， ∵为直角三角形，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图所示： 在中，由外角性质可知： ，， ∵， ∴ ． （3）解：由（1）、（2）中思路，由三角形外角性质可知： ，， ∴ ， ∴与的关系是：， 故答案为：． （4）解：与的关系为：，理由如下： 如图， ∵是由折叠得到的， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴与的关系． 【点睛】主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和、三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 模型3：老鹰抓小鸡模型 结论：． 【模型3 老鹰抓小鸡模型】 【例3】如图，在中，，分别是边，上一点，将沿折叠，使点的对称点落在边上，若，则______． 【答案】/度 【分析】根据折叠的性质利用三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解：， 中，， 又，， ， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，，，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，设与，边分别交于点E、点F，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．30或45 【答案】D 【分析】先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①，②，③，然后分别利用角的关系得出答案即可． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的定义，折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 连接， 设，由对称性可知，， ∴， ∵， ∴， 分类如下： ①如图1，当时，， 由，得， 解得：． 此时． ②如图2，当时， 则， 故， 由得：， 解得， 此时． ③时， 则， 故， 由得 此方程无解． ∴不成立． 综上所述，°或． 故选：D． 【变式3-2】如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠（3个顶点不重合），①若，则______；②图中的度数和是______． 【答案】 /55度 /360度 【分析】①由折叠的性质即可求解；②利用三角形内角和定理和平角的定义可得，，再根据折叠的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】，， ， ， 同理， 由折叠的性质得， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，能够利用三角形内角和定理和平角进行转化是解题的关键． 【变式3-3】（1）如图1，把沿折叠，使点A落在点处，试探索与的关系（不必证明） （2）如图2，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； （3）如图3，在锐角中，于点F，于点G，、交于点H，把折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）117.5°；（3）∠BHC=180°-（∠1+∠2），证明见解析 【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可； （2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°-∠A，得出∠BIC的度数即可； （3）根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，进而求出∠A=（∠1+∠2），即可得出答案． 【详解】解：（1）根据翻折的性质，∠ADE=（180°-∠1），∠AED=（180°-∠2）， ∵∠A+∠ADE+∠AED=180°， ∴∠A+（180-∠1）+（180-∠2）=180°， 整理得2∠A=∠1+∠2； （2）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=110°， ∴∠A=55°， ∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB） =（180°-∠A）=90°-∠A， ∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）， =180°-（90°-∠A）=90°+×55°=117.5°； （3）∵BF⊥AC，CG⊥AB， ∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°， ∠FHG+∠A=180°， ∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，由（1）知∠1+∠2=2∠A， ∴∠A=（∠1+∠2）， ∴∠BHC=180°-（∠1+∠2）． 【点睛】此题主要考查了图形的翻着变换的性质以及角平分线的性质和三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质得出对应关系是解决问题的关键． 模型4：飞镖模型 结论：． 【模型4 飞镖模型】 【例4】（24-25八年级上·湖北孝感·阶段检测）（1）如图①，求证：； （2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，求椅面和椅背的夹角的度数； （3）如图③，，则的度数为 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）连接，利用三角形的外角性质得出 ， ，即可求解； （2）利用上述的结论即可求解； （3）连接，由上述结论可知 ， ，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，并延长，如图所示， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ，得， 即； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴由上可知：， （3）解：连接，如图所示， 由上可知， ， ，得， ∴， 即， 故答案为：． 【变式4-1】在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中，，，，，则∠D的度数为（    ）    A．35° B．45° C．30° D．24° 【答案】C 【分析】如图，延长交延长线于点，交于点M，可证，再根据，求出、度数，根据四边形内角和计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，交于点M，    ，， ， ，， ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质等知识，解题关键是学会添加辅助线． 【变式4-2】如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数. 【答案】. 【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出 【详解】解：由燕尾角的基本图形与结论可得， ① ② 是的平分线，是的平分线 ，． ①-②得，． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用． 【变式4-3】如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由． (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图（2），把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则　　． ②如图（3），平分，平分，若，，求的度数． ③如图（4），，的10等分线相交于点、、，若，，请直接写出的度数是 　　． 【答案】(1)，见解析 (2)①50；②80°；③ 【分析】（1）根据题意观察图形连接并延长至点，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到，，相加即可得结论； （2）①由（1）的结论可得，然后把，代入上式即可得到的值． ②结合图形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的结论可知，易得答案． ③由（2）的方法，进而可得答案． 【详解】（1）解： ，理由如下： 过点、作直线， 由外角定理可得，， 且，； ； （2）解：①由（1）的结论得：， 又因为，， 所以． ②由（1）的结论得：， ，， ， 而， 平分，平分， ，， ； ③由（1）的结论得：， 设为， ，， ， ， ， ， ， 为． 【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出是解答的关键，注意：三角形的内角和等于，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 模型5：余角模型 结论：①， ②． 结论：①， ②． 【模型5 余角模模型】 【例5】如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是______________． 【答案】直角三角形 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A进而可得出结论. 【详解】解: 在Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°, ∴∠A+∠C=90°, ∵∠DEC＝∠A, ∴∠DEC+∠C=90°, ∴∠EDC=90°, ∴△EDC 是直角三角形, 故答案为 直角三角形. 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握. 【变式5-1】（25-26七年级下·北京·期末）如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【答案】35 【分析】利用直角三角形两锐角互余，先推导与的关系，再推导与的关系，等量代换即可得到． 【详解】解：是直角三角形，， ， 是斜边上的高， ，即， ， 根据同角的余角相等，可得：， ， ． 【变式5-2】（2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____． 【答案】75度/ 【详解】解：由题意得，， ∴， ． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，中于D，于E，则与的关系是________ 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．根据直角三角形的两个锐角互余可得，，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 模型6：补角模型 条件：． 结论：． 【模型6 补角模模型】 【例6】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，，，若与互补，则的度数为________． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，连接，可得，再根据三角形外角性质得，则，然后根据三角形内角和定理有，即，再解方程即可． 【详解】解：连接，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-1】如图，在四边形中，与互补，E为延长线上的点，且，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质和同角的补角相等．熟练掌握三角形外角的性质和同角的补角相等是解题的关键． 根据三角形外角的性质得到的度数，再根据同角的补角相等得到，即可得到结论． 【详解】解：，， ， ． ，， ． 故答案为． 【变式6-2】如图，与相交于，，与互补． (1)说明的理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由得出，故可得出，故可得出，据此可得出，进而得出结论； （2）先根据平行线的性质得出，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ， ∴， ， ， ∴； （2）解：∵，，， ， ． 【点睛】本题主要考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 【变式6-3】如图，在四边形中，与互补，分别平分，与相交于点G． (1)与有怎样的数量关系？说明理由： (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义，角平分线定义，平行线性质，弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键． （1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出； （2）根据可得的度数，根据可得的度数，根据平行线的性质可得的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可． 【详解】（1）解：．理由： ∵四边形的内角和为360°，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 模型7：一线等三角模型 类型一 一线三垂直 类型二 同侧一线三等角 类型三 异侧一线三等角 条件：． 结论：①， ②． 【模型7 一线三等角模模型】 【例7】如图，P是内一点，，过点P作直线，交分别于E，F．若，则_________． 【答案】56 【分析】如图，连接，由题意知，，则，由，可知，则，根据，即，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：56． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 【变式7-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等边三角形中求角度，涉及“一线三等角”模型，先利用等边三角形的性质可得，从而利用三角形外角性质得到，再由已知条件即可得证．熟记等边三角形性质、三角形外角性质是解决问题的关键． 【详解】证明：是等边三角形， ， 是的一个外角， ， ，， ． 【变式7-2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形两锐角互余：根据，可得，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等即可求证． 【详解】证明：， ， ， ， ， ． 【变式7-3】如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE． （1）求证：∠EAB＝∠CED； （2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 （直接写出答案即可）； （3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°） 【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）见解析 【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明； （2）过点F作FM∥AB，利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=∠CDE+∠EAB=（∠CDE+∠EAB）即可解决问题； （3）想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题. 【详解】解：（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠CED＝90°， ∴∠BAE＝∠CED． （2）解：答案为45°； 过点F作FM∥AB，如图， ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴AB∥CD， ∵∠C＝90°， ∴∠CED+∠CDE＝90°， ∵∠BAE＝∠CED， ∴∠BAE+∠CDE＝90°， ∵AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE， ∴∠CDF＝∠CDE，∠BAF＝∠BAE， ∴∠CDF+∠BAF＝（∠BAE+∠CDE）＝45°， ∵FM∥AB∥CD， ∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM， ∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°． （3）∵EH平分∠CED， ∴∠CEH＝∠CED， ∴∠BEG＝∠CED， ∵AF平分∠BAE， ∴∠BAG＝∠BAE， ∵∠BAE＝∠CED， ∴∠BAG＝∠BEG， ∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°， 即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴EG⊥AF． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． 模型8：三角形双内角平分线夹角模型 条件：BP平分，CP平分． 结论：． 【模型8 三角形双内角平分线夹角模模型】 【例8】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）在中，和的内角平分线交于点O．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的性质．先根据得出的度数，再根据、分别为及的平分线得出，，即，再由三角形内角和为即可得出的度数． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵、分别为及的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【变式8-1】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知点为三条内角平分线的交点，过作于，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线定义，先根据三角形的外角性质得，再根据，可得，然后把用表示，再整理得出答案． 【详解】∵是三条角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故选：A． 【变式8-2】如图，若ΔABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E，则图中与∠ICE一定相等的角(不包括它本身)有____________________个． 【答案】2 【分析】根据角平分线的定义求得∠1=∠2．然后利用三角形内角和定理得到∠2=∠5，进而证得∠5=∠1． 【详解】①根据角平分线的性质易求∠1=∠2； ②∵△ABC的三条内角平分线相交于点I， ∴∠BIC=180°-(∠3+∠2) =180°-(∠ABC+∠ACB) =180°-(180°-∠BAC) =90°+∠BAC； ∵AI平分∠BAC， ∴∠DAI=∠DAE． ∵DE⊥AI于I， ∴∠AID=90°． ∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC． ∴∠BIC=∠BDI． ∴180°-(∠4+∠5)=180°-(∠2+∠3)． 又∵∠3=∠4， ∴∠2=∠5， ∴∠5=∠1， 综上所述，图中与∠ICE一定相等的角(不包括它本身)有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质以及垂线的性质． 【变式8-3】我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，      (1)如图1，若与，求的度数． (2)如图2，若的三条内角平分线相交于点I，过I作分别交于点D、E．试写出与之间有何数量关系，并说明理由． (3)定义：有两个角分别相等的两个三角形叫“孪生三角形”， ①图2中“孪生三角形”共 对； ②图2中当与满足怎样的数量关系时，与也成为“孪生三角形”（直接写出结论）． 【答案】(1)； (2)，见解析 (3)①4；② 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，，再利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据角平分线定义、用三角形内角和定理得到，接着根据三角形外角性质得，于是有； （3）①根据（2）的结论即可得解；②当时，与也成为“孪生三角形”，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵的三条内角平分线相交于点I， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 而平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：①由（2）知，，， ∴和是“孪生三角形”； 同理，，， ∴和是“孪生三角形”； ∴和是“孪生三角形”； ∵，， ∴和是“孪生三角形”； 故答案为：4； ②当时，与也成为“孪生三角形”， 由（2）知，，， ∵， ∴， 整理得． ∴当时，与也成为“孪生三角形”． 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：三角形内角和是．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 模型9：三角形双外角平分线夹角模型 条件：BP平分，CP平分． 结论：． 【模型9 三角形双外角平分线夹角模模型】 【例9】中，，若、分别是，的外角平分线，则________度． 【答案】40 【分析】根据三角形内角和定理得出，求，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵、分别平分和， ∴ ， ∴． 故答案为：40．    【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． 【变式9-1】（24-25八年级上·河南驻马店·期中）在中，和的外角平分线交于点O．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角形内角和定理，可得，再根据三角形外角的定义和角平分线的定义，得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ， 和的外角平分线交于点O， ，， ， ， 故选：C． 【变式9-2】如图，，分别是和的角平分线，交点是，，分别是和的角平分线，交点是，，在上，，在上，若，那么______．    【答案】/69度 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理用表示和, 得到和的关系,得到答案. 【详解】解：∵分别是和的平分线， , 同理， 故答案为:. 【点睛】本题主要考查的是角平分线的定义和三角形内角和定理， 掌握三角形内角和等于是解题的关键. 【变式9-3】如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线交于点 A2，…∠An-1BC 的平行线与∠An-1CD 的平分线交于点 An，设∠A=θ，则∠An=_____． 【答案】． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，然后整理得到∠A1=∠A，同理可得∠A2=∠A1，从而判断出后一个角是前一个角的，然后表示出，∠An即可． 【详解】由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC， ∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， ∴∠A1+∠A1BC=（∠A+∠ABC）=∠A+∠A1BC， ∴∠A1=∠A， 同理可得∠A2=∠A1=，…，∠An=． 故答案为． 模型10：三角形一内一外角平分线夹角模型 条件：BP平分，CP平分． 结论：． 【模型10 三角形一内一外角平分线夹角模模型】 【例10】如图，在中，是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点． (1)若，，则的度数是__________，的度数是__________． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据外角的性质可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，即可得的度数； （2）根据根据角平分线的定义和外角的性质，得的度数，最后根据外角的性质可得的度数． 【详解】（1）解：， ， 的平分线与的平分线相交于点E， ，， ； （2）平分，平分， ，， . ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了外角的性质和角平分线的定义，解题的关键是三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和． 【变式10-1】（24-25七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，两条相交的直线，分别是直线上的两个动点，作的平分线，直线交的平分线于点，则________． 【答案】或或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意，分类讨论，结合图形分析是关键． 根据角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴设， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 如图所示， ∵， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，， ∴在中，， ∵是角平分线 ∴， 在中，； 如图所示， ∵是的外角， ∴， ∵是角平分线 ∴ 在中，； 综上所述，的度数为或或或， 故答案为：或或或 ． 【变式10-2】如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，多边形的内角与外角，熟练掌握四边形内角和是解题的关键．根据题意求出，再根据角平分线的性质求出的度数，故根据的内角和求出的度数． 【详解】解： ， ， ， 的角平分线与的外角平分线相交于点P， ， ． 故选B． 【变式10-3】（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得即可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故②正确． ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴．故④正确． 综上正确的有：①②④． 故选D． 模型11：8字形双角平分线夹角模型 条件：AP平分，CP平分． 结论：． 【模型11 8字形双角平分线夹角模模型】 【例11】如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)由图1可知：______； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字型”有______个，以点为交点的“8字型”有______个； ②若，，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由． (3)如图3，在四边形中，，，若点E是延长线上的一点，交于点F，分别作、的角平分线，两条角平分线交于点G，直线交于点M，若，则______． 【答案】(1) (2)①3，4；②；③，理由见解析 (3)125 【分析】（1）根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）①根据“8字型”的定义即可得； ②根据“8字型”的定义可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，由此即可得； ③先求出，，，从而可得，再根据计算即可得； （3）根据平行线的性质求出，设，则，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，最后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：． （2）解：①线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 故答案为：3，4； ②以为交点“8字型”中，有， 以为交点“8字型”中，有， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴； ③，理由如下： 由（1）可知，， ∵，， ∴，，， ∴， 由（2）②可知，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：，， ，， ， ， ， 设， ， 是的角平分线，是的角平分线， ，， 又， ， ， 故答案为：125． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 【变式11-1】如图，和相交于点O，分别平分和，若，则____． 【答案】70 【分析】根据三角形内角和定理可得，设，则，再由分别平分和，可得，，再根据三角形内角和定理可得，从而得到，然后根据得到关于x的方程，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵分别平分和， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， 即． 故答案为：70 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，利用参数思想构建方程是解题的关键． 【变式11-2】阅读材料： 如图1所示，线段与相交于点，称与为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．       （图1）                 （图2）                （图3） （1）如图2所示，线段与相交于点，与的平分线和相交于点，交于点，交于点，已知，，则的度数是__________． （2）如图3所示，__________． 【答案】 /97度 /360度 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，根据“对顶三角形”的性质，得出，，则得到，即可求解； （2）连接，如图，可知：，根据等量代换和四边形内角和即可求解． 【详解】解：（1）和的平分线和相交于点， ，， ，， 得：， 即， ，， ． 故答案为：； （2）连接，如图，    可知：， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查多边形内角和，解题的关键是根据题中给出的思路，用等量代换将要求的角转化在同一个多边形内，根据多边形的内角和求解即可． 【变式11-3】平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°． （1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小． （2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC． 【答案】（1）33°；（2）123° 【分析】（1）AM与BC交于E，AD与MC交于F，利用角平分线性质和三角形外角性质可得，是和的外角，是和的外角，列出关于的方程组，计算得出的度数． （2）AN与BC交于点G，AD与BC交于点F，根据角平分线性质和三角形外角性质可得，是和的外角，是和的外角，列出关于的方程组，计算得出的度数． 【详解】解：（1）AM与BC相交于E，AD与MC相较于F，如图： ∵MA和MC是∠BAD和∠BCD的角平分线， ∴设∠BAM=∠MAD=a，∠BCM=∠MCD=b， ∵∠BEM是△ABE和△MCE的外角， ∴∠M+∠BCM=∠B+∠BAM， 即：∠M+b=24°+a①， 又∵∠MFD是△MAF和△CDF的外角， 可得∠M+a=42°+b②， ①式＋②式得2∠M=24°+42°， 解得：∠M=33°， ∴． （2）AN与BC相交于G，AD与BC相较于F，如图: ∵NA和NC是∠EAD和∠BCD的角平分线， ∴设∠EAN=∠NAD=m，∠BCN=∠NCD=n， ∵∠BFD是△ABF和△FCD的外角， ∴∠B+∠BAD=∠D+∠BCD， 即：24°+(180°-2m）=42°+2n， 可得m+n=81°①， 又∵∠AGC是△NGC和△ABG的外角， 可得∠N+n=24°+(180°-m）， 得∠N=204°-（m+n）②， ①式代入②式，得∠N=204°-81°=123°， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角性质，用设未知数列方程组的方法计算角度是解题关键． 模型12：①燕尾形双角平分线夹角模型1 条件：BP平分，CP平分． 结论：． ②燕尾形双角平分线夹角模型2 条件：AP平分，DP平分． 结论：． 【模型12 燕尾形双角平分线夹角模模型】 【例12】如图，四边形中，，与，相邻的两外角的平分线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用四边形的内角和等于，可求的度数，再利用角平分线的性质及三角形的外角性质可求的度数． 【详解】解：如图，连接并延长， ，， ， 、相邻的两外角平分线交于点， ， ，， 即 ． 故选：． 【点睛】本题运用四边形的内角和、角平分线的性质及三角形的外角性质，解题关键是准确计算． 【变式12-1】如图，在中，，、分别平分和，，分别平分和，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理， 以及角的平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键. 根据三角形内角平分线的交角的基本图形和解题方法即可得到答案. 【详解】解： ， 又∵、分别平分和 ， ， ， ∵分别平分和， ， ， ， 故选B 【变式12-2】如图，点B、C在∠MAN的两条边上运动，∠ABC和∠ACB的平分线的交于点O． (1)如图1，若∠MAN=68°，点B、C在运动过程中，∠BOC的大小会改变吗？如果不会，请求出∠BOC的度数；如果会，请说明理由． (2)如图2，若∠MAN=n，CH是∠BCN的平分线，CH的反向延长线交BO的延长线于点G，求∠G的度数（用含n的式子表示）． 【答案】(1)∠BOC的大小不变，124° (2)∠G=n． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠ABC＋∠ACB=112°，由角平分线得出∠OBC＋∠OCB=56°，结合三角形内角和定理即可求解； （2）由角平分线得出∠CBG=∠ABC，∠BCH=∠BCN，利用三角形外角的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∠BOC的大小不变． ∵在△ABC中，∠BAC=68°， ∴∠ABC＋∠ACB=180°－68°=112°， ∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠OBC=，∠OCB= ∴∠OBC＋∠OCB=， ∴∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）=180°－56°=124°． （2）∵OB、CH分别平分∠ABC和∠BCN， ∴∠CBG=∠ABC，∠BCH=∠BCN， ∵∠BCN是△ABC的外角， 所以∠MAN=∠BCN－∠CBA， ∵∠HCB是△CBG的外角， ∴∠G=∠HCB－∠CBG=∠BCN－∠ABC=（∠BCN－∠CBA）=∠MAN=n． 【点睛】题目主要考查角平分线的计算，三角形内角和定理及三角形外角的性质，理解题意，熟练掌握角平分线的计算是解题关键． 【变式12-3】在图a中，应用三角形外角的性质不难得到下列结论：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．我们可以应用这个结论解决同类图形的角度问题． (1)在图a中，若∠1=20°，∠2=30°，∠BEC=100°，则∠BDC=　　　　； (2)在图a中，若BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，BE与CE交于E点，请写出∠BDC，∠BEC和∠BAC之间的关系；并说明理由． (3)如图b，若，试探索∠BDC，∠BEC和∠BAC之间的关系．（直接写出） 【答案】(1)150° (2)∠BDC+∠BAC=2∠BEC (3)2∠BDC+∠BAC=3∠BEC 【分析】（1）根据题目给出的条件可得：； （2）根据题意得出∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，再根据BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，得出∠ABE=∠1，∠ACE=∠2，然后进行化简即可得出结论； （3）先根据题意得出∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，再根据，，得出∠BEC=∠BAC+2∠1+2∠2，整理化简即可得出结论． 【详解】（1）解：∵∠1=20°，∠2=30°，∠BEC=100°， ∴． 故答案为：150°． （2）由题意可知，∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，① ∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，② ∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD， ∴∠ABE=∠1，∠ACE=∠2， ①-②得∠BDC-∠BEC=∠BEC-∠BAC， 即∠BDC+∠BAC=2∠BEC． （3）由题意可知，∠BDC=∠BEC+∠1+∠2，③ ∠BEC=∠BAC+∠ABE+∠ACE，④ ∵∠1=∠ABD，∠2=∠ACD， ∴∠ABE=2∠1，∠ACE=2∠2． 由④得∠BEC=∠BAC+2∠1+2∠2，⑤ ③×2-⑤得2∠BDC-∠BEC=2∠BEC-∠BAC， 即2∠BDC+∠BAC=3∠BEC． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，理解题意，充分利用数形结合的思想，是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $