精品解析：甘肃甘谷县模范初级中学2025-2026学年度第二学期八年级期末检测考试数学试题

2025—2026学年度第二学期期末检测考试试题八年级数学 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确选项） 1. 下列各式：，其中分式共有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2. 如图所示的伸缩门，其原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 四边形的不稳定性 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. －1 D. 1 4. 将直线向下平移2个单位后，所得直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 7. 用两个图钉将一根橡皮筋的两个端点，固定在墙面，拉动橡皮筋构成，，分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（ ） A. 增长 B. 缩短 C. 不变 D. 增长或缩短 8. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的函数图象，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若分式的值为0，则x的值为_______． 12. 如图，矩形中，，E是的中点，，则长为_______． 13. 一组数据5，8，8，10的中位数为_______． 14. 若，则的值为_______． 15. 如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则长的最小值为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点，点，反比例函数的图象经过点B，则正方形的边为_______． 三、解答题：（本大题共6小题，共46分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：； 18. 先化简，再求值：，其中x满足． 19. 解方程： 20. 如图，在中，于点E． （1）尺规作图：作于点F（保留作图痕迹，不证明）； （2）求证：四边形是矩形． 21. 2026年我国航天事业持续突破，神舟系列载人飞行、探月工程等任务广受关注．某中学为了考查学生对我国近年重大航天工程的了解情况，开展了航天知识竞答活动（每小题5分，满分100分）．学校随机抽取了七、八年级各20名同学，并将他们的成绩进行了整理和分析．数据分成了四组（成绩用x表示，x取整数）：A组（），B组（），C组（），D组（）．获取如下信息： 信息一：七年级20名学生的成绩：65，70，75，75，75，80，80，80，85，85，85，85，90，90，90，95，95，100，100，100 信息二：八年级20名学生成绩在C组中的数据是：85，85，90，90，90，90． 信息三：八年级抽取的学生成绩的扇形统计图如下图所示． 信息四：七、八年级抽取的学生成绩统计量如下表所示． 年级 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 97.5 八年级 87 90 95 79 根据以上信息，解答下列各题． （1）在扇形统计图中，______；表格中，______，______． （2）根据以上信息，哪个年级竞答成绩更稳定、更好？请说明理由． （3）该校对成绩为D组的学生进行奖励，若该校七年级有800名学生，八年级有750名学生，请你估计该校七、八年级的学生中获奖的学生人数． 22. 如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． （1）求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； （2）求四边形 的面积． 四、解答题：（本大题共5小题，共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，求的值． （2）若该方程的解为非负数，求的取值范围． 24. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F． （1）求证：△AFE≌△CDF； （2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积． 25. 近年来，文旅业爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示．设购进甲系列汉服x套，该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式． （2）该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ 26. 模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 27. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末检测考试试题八年级数学 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确选项） 1. 下列各式：，其中分式共有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式的定义，看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：分式有：，，共2个． 故选D． 2. 如图所示的伸缩门，其原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 四边形的不稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】观察伸缩门的结构，发现其由许多四边形组成，利用四边形的不稳定性使其能够自由伸缩； 【详解】解：∵伸缩门是由许多四边形组成的结构， ∴利用的是四边形的不稳定性，使其能够自由伸缩． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. －1 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】解：， ． 4. 将直线向下平移2个单位后，所得直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象上下平移“上加下减”的规则即可求解． 【详解】解：∵一次函数上下平移不改变一次项系数，向下平移遵循常数项“下减”的规律， ∴将直线向下平移2个单位后，所得解析式为：． 5. 如图，在中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　） A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是 C. 上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 D. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于读懂图象，灵活运用所学知识解决问题． 根据水温升高的速度，即可求出水温从加热到所需的时间；设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；先求出当水温下降到20摄氏度所需时间为，即一个循环为，，将代入反比例函数解析式中求出此时水温即可判断；分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 上午10点到共30分钟，， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故C选项说法正确，不合题意； D、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 7. 用两个图钉将一根橡皮筋的两个端点，固定在墙面，拉动橡皮筋构成，，分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（ ） A. 增长 B. 缩短 C. 不变 D. 增长或缩短 【答案】C 【解析】 【分析】根据中点定义可知为的中位线，由定理可知．由于固定，长度不变，故长度不变． 【详解】解：点、点分别为，的中点， 是的中位线， ， ，为固定点， 的长度不变， 拉动点至的过程中，的长度不变． 8. 体育老师统计了八（1）班和八（2）班学生的跳绳次数，并绘制成如下的箱线图．下列说法正确的是（ ） A. 八（1）班跳绳次数更集中 B. 跳绳次数最小值出现在八（2）班 C. 两个班级跳绳次数的中位数相等 D. 八（2）班跳绳次数整体比八（1）班好 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了箱线图的概念，需理解箱线图的构成及表示含义，再逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中， 在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为， ∵， ∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误； B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值， 对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152， ∵， ∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误； C项：箱线图中，中间的线代表中位数， 对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172， ∵， ∴两个班的中位数不相等，故C错误； D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高， 对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数， ∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确． 9. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为13，点B的坐标是，点D的坐标是，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理．熟练掌握菱形的性质，是解题的关键．连接，可得：与垂直平分，轴，得到轴，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：与垂直平分， ∵点，， ∴轴，， ∴轴，， ∴， ∵菱形的边长为13，即， ∴， ∴，即， 故选：D． 10. 如图1，为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积（单位：）随时间（单位：s）变化的函数图象，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、动点问题的函数图象、勾股定理，由矩形的性质结合函数图象可得，从而可得，由三角形面积公式求出，再计算出，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解： 在矩形中，， 当点在边上运动时，的值不变， ， 为矩形中边的中点， ， ， ∴． 当点在上运动时，的值逐渐减小， ． 在中，， ， 解得． 故选：C． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若分式的值为0，则x的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0的条件，分式值为0需要满足分子为0且分母不为0，据此列出关系式求解即可． 【详解】解：分式的值为0， ∴，， 解得：． 12. 如图，矩形中，，E是的中点，，则长为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 13. 一组数据5，8，8，10的中位数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将数据从小到大重新排列为，，，， 这组数据的个数为偶数，因此中位数为中间两个数的平均数，计算得． 14. 若，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给出的二次根式乘法法则，将被开方数分解为完全平方数与非负因数的乘积，再进行化简即可得到结果． 【详解】解：． 15. 如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点，过点作于点，由勾股定理求得的长，再根据等面积法求得的长，根据垂线段最短，可知当点与点重合时，最小，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，设相交于点，过点作于点， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理， ， ， ∵, ∴当点与点重合时，最小，此时， 的最小值为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点，点，反比例函数的图象经过点B，则正方形的边为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先由、坐标得出、，在中利用勾股定理求出，再根据正方形性质及勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点，点， ∴，， 在中，， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴，解得． 三、解答题：（本大题共6小题，共46分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：； 【答案】9 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则混合运算法则． 先根据分式的四则混合运算法则化简，再将变形，然后整体代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 20. 如图，在中，于点E． （1）尺规作图：作于点F（保留作图痕迹，不证明）； （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂线的作法作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，进而得到，即可证明四边形是矩形； 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 证明：由作图可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 21. 2026年我国航天事业持续突破，神舟系列载人飞行、探月工程等任务广受关注．某中学为了考查学生对我国近年重大航天工程的了解情况，开展了航天知识竞答活动（每小题5分，满分100分）．学校随机抽取了七、八年级各20名同学，并将他们的成绩进行了整理和分析．数据分成了四组（成绩用x表示，x取整数）：A组（），B组（），C组（），D组（）．获取如下信息： 信息一：七年级20名学生的成绩：65，70，75，75，75，80，80，80，85，85，85，85，90，90，90，95，95，100，100，100 信息二：八年级20名学生成绩在C组中的数据是：85，85，90，90，90，90． 信息三：八年级抽取的学生成绩的扇形统计图如下图所示． 信息四：七、八年级抽取的学生成绩统计量如下表所示． 年级 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 97.5 八年级 87 90 95 79 根据以上信息，解答下列各题． （1）在扇形统计图中，______；表格中，______，______． （2）根据以上信息，哪个年级竞答成绩更稳定、更好？请说明理由． （3）该校对成绩为D组的学生进行奖励，若该校七年级有800名学生，八年级有750名学生，请你估计该校七、八年级的学生中获奖的学生人数． 【答案】（1）144；85；85 （2）八年级知识竞答成绩更稳定、更好，理由如下： 八年级的竞答成绩方差小，平均数、中位数和众数都比七年级的高； （3）估计该校七、八年级的学生中获奖的学生人数为500人 【解析】 【分析】（1）求出D组占比，进而可知的值，根据中位数、众数的定义可知、的值； （2）根据表格判断即可； （3）用七、八年级的学生人数乘以各自获奖的学生的比例，相加即可． 【小问1详解】 解：八年级共20人，C组有6人，C组占比为， 因此D组占比， ∴圆心角； 七年级20个成绩从小到大排列，中位数为第10、11个成绩的平均数，第10、11个成绩均为85， 因此中位数； 七年级成绩中85出现次数最多，因此众数； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：（人）． 22. 如图，一次函数 的图象与反比例函数（ ）的图象交于点，与轴交于点 ．在反比例函数图象上有一点，过点 作 轴于点 ，连接 ， ． （1）求一次函数 与反比例函数（ ）的表达式； （2）求四边形 的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点，点，过点 作 轴于点 ，则 ，根据，利用三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数的表达式为； ∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴点， ∵ 轴于点 ， ∴ ， ． ∵一次函数与轴交于点 ， 令，解得， ∴点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 过点 作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∴ ． 四、解答题：（本大题共5小题，共50分，解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 已知关于的分式方程． （1）若该方程有增根，求的值． （2）若该方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】（1）3 （2）且 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，一元一次不等式，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘以，得 ， 即， ∵该方程有增根， ∴， 解得， 将代入，得， 解得， 答：的值为3． 【小问2详解】 ∵该方程的解为非负数，， ∴，， 即，且， ∴， 解得， ∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴且． 24. 如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F． （1）求证：△AFE≌△CDF； （2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D，在△AEF与△CDF中，∵∠E=∠D，∠AFE=∠CFD，AE=CD，∴△AEF≌△CDF； （2）10． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B，AB=AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到AF=CF，EF=DF，根据勾股定理得到DF=3，根据三角形的面积公式即可得到结论． 试题解析：（1） 略 （2）∵AB=4，BC=8，∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，∵△AEF≌△CDF，∴AF=CF，EF=DF，∴DF2+CD2=CF2，即DF2+42=（8﹣DF）2，∴DF=3，∴EF=3，∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF=×4×8﹣×4×3=10． 点睛：本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 25. 近年来，文旅业爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示．设购进甲系列汉服x套，该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 （1）求y与x的函数关系式． （2）该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意找出正确的等量关系是解题关键． （1）若购进甲系列汉服套，则购进乙系列汉服套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的利润，据此进一步列出关系式化简即可； （2）根据题意首先表示出购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲系列汉服的数量，然后利用一次函数的性质进一步求出最大利润即可． 【小问1详解】 解：∵购进甲系列汉服套， ∴购进乙系列汉服套， 根据题意得，， 化简得：， 即与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意得：购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元， ∴， 解得：， ∴至少要购进甲系列汉服套． 又，其中， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，此时最大值为：， ∴若售完全部的甲、乙系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元， 答：至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元． 26. 模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 【答案】（1）证明：旋转得，，， ∵正方形 ∴， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， ； （2）8 【解析】 【分析】本题考查夹半角模型； （1）由旋转得，，，即可结合得到，证明，得到； （2）延长至，使，连接，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长至，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 27. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）证明∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，    ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与最短路径的计算，掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $