专题01 菱形的性质、判定及证明（题型专练）数学新教材北师大版九年级上册

西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01菱形的性质、判定及证明 (题型突破举一反三) 目录 题型01菱形的性质直接应用 题型02菱形面积的计算 题型03判定条件的选择 题型04菱形判定的证明题 题型05菱形与特殊角模型综合(60120°) 题型06菱形中的折叠与轴对称问题 题型07菱形中的最短路径与最值（将军饮马类） 题型08菱形中的多结论判断题 1题型01菱形的性质直接应用 解题必备 5-dd;=ah 1.基础：菱形四边相等；对角线(d,d,)互相垂直平分且平分一组对角；面积公式°2 对角线把菱形分成4个全等的直角三角形。 2.方法：见到菱形先连对角线，把问题拆成t三角形（勾股定理）十等腰三角形；角度题优先用 “对角线平分内角”十平行线内错角/同旁内角转移。 3.思维提醒：已知一条对角线长和边长，求另一条对角线是高频小题，直接用 别忘开方后是“半对角线”。 典例精析 【典例1】(2026湖南衡阳模拟预测)如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，AB=6,若 ∠BAD=120°，则AC的长是() 1/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.3 B.6 C.8 D.10 E举-反目 【变式1-1】(24-25八年级下河北邢台期末)现有一个可伸缩的衣帽架，若菱形ABCD的边长为2， 则BC与AD之间的距离可能是() A.5 B.3 C.±V2 D.0 【变式12】(25-26八年级下·上海普陀期末)数学家伯努利在1691年创立了一种名为“极坐标系” 的新坐标系，如图1，在平面上取一定点O(称为极点)，以O为端点向右引射线Ox(称为极轴)构 成了极坐标系.在极坐标系内，对于直线Ox上方的任意点P,连接PO,设线段PO的长度为L, ∠POx=0,那么点P的极坐标记为（亿，）.如图2，在极坐标系内，OB=2,∠BOx=60°，则点B的 极坐标为(2,60).已知点A(2,0),如果点C在这个极坐标系内，且四边形04CB是菱形，那么点C 的极坐标是 B(2,60) P(L,) L 42 图1 图2 【变式13】(2026天津滨海新区·二模)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠B=60°，点E在边BC 上，且BE=1,点G为BC中点，点F为CD中点. B E G 2/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)线段AE的长为 (2)M为AF中点.连接GF,点N在GF上，且∠MNF=75°，则MN的长为 题型02 菱形面积的计算 解题必备 h=44 1. 基础：两种算法544=a ,己知其一可求另一”2a。 2. 方法：已知对角线一用244，已知边长十高或邻角→用ah,若出现60、120可转等边十 3. 思维提醒：求菱形某边上的高，等积法是首选一一用对角线算出面积，再除以边长得高；这类题 常嵌在“求垂线段长”里。 典例精析 【典例2】(25-26八年级下·上海徐汇·期末)已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为4Cm 和6cm,则菱形的面积为cm2. 举一反三 【变式2-1】(25-26八年级下·上海普陀·期末)如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点 O,AB=10,OA比OB长2.求菱形ABCD的面积. B 【变式2-2】(25-26八年级下·上海黄浦·期末)如图，四边形ABCD是一个矩形，延长AB至点E, 使得BE=AB,延长CB至点F,使得BF=BC,连接AC,BC,EF,FA,DE· E 3/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：四边形AFEC是一个菱形： BE 3 (2②若BF-4,DE=8,求菱形AFEC的面积. 【变式23】(25-26八年级下·上海期末)如图，在△ABC中，AB=BC,点D、E分别在边AB、BC 上，且DEI‖lAC,AD=DE,点F在边AC上，且CE=CF,连接FD. B E (I)求证：四边形DECF是菱形： (2)如果∠A=30°，CE=6,求四边形DECF的面积. 题型03判定条件的选择 解题必备 1.基础：三条判定路： (1)定义：一组邻边相等的平行四边形： (2)四边相等的四边形： (3)对角线互相垂直的平行四边形（或对角线垂直平分的四边形）。 2.方法：题干若已给“平行四边形”，只需补“邻边相等”或“对角线垂直”；若只给“四边形”， 则需先证平行四边再补，或直证"四边相等"。 3.思维提醒：选项里“AC=BD”是矩形判定不是菱形、“∠ABC=90°”也是矩形，这类混淆项是 命题人最爱放的陷阱；看到AC=BD直接排除菱形。 典例精析 【典例3】(25-26八年级下·江苏南京·期末)如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对 角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是() A.AB=CD B.AC=BD 4/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.∠ACB=∠ACD D.∠ACB=∠CAD 举一反三 【变式31】(25-26八年级下·新疆巴州期中)如图，在口ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下， 请你添加一个条件 使口ABCD是菱形. B D 【变式3-2】(2026四川凉山中考真题)四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O,且满足 AO=C0,请添加一个适当的条件： 一，使四边形ABCD成为菱形.（只需要添加一个条件即 可) 【变式33】(2026湖北武汉：模拟预测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是BC中点，点E在 AB上，CF‖AB交ED的延长线于点F, (I)求证：ACDF≌aBDE: (2)连接CE、BF,请添加一个与线段EF有关的条件： 使四边形BECF是菱形，不需要证 明. 题型04菱形判定的证明题 解题必备 1.基础：证明路径两条主流： (1)路①：先证平行四边形（对边平行且相等、对角线互相平分、一组对边平行且相等），再补“一 组邻边相等”或“对角线垂直”； (2)路②：直接证“四边相等”（常用于中点四边形类）。 2.方法：题干给“平行四边形十角平分线/中线/垂直”时，优先走①：给“各边中点连线”时走②。 3.思维提醒：最易扣分的就是跳步一一“先证平行四边形”这一步必须有（对边平行？对角线互相 平分？)，再写“又，AB=BC(或AC⊥BD),.是菱形”，缺第一步直接扣逻辑分。 5/13 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 【典例4)(25-26九年级上陕西榆林阶段检测)如图，在△ABC中，AB=BC,点O为AC的中点， 连接BO并延长至点D,使得OB=OD,连接AD、CD.求证：四边形ABCD是菱形. B E 举一反三 【变式41(24-25八年级下广西梧州期末)在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,点E,F分 别在边AB,CA上，且DE‖CA,DF‖BA,那么四边形AEDF的形状是 【变式42】(2026海南模拟预测)如图，菱形ABCD边长为6Cm,，∠BAD=60°，将菱形ABCD沿 CA方向平移2N3cm得到菱形B'C'D',AD交C'D'于点E,则重叠部分的面积与菱形ABCD的面积 之比为 D E 【变式43】(25-26八年级下·广西南宁·期末)【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱 形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动. 已知菱形纸片ABCD,∠BCD=60° B G G D D D 图1 图2 图3 【成果展示】 (①)第一小组：如图1，连接AC,折叠菱形纸片ABCD,使点A落在对角线AC上的点P处，折痕分别 交AB，,AD于点F,E.判断四边形AFPE的形状，并加以证明 (2)第二小组：将菱形纸片ABCD沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P,折 痕交AD于点E,EP交CD于点G. ①判断DG和PG的数量关系，并加以证明. 6/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②将菱形纸片ABCD沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中BP交CD于点M.若M恰好是 CD的中点，且AB=4,求线段AE的长. 题型05菱形与特殊角模型综合(60/120) 解题必备 1. 基础：菱形一内角为60°（或120°）时，连较短对角线→两个等边三角形；连较长对角线→两个 顶角为120°的等腰三角形。 2. 方法：见60°立刻想“连对角线造等边”，边长已知则可直得对角线长度(4复=a,4=v5a); 2x -d 面积也可用4”速算。 3. 思维提醒：这个模型在“菱形十中点十证明线段相等”类综合题里几乎是标配，识模后能省大量 计算。 典例精析 【典例5】(2026河南平顶山三模)如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤” 的效果，其基本形状是菱形ABCD(如图2)，当千斤顶工作时，横杆BD与地面平行.若 ∠ADC=60°，则CD与地面的夹角为() D 手柄 图1 图2 A.15° B.30° C.60° D.120° 举一反三 【变式51】(24-25八年级下·江苏南通阶段检测)如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4,以AC 为边长的正方形ACEF的周长为( D E A.12 B.16 C.18 D.20 【变式52】(2425八年级下·湖北武汉·期中)如图，从一个含60°内角的大菱形中截去两个面积分别 7/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为S和S2的两个平行四边形，若阴影部分的周长和面积分别是4V3+8V6和6W6,则S+S2的值是 () 27√5 B 27W3 4 2 c2 27 4 D.2 【变式53】(2025-陕西西安·一模)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠C=120°，G是CD的中点， 连接AG,则线段AG的长是() B A.3 B.3V5 C.23 D.5 题型06菱形中的折叠与轴对称问题 解题必备 1. 基础：折叠=轴对称，折痕是对称轴：折叠前后对应线段相等、对应角相等；菱形本身对角线所 在直线就是对称轴。 2.方法 (1)标对应点（如C一C): (②)用“对应边相等十菱形四边相等”列方程： (3)常需设未知数，把折叠后新出现的线段放回由对角线分出的Rt△里用勾股。 3. 思维提醒：折叠后容易忽略“原菱形对角线平分内角”这个隐藏条件，把它和折叠的角相等叠加， 常能直接推出某角是30°、60°、45°。 典例精析 【典例6】(2025河北一模)如图，在菱形ABCD中，∠A=70°，连接BD,将菱形ABCD沿过点B 的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在BD上，折痕BE交CD于点E,延长EF交AD于点G,则 8/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠DGE的度数为 GD B 上举一反目 【变式1】(25-26九年级上广东深圳期末)如图，在四边形纸片ABCD中，ADI‖BC,∠B=90°， 点E是BC上一点，将纸片沿DE折叠，点C恰好落在点A处，连接AE. (I)判断四边形AECD的形状并证明； (2)若AB=4,BC=8,求DE的长. 【变式62)(2026浙江温州三模)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是AD边上的一点， 将△APB沿BP折叠得△APB,射线PA交BC边于点E. B 图1 图2 (1)如图1，求∠BAE的度数. (2)求证：A'E+EC=PD PA 3)如图2，取CD边的中点F,连结PF,AA,当pF∥A4时，求AE的值. 【变式6-3】(25-26八年级下·云南大理期末)如图，将平行四边形DBEC沿BD折叠，点C恰好落 在EB的延长线上的点A处，连接AC,BD交于点O. B 9/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)证明：四边形ABCD是菱形： (2)若AC=6,BD=8 ①求△ACE的面积： ②若直线AE上有一点F,当△FCE为等腰三角形时，直接写出线段AF的长， 题型07菱形中的最短路径与最值（将军饮马 类 三解题必备 1.基础：菱形是轴对称图形，对角线所在直线即对称轴；“PA十PB最小”类问题可借对称轴做对 称点转化。 2.方法：动点在对角线上→利用对称性把折线路径拉成直线；经典题“MA十MB十MD最小”在 ∠ABC=120°菱形里，常用“费马点”雏形或两次对称。 典例精析 【典例7】(2023河南南阳·三模)菱形0ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知顶点4(8,0)， 点D是OA的中点，点P是对角线OB上的一个动点，∠AOC=60°，当PA+PD最短时，点P的坐标为 () B D 4v3 /3 A. (6,25) 6 3 ·(4,2) E 举一反三 【变式71】(25-26八年级下重庆期中)如图，菱形ABCD的边长为2V5,∠A=120°，点E和点P 分别为边BC和对角线BD上的动点，当PC+PE的取值最小时，△PEC的周长为() 10/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3 B.4 C.2W3+1 D.3+5 【变式72】(2026陕西渭南二模)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，点D、E分别是BC、 AC边上的动点，连接AD,DE,当AD+DE的值最小时，DE=I,则BC的长为 20 D 【变式7-3(2026河北石家庄·二模)如图，在菱形ABCD中，AB=6,AC=4,点P,0分别在 AC,AB上，且CP=A犯.以AO,P卫为邻边作AQPM,延长AM交射线CD于点N.当PO的长最 小时，线段DN的长是 B 题型08菱形中的多结论判断题 解题必备 1. 基础：题干给菱形十几条中点垂直/平分的附加线，让判断45个小结论哪几个对。 2.方法：逐个击破： (①)先标全菱形的固有性质（四边等、对角线垂直平分、平分内角）： (2)看中点→想中位线： (3)看垂直→想Rt△斜边中线=斜边一半； (④60°模型随时调用。 3. 思维提醒：这类题不用全证，代入特值（如设边长为2、对角线为2和2√5）快速验错误项比硬 推快；但正式答题还是要给出推理链。 典例精析 【典例8】(2026北京海淀二模)如图，直线y=c+bk(0,b)0)与x轴、y轴分别交于点A,B,以 11/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OA为对角线作菱形OMAN,且点N在第一象限，给出下面三个结论： VA B ①当k=,6=2时，菱形OM4N有无数个： ②当b=2时，对于k的每一个确定的值，都存在菱形OMAN,使得该菱形的周长与△AOB的周长相等： ③当点N在AB上时，若A(10-2b,0),则菱形OMAN的面积有最大值. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 举一反 【变式81】(24-25八年级下·北京朝阳期末)如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC翻折，得到四 边形AECF,BC,AF交于点M,AD,CE交于点N.有如下四个结论：①MB=MF:② ∠BAM=∠EAW;③四边形ANCM为菱形；④BE,BF互相垂直且相等.上述结论中，所有正确结论 的序号为() A.①② B.②③ C.①②③ D.①③④ 【变式82】(25-26九年级上辽宁丹东期末)如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E、F分别是 AB、AD上任意的点（不与端点重合）·且AE=DF,连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相 交于点H.有如下几个结论：①△AED≌△DFB;②∠BGE的大小为定值；③GC平分∠BGD;④ 之CG.以上结论中，正确结论的序号是 E 12113 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式83】(2425八年级下·吉林长春期末)如图，在菱形ABCD中，AB=3,∠ABC=60°.点 E、F分别在线段AB、AC上，且AE=CF,BF、CE交于点G,延长BF交边AD(或边CD)于点 H,给出下面四个结论：①BF=CE;②BG=FH;③∠BGE=6O°，④当AE=2时，△BCE的面积是 3 4,上述结论中，所有正确结论的序号是 H E G 13/13 专题01 菱形的性质、判定及证明 （题型突破·举一反三） 题型01 菱形的性质直接应用 题型02 菱形面积的计算 题型03 判定条件的选择 题型04 菱形判定的证明题 题型05 菱形与特殊角模型综合（60°/120°） 题型06 菱形中的折叠与轴对称问题 题型07 菱形中的最短路径与最值（将军饮马类） 题型08 菱形中的多结论判断题 ▌题型01 菱形的性质直接应用 1. 基础：菱形四边相等；对角线（）互相垂直平分且平分一组对角；面积公式；对角线把菱形分成4个全等的直角三角形。 2. 方法：见到菱形先连对角线，把问题拆成Rt三角形（勾股定理）＋等腰三角形；角度题优先用“对角线平分内角”＋平行线内错角/同旁内角转移。 3. 思维提醒：已知一条对角线长和边长，求另一条对角线是高频小题，直接用；别忘开方后是“半对角线”。 【典例1】（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，、是菱形的对角线，．若，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据菱形的性质可得，，结合可求出，进而判定为等边三角形，即可得出的长 ． 【详解】解：四边形是菱形 ， ， 是等边三角形 ． 【变式1-1】（24-25八年级下·河北邢台·期末）现有一个可伸缩的衣帽架，若菱形的边长为2，则与之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出与之间的距离大于，小于等于，然后比较实数的大小即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2， ∴与之间的距离大于，小于等于， ，不符合题意； ，符合题意． 【变式1-2】（25-26八年级下·上海普陀·期末）数学家伯努利在1691年创立了一种名为“极坐标系”的新坐标系，如图1，在平面上取一定点O（称为极点），以O为端点向右引射线（称为极轴）构成了极坐标系．在极坐标系内，对于直线上方的任意点P，连接，设线段的长度为L，，那么点P的极坐标记为．如图2，在极坐标系内，，，则点B的极坐标为．已知点，如果点C在这个极坐标系内，且四边形是菱形，那么点C的极坐标是_____________． 【答案】 【分析】连接，，与相交于M．结合已知条件及，可判定为等边三角形，得到的长，利用菱形的性质及等腰三角形三线合一性质，求出的长度及的度数，进而确定点C的极坐标． 【详解】解：如图，连接，，与相交于M． ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分，，， ∴， ， ∴， ∴点C的极坐标为． 【变式1-3】（2026·天津滨海新区·二模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，点为中点，点为中点． （1）线段的长为__________； （2）为中点．连接，点在上，且，则的长为__________． 【答案】 【分析】（1）连接、，由菱形的性质容易证明是等边三角形，结合点为中点可得，，，使用勾股定理计算出，进而计算出； （2）作于点，设，同理（1）可得是等边三角形，则，，使用勾股定理计算出，则．由等腰三角形的性质可得，则，利用三角函数可表示出，，构造方程求出的值，再使用勾股定理计算出． 【详解】解：（1）如图，连接、， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点为中点， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，； （2）如图，作于点，设， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， 又∵点为中点， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，解得， 由勾股定理可得，． ▌题型02 菱形面积的计算 1. 基础：两种算法，已知其一可求另一；。 2. 方法：已知对角线→用；已知边长＋高或邻角→用，若出现60°、120°可转等边＋。 3. 思维提醒：求菱形某边上的高，等积法是首选——用对角线算出面积，再除以边长得高；这类题常嵌在“求垂线段长”里。 【典例2】（25-26八年级下·上海徐汇·期末）已知菱形的两条对角线、的长分别为和，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的面积计算，根据菱形面积等于对角线乘积的一半代入计算即可． 【详解】解：菱形的两条对角线，的长分别为和， ． 【变式2-1】（25-26八年级下·上海普陀·期末）如图，已知菱形的对角线、相交于点O，，比长2．求菱形的面积． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，，，利用勾股定理求出，再结合菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵比长2， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∴菱形的面积． 【变式2-2】（25-26八年级下·上海黄浦·期末）如图，四边形是一个矩形，延长 至点，使得，延长至点，使得，连接 ， ， ，， ． (1)求证：四边形是一个菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵，，矩形中， 即四边形的对角线互相垂直平分， ∴四边形为菱形； (2)菱形的面积为 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据四边形的对角线互相垂直平分即可证明四边形是一个菱形； （2）根据菱形和矩形的性质结合已知可设，，由勾股定理得，即可求出，再根据菱形的面积为计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形，四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴设，， 由勾股定理得， ∴， 解得， 菱形的面积为． 【变式2-3】（25-26八年级下·上海·期末）如图，在中，，点D、E分别在边上，且，，点F在边上，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2)18 【分析】（1）先利用等边对等角、平行线的性质证明四边形是平行四边形，再结合即可证明结论； （2）如图：过点F作交于G，则，由菱形的性质以及等边对等角可得、；利用30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图：过点F作交于G，则， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积． ▌题型03 判定条件的选择 1. 基础：三条判定路： (1) 定义：一组邻边相等的平行四边形； (2) 四边相等的四边形； (3) 对角线互相垂直的平行四边形（或对角线垂直平分的四边形）。 2. 方法：题干若已给“平行四边形”，只需补“邻边相等”或“对角线垂直”；若只给“四边形”，则需先证平行四边再补，或直证"四边相等"。 3. 思维提醒：选项里“AC＝BD”是矩形判定不是菱形、“∠ABC＝90°”也是矩形，这类混淆项是命题人最爱放的陷阱；看到AC＝BD直接排除菱形。 【典例3】（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”，所以在平行四边形中，是必然成立的性质，不能据此判断它是菱形．选项A错误． 对于B，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知当时，平行四边形是矩形，而不是菱形．选项B错误． 对于C，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，当，可得，根据“等边对等角”，可得，根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知四边形是菱形．选项C正确． 对于D，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，所以是平行四边形本身具有的性质，不能据此判断它是菱形．选项D错误． 【变式3-1】（25-26八年级下·新疆巴州·期中）如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理，添加一组邻边相等或对角线互相垂直都可使平行四边形成为菱形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 其他符合要求的条件还有、等，本题答案不唯一． 【变式3-2】（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且，只需证明四边形是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形． 【详解】解：添加条件即可， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的对角线互相垂直， 平行四边形是菱形 故可添加为（答案不唯一）． 【变式3-3】（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，点是中点，点在上，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接、，请添加一个与线段有关的条件：________，使四边形是菱形，不需要证明． 【答案】(1)证明：∵是中点， ∴， ∵， ∴，， ∴． (2) 【详解】（1）略 （2）解：，理由如下： ∵ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． ▌题型04 菱形判定的证明题 1. 基础：证明路径两条主流： (1) 路①：先证平行四边形（对边平行且相等、对角线互相平分、一组对边平行且相等），再补“一组邻边相等”或“对角线垂直”； (2) 路②：直接证“四边相等”（常用于中点四边形类）。 2. 方法：题干给“平行四边形＋角平分线/中线/垂直”时，优先走①；给“各边中点连线”时走②。 3. 思维提醒：最易扣分的就是跳步——“先证平行四边形”这一步必须有（对边平行？对角线互相平分？），再写“又∵AB＝BC（或AC⊥BD），∴是菱形”，缺第一步直接扣逻辑分。 【典例4】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）如图，在中，，点为的中点，连接并延长至点，使得，连接、．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明． 【详解】证明：点为的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【变式4-1】（24-25八年级下·广西梧州·期末）在中，平分交于点D，点E，F分别在边，上，且，那么四边形的形状是______． 【答案】菱形 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据平分，平行线的性质证明即可得证； 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵平分交于点D， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【变式4-2】（2026·海南·模拟预测）如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出和的长，然后即可计算出重叠部分的面积，再计算出菱形 的面积即可得出结论． 【详解】解：连接， ，和 交于点O，连接交于点O，交于点F，如图所示， ， ∵菱形 的边长为，， ∴，， ， ∴ 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴菱形 的面积， ∵ ， ∴， 由平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴重叠部分的面积为：， ∴重叠部分的面积与菱形 的面积之比为 ． 【变式4-3】（25-26八年级下·广西南宁·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动． 已知菱形纸片，． 【成果展示】 (1)第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处，折痕分别交，于点，．判断四边形的形状，并加以证明． (2)第二小组：将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图2所示的位置，点的对应点为点，折痕交于点，交于点． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点．若恰好是的中点，且，求线段的长． 【答案】(1)解：四边形是菱形， 证明如下：设与交于点， ∵菱形纸片， ， ∵折叠菱形纸片，使点落在对角线上的点处， ∴垂直平分， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形； (2)①， 证明：如图，连接， ∵菱形， ， ∴， ∴是等边三角形， ， ∵折叠， ， ， ， ， ， ； ② 【分析】（1）设与交于点，先由菱形纸片得到，再由折叠得到，，即可证明，得到，推出，则四边形是菱形； （2）①连接，由菱形，得到，由折叠得到，，则，根据，得到，利用等角对等边得到； ②由恰好是的中点，得到，则，则，根据，求出，则，最后根据求解即可； 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如图，连接，， ∵， ， ∵恰好是的中点， ， ， ∵， ， ， 根据①可得， ∴， ， 解得：， ， ， ， ， ． ▌题型05 菱形与特殊角模型综合（60°/120°） 1. 基础：菱形一内角为60°（或120°）时，连较短对角线→两个等边三角形；连较长对角线→两个顶角为120°的等腰三角形。 2. 方法：见60°立刻想“连对角线造等边”，边长已知则可直得对角线长度（）；面积也可用速算。 3. 思维提醒：这个模型在“菱形＋中点＋证明线段相等”类综合题里几乎是标配，识模后能省大量计算。 【典例5】（2026·河南平顶山·三模）如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：菱形中，，对角线平分， ， 与地面平行， 与地面的夹角为． 【变式5-1】（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，菱形中，，以为边长的正方形的周长为（　　） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及正方形的周长计算，解题的关键是根据菱形的性质和已知角度推出等边三角形，进而确定的长度． 由菱形性质得结合可判定为等边三角形，从而得出再根据正方形边长等于的长度，计算其周长． 【详解】∵四边形是菱形， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴是等边三角形（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）． ∴． ∵四边形是正方形 ∴正方形的边长为． ∴正方形的周长． 故选：B． 【变式5-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，从一个含内角的大菱形中截去两个面积分别为和的两个平行四边形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质． 设菱形的边长为a，利用菱形内角为，表示出菱形的面积．用菱形的面积减去阴影部分的面积，得到的表达式．根据阴影部分周长和菱形周长的关系，求出菱形的边长a．将求出的a值代入的表达式，计算出结果． 【详解】解：设原菱形的边长为a，内角为，其面积为． 阴影部分的面积为， 因此． 阴影部分的周长为， 根据题干条件阴影部分的周长=菱形的周长，原周长为与阴影周长一致． 此时原面积为：． 阴影面积为， 故， 故选：B． 【变式5-3】（2025·陕西西安·一模）如图，在菱形中，，，G是的中点，连接，则线段的长是（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． 由菱形的性质可得，，可得是等边三角形，再由等边三角形的性质可以得到，最后利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，， ，， 是等边三角形， 是的中点， ，， 在中，． 故选：B． ▌题型06 菱形中的折叠与轴对称问题 1. 基础：折叠＝轴对称，折痕是对称轴；折叠前后对应线段相等、对应角相等；菱形本身对角线所在直线就是对称轴。 2. 方法： (1) 标对应点（如C→C'）； (2) 用“对应边相等＋菱形四边相等”列方程； (3) 常需设未知数，把折叠后新出现的线段放回由对角线分出的Rt△里用勾股。 3. 思维提醒：折叠后容易忽略“原菱形对角线平分内角”这个隐藏条件，把它和折叠的角相等叠加，常能直接推出某角是30°、60°、45°。 【典例6】（2025·河北·一模）如图，在菱形中，，连接，将菱形沿过点B的直线折叠，使得点C的对应点F恰好落在上，折痕交于点E，延长交于点G，则的度数为__________． 【答案】55度/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质， 先根据菱形等腰三角形的性质得，再根据折叠的性质求出，最后根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：四边形是菱形， ， ． 由折叠的性质得， ， ， ． 故答案为：． 【变式6-1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，可证明四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）设，在中，利用勾股定理可得，连接，在中，利用勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，   ， ． 纸片沿折叠， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． （2）解：由（1）得， 设， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 即， 连接，    在中，， ． ， ， ． 【变式6-2】（2026·浙江温州·三模）如图，在菱形中，，点是边上的一点，将沿折叠得，射线交边于点． (1)如图1，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，取边的中点，连结，，当时，求的值． 【答案】(1) (2)证明：如图1，过作交于点． ∵四边形是菱形， ，， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∵将沿折叠得， ，， 又， ， ， ， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 又，， ． (3) 【分析】（1）根据菱形的性质和，得出，根据折叠的性质可得，即可解答． （2）如图1，过作交于点．证明四边形是平行四边形，得出，根据折叠的性质可得，，证出， 再证明四边形是平行四边形，得出，结合，，即可证明． （3）如图2，延长，交于点，作于点．设，．由（2）得．证明，得出．证明，结合（2）中，证明，得出，，由（1）得，从而得，，在中，勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ， 又， ， ∵将沿折叠得， ， ． （2）略 （3）解：如图2，延长，交于点，作于点． 设，． 由（2）得． ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． ， 根据折叠可得， ∴， ， ∴， 根据（2）可得， ∴， ∴， ∴， ， ， 根据折叠可得， 根据菱形的性质可得， ， 由（1）得， ，， ， ∴在中，， 即， 解得：， ∴， ． 【变式6-3】（25-26八年级下·云南大理·期末）如图，将平行四边形沿 折叠，点恰好落在的延长线上的点处，连接交于点． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，． ①求的面积； ②若直线上有一点F，当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵平行四边形沿 折叠，点恰好落在的延长线上点处，连接交于点， ∴，， ， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又 ， ∴平行四边形是菱形． (2)①，②线段的长为2或18或或5． 【分析】（1）由题意可得，，，结合，得到，得，可证四边形是平行四边形，再由折叠可知 ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得证； （2）①利用菱形的面积的两种求解方式：对角线乘积的一半，底×高，列出方程，，即可得到的高，再利用，求出面积；②分三种情况讨论，以E点为圆心，为半径画弧，与直线相交于、，即；以C点为圆心，为半径画弧，与直线相交于，即；，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵平行四边形是菱形， ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形， ∴ 设菱形边上的高为h， ∴菱形的面积为 即 解得 ∴； ②由① ∵平行四边形， ∴ 如图所示，以E点为圆心，为半径画弧，与直线相交于、， 当，此时为等腰三角形 ∴； 当，此时为等腰三角形 ∴； 如图所示，以C点为圆心，为半径画弧，与直线相交于， 当，此时为等腰三角形， 由①可知 ∴ ； 由①可知 ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∴即B点，此时为等腰三角形， 则 综上所述：当为等腰三角形时，线段的长为2或18或或5． ▌题型07 菱形中的最短路径与最值（将军饮马类） 1. 基础：菱形是轴对称图形，对角线所在直线即对称轴；“PA＋PB最小”类问题可借对称轴做对称点转化。 2. 方法：动点在对角线上→利用对称性把折线路径拉成直线；经典题“MA＋MB＋MD最小”在∠ABC=120°菱形里，常用“费马点”雏形或两次对称。 【典例7】（2023·河南南阳·三模）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知顶点，点D是的中点，点P是对角线上的一个动点，，当最短时，点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点D作关于的对称点，连接，交于点P，确定点P的位置，连接，，证明是等边三角形，再求出，根据三角函数即可求出． 【详解】过点D作关于的对称点，连接，交于点P， 此时最短， 连接，，如图， ∵， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴点P的坐标， 故选：D． 【点睛】此题考查将军饮马问题，解题的关键是构造辅助线确定点P的位置． 【变式7-1】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的对称性可知点与点关于直线对称，则，故，当三点共线且时，的值最小，此时的周长即为的长，求出和的长即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴关于对称， ∴ ∴， ∵点在上，点在上， ∴当三点共线且时，最小， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式7-2】（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，，点、分别是、边上的动点，连接，，当的值最小时，，则的长为________． 【答案】6 【分析】作点关于的对称点，过点作于点E，交于点D，连接、，根据轴对称的性质可得，，此时三点共线，的值最小，即的值最小，易得四边形是菱形，证明是等边三角形，结合含30度角的直角三角形的性质及等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，过点作于点E，交于点D，连接、、，则， ， ，四边形是菱形， 此时三点共线，的值最小，即的值最小， ， ， ， ， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，，， 在中，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式7-3】（2026·河北石家庄·二模）如图，在菱形中，，，点P，Q分别在，上，且．以，为邻边作，延长交射线于点N．当的长最小时，线段的长是________． 【答案】2 【分析】根据平行四边形的性质和条件，得到，，根据三角形外角性质和两直线平行同位角相等得到是的平分线，根据垂线段最短得到，当时，的长最小，此时，从而得到的长． 【详解】如图，连接． 四边形是菱形，， ，， 四边形是平行四边形， ，，． ， ， ， ， ， ， ， ，即， ，即是的平分线， ∴当时，最短，即最短． 此时，， 在和中，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质及最值问题，核心素养表现为几何直观和推理能力． ▌题型08 菱形中的多结论判断题 1. 基础：题干给菱形＋几条中点/垂直/平分的附加线，让判断4~5个小结论哪几个对。 2. 方法：逐个击破： (1) 先标全菱形的固有性质（四边等、对角线垂直平分、平分内角）； (2) 看中点→想中位线； (3) 看垂直→想Rt△斜边中线＝斜边一半； (4) 60°模型随时调用。 3. 思维提醒：这类题不用全证，代入特值（如设边长为2、对角线为2和）快速验错误项比硬推快；但正式答题还是要给出推理链。 【典例8】（2026·北京海淀·二模）如图，直线与轴、轴分别交于点，，以为对角线作菱形，且点在第一象限，给出下面三个结论： ①当，时，菱形有无数个； ②当时，对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③当点在上时，若，则菱形的面积有最大值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①根据菱形的性质判断即可；②求得的周长：，菱形的周长：，比较即可判断；③求得菱形的面积为即可得到菱形的面积有最大值． 【详解】解：①当，时，， 令，，解得， ∴， 以为对角线作菱形，且点在第一象限， ∴在线段的垂直平分线上， ∴这样的菱形有无数个，说法正确； ②当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的周长：，即， 菱形的周长：， ∴对于的每一个确定的值，都存在菱形，使得该菱形的周长与的周长相等； ③∵，∴， ∴菱形的面积， ∵， ∴菱形的面积有最大值； 综上，①②③都是正确的． 【变式8-1】（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，将平行四边形沿对角线翻折，得到四边形，，交于点M，交于点．有如下四个结论：①；②；③四边形为菱形；④互相垂直且相等．上述结论中，所有正确结论的序号为（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，通过证明三角形全等得出边和角的关系，进而判断各个结论是否正确． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ②由折叠得，， ∴， ∴，故②正确； ③由①可知，， 同理可得 ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形为菱形，故③正确； ④连接、、，、分别与交于点，如图， 由折叠得，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∴，即，但无法判断的相等关系，故④错误， 综上，正确的结论是①②③， 故选：C． 【变式8-2】（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在菱形中，，点E、F分别是、上任意的点（不与端点重合）．且，连接与相交于点G，连接与相交于点H．有如下几个结论：①；②的大小为定值；③平分；④．以上结论中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②③ 【分析】先证明是等边三角形，利用可判断；利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判断②；过C作于M，交延长线于N，则，根据四边形的内角和可推导出，然后证和得到，可判定③；利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求得，，利用全等三角形的性质可得，进而得，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，又， ∴是等边三角形， ∴，，又， ∴，故①正确； ∴， ∴， 即的大小为定值，故②正确； 过C作于M，交延长线于N，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即平分，故③正确； ∴，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形的内角和等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． 【变式8-3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在菱形中，，．点E、F分别在线段、上，且，、交于点，延长交边（或边）于点．给出下面四个结论：①；②；③；④当时，的面积是．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【分析】对于①，证明即可；对于②，举反例，当点E、F分别是线段、的中点时，点H与点D重合，可得；对于③，根据全等三角形的性质，可得，从而可证明；对于④，过点E作于点M，可求得，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：对于①， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， 即， 所以①正确； 对于②， 举反例：当点E、F分别是线段、的中点时，点H与点D重合， 四边形是菱形， ， 所以②错误； 对于③， 由①知， ， ， ， ， 所以③正确； 对于④，过点E作于点M， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 所以④正确； 综上所述，正确结论的序号是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01菱形的性质、； 判定及证明 (题型突破举一反三) 目录 题型01菱形的性质直接应用 题型02菱形面积的计算 题型03判定条件的选择 题型04菱形判定的证明题 题型05菱形与特殊角模型综合(60120°) 题型06菱形中的折叠与轴对称问题 题型07菱形中的最短路径与最值（将军饮马类） 题型08菱形中的多结论判断题 题型01菱形的性质直接应用 典例精析 【典例1】【答案】B 举一反三 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】(2W5,30) 36-32 【变式1-3】【答案】 √13 题型02菱形面积的计算 三典例精析 【典例2】【答案】12 1/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 举一反目 【变式2-1】【答案】96 【变式2-2】 【答案】(I)证明：：BE=AB,BF=BC,矩形ABCD中∠ABC=9O°， 即四边形AFEC的对角线互相垂直平分， .四边形AFEC为菱形： (2)解：，四边形AFEC是菱形，四边形ABCD是矩形， :AB=BE,BC=BF,BC=AD, BE 3 BF4' ∴设AB=BE=3k,BC=BF=AD=4k, 由勾股定理得DE2=AD+AE2=82, .16k2+36k2=82, 利治 菱形AFEC的面积为×E×CF-x6k×8账=24=24 1 16384 1313 【变式2-3】 【答案】(1)证明：AB=BC, ∠A=∠C, DEI‖AC ∴.∠BDE=∠A,LBED=∠C, ∴.∠BDE=∠BED, ∴.BD=BE ∴.BA-BD=BC-BE, .AD=CE. AD=DE, .DE EC, CE=CF, :DE=CF, DE lI FC. ∴四边形DECF是平行四边形， 2/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE=CF, .四边形DECF是菱形. (2)解：如图：过点F作FG⊥BC交BC于G,则∠FGC=90°， EG ,四边形DECF是菱形，CE=6, ..CF=CE=6. AB=BC, ∴.∠A=∠C=30°， .∠FGC=90°，∠C=30°， :.FG-IFC=3. ∴四边形DECF的面积=EC·FG=6×3=18 题型03判定条件的选择 典例精析 【典例3】【答案】C E 举一反三 【变式3-1】【答案】AB=BC(答案不唯一) 【变式3-2】【答案】OB=OD(答案不唯一) 【变式3-3】 【答案】(I)证明：，D是BC中点， .CD=BD」 CF II AB」 .∠F=∠DEB,∠FCD=∠EBD, △CDF≌aBDE(A,AS). (2)EF⊥BC 3/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型04菱形判定的证明题 典例精析 【典例4】 【答案】证明：点O为AC的中点， ..A0=OC, .OD=OB, 四边形ABCD是平行四边形， AB=BC, ∴，四边形ABCD是菱形 举一反三 【变式41】【答案】菱形 【变式42】【答案】49 【变式4-3】 【答案】(I)解：四边形AFPE是菱形， 证明如下：设EF与AP交于点O, :菱形纸片ABCD, ∴∠BAC=∠DAC, ,折叠菱形纸片ABCD,使点A落在对角线AC上的点P处， AF=PF,AE=PE,EF垂直平分AP, ∴∠AOF=∠AOE=90°」 ∠BAC=∠DAC,OA=OA ∴△AOF2△AOE(ASA). .AF=AE .AF =PF=AE=PE, ∴.四边形AFPE是菱形： 4/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)①DG=PG, 证明：如图，连接BD,DP G ,菱形ABCD,∠BCD=60° ∴AB=BC=CD=AD,∠BCD=∠A=60°，ADIIBC, .∠ADC=180°-∠BCD=120,∠BDA=∠BDC= ∠ADC=60°， ∴，△ABD是等边三角形， ∴.AB=BC=CD=AD=BD, 折叠， .AB=BP,∠BPE=∠A=60° AB=BP=BD,∠BPE=∠BDC=6O°， ∴∠BPD=∠BDP, ∴∠BPD-∠BPE=∠BDP-∠BDC, ∴.∠GPD=∠GDP, ..DG=PG: ②解：如图，连接BD,DP, B E D AB=4, .AB=BC=CD=AD=BD=BP=4. ,M恰好是CD的中点， 1 ∴.CM=DM=5CD=2,BM⊥CD」 2 .ZGMP=90,BM =BC2 -CM=23, .∠P=60°， ∴.∠PGM=∠EGD=30°， 5/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PG=2PM.GM=PG2-PM2 =3PM, 根据①可得DG=PG, ..DG=PG=2PM, ..DM=2=DG+GM =2PM+3PM, 解得：PM=4-2√5！ :.DG=PG=2PM=8-43, ∠EGD=30°，∠ADC=120°， ∴∠DEG=30°=∠EGD. .DG=DE=8-4V5, ∴.AE=AD-DE=4-(8-4W3)=4W5-4 题型05菱形与特殊角模型综合(60°/120) 典例精析 【典例5】【答案】B 举一反三 【变式5-1】【答案】B 【变式5-2】【答案】B 【变式5-3】【答案】B 题型06菱形虫的折叠与轴对称▣题 典例精析 【典例6】【答案】55度/55° 举一反三 【变式6-1】 【答案】(1)解：四边形AECD是菱形，理由如下： 如图， 6/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 3 B E AD I BC ∠1=∠3 纸片沿DE折叠， ∠I=∠2，DA=DC, ∠2=∠3， ..CD=CE, .AD=CE, .ADII BC, ∴四边形AECD是平行四边形. DA=DC, .口AECD是菱形 (2)解：由(1)得EA=EC, 设EA=EC=x, 在RtABE中，∠B=90°， .AB2+BE2=AE2, 42+(8-x)2=x2, 解得：x=5, 即EA=EC=5, 连接AC, D 2 3 B E 在RIAABC中，∠B=90°， AC=AB2 BC2=45. :S变形E0D=EC·AB=AC·DE 2 7/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5x4=45.DE 2 :DE=25 【变式6-2】 【答案】（①）(1)解：：四边形ABCD是菱形， ADI‖BC 又：∠ABC=60°， ∠A=180°-∠ABC=180°-60°=120°， ,将△APB沿BP折叠得△A'PB, ∠BAP=∠A=120°， ∴.∠BAE=180°-∠BAP=60° (2)证明：如图1，过E作EGDC交AD于点G D GD E C 图1 ,四边形ABCD是菱形， .AD‖BC,ABIICD, 又：EGDC, ∴.四边形GDCE是平行四边形， ..GD=EC, 将△APB沿BP折叠得△A'PB, ∠1=∠2，AP=AP, 又ADI BC ∠1=∠PBE, ∴∠2=∠PBE, .PE BE, EGIDC,AB‖CD .ABGE, 又AG‖BE. 8/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴四边形AGEB是平行四边形， ∴AG=BE 又AP=AP,GD=EC, ..A'E+EC=PE-A'P+DG=BE-AP+DG=AG-AP+DG=PG+DG=PD (3)解：如图2，延长PF,BC交于点H,作EK⊥BA于点K. D H EC 图2 设A'E=2x,EC=y. 由(2)得PD=AE+EC=2x+y. .AD I BC. ∴∠D=∠FCH. 点F是CD的中点， ..DF =CF, :∠PFD=∠HFC,DF=CF,∠D=∠FCH, ·.△FPD≌aFHC(ASA, :.CH=DP=2x+y. :AA∥PF, 根据折叠可得AA'⊥BP, .PH⊥BP, ∠BPH=90°， .∠PBH+∠H=∠EPB+∠EPH=90°」 根据(2)可得EP=EB, .∠PBE=∠EPB, ∴.∠H=∠EPH, ∴.PE=EH, .EP=EB=EH=CE+CH=2x+2y, :.PA=PA'=PE-A'E=2y, 根据折叠可得A'B=AB, 9/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据菱形的性质可得AB=AD, .AB=AD=AP+DP=2x+3y」 由(1)得∠BAE=60°， K-4E EKE-AK=x ..BK=A'B-A'K=x+3y, 在Rt BEK中，EK2+BK2=BE2, 即3x+(x+3y)}=(2x+2y2, 解得：X= 5 .4'E=2x=5y, PA'2y 2 AE5列5 【变式6-3】 【答案】(I)证明：：平行四边形DBEC沿BD折叠，点C恰好落在EB的延长线上点A处，连接 AC,BD交于点O, :.DCIl AB,OC=OA,ACLBD ,∠DCA=∠BAC,而∠DOC=∠AOB, :.△DCO≌aBAO(ASA. .DC=AB」 ∴.四边形ABCD是平行四边形， 又AC⊥BD ∴.平行四边形ABCD是菱形. (②)解：①：平行四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=8 .04-C308--4 .AB=VOA2+0B2=V32+42=5 :四边形ABCD是菱形， .DC=AB=5 平行四边形DBEC, ∴.BE=DC=5 设菱形ABCD边AB上的高为h, 10113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 ÷菱形ABCD的面积为2ACBD=AB-h 1 即2x6x8=5.h 解得h24 5 2 24=24: 5 ②由①AE=AB+BE=10 :平行四边形DBEC, ∴.CE=BD=8 如图所示，以E点为圆心，CE为半径画弧，与直线AE相交于E、F, A F B F 当CE=EF,此时△FCE为等腰三角形 AE=AE-EE=10-8=2: 当CE=EE,此时△FCE为等腰三角形 AE=AE+EE,=10+8=18; 如图所示，以C点为圆心，CE为半径画弧，与直线AE相交于F, D 当CE=CF,此时△FCE为等腰三角形， 白0可知4=号 4 =2r-F-28】 =2×32=64 55 11/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6=R-4 -10=14 由①可知AB=BE=5 ,四边形ABCD是菱形， .'AB=BC=5 ∴.BE=BC=5 B(F4 E .F4即B点，此时△F,CE为等腰三角形， 则AF=AB=5 14 综上所述：当。FCE为等腰三角形时，线段4F的长为2或18或5或5. 题型07菱形中的最短路径与最值（将军饮马 典例精析 【典例7】【答案】D 三 举一反三 【变式7-1】【答案】D 【变式7-2】【答案】6 【变式7-3】【答案】2 题型08 菱形中的多结论判断题 典例精析 【典例8】【答案】D 举一反三 12/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式8-1】【答案】C 【变式8-2】【答案】①②③ 【变式8-3】【答案】①③④ 13/13