1.2 菱形的性质与判定（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 这份同步练习以菱形性质与判定为核心，通过A、B、C组及中考拓展的分层设计，实现从基础巩固到综合应用再到思维创新的知识进阶，培养数学抽象、推理与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|菱形性质（角度、线段长、面积）、判定条件添加|基础题型（选择、填空），直接应用定义与性质，如求菱形内角、对角线长| |B组|性质与判定综合应用、折叠与动态问题|中档解答题，结合几何变换（折叠）、坐标计算，如菱形折叠后角度推理| |C组|跨学科（物理光学）、最值与规律探究|探究性问题，如结合平面镜反射的角度计算、动点最值问题| |拓展|中考真题再现|中考题型适配，如旋转拼接面积计算、尺规作图判定菱形|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.2菱形的性质与判定 参考答案 A组 巩固过关 斯型nM 利用菱形性质求角度 1.B 2. 61 3.20° 4.20 题型07 利用菱形性质求线段长 6.A 7.D 8.A 题型3 与菱形面积有关的计算 9.A 10.24 11.32V3 甄型n4 添加条件使四边形是菱形 12.C 13.D 14.C15.AB=BC(答案不唯一) 题型05 证明四边形是菱形 16.【解析】证明：.：∠ABC=90°，点D是AC的中点， BD-AC,CD号AC, ∴.BD=CD :BE=号AC, 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BE=CD,BD=BE」 ,BE‖AC, .BE‖CD ∴.四边形DBEC是平行四边形 .BD=BE ∴.平行四边形DBEC是菱形 17.【解析】证明：.△ABC为等边三角形， ∴.∠ABC=∠BAC=∠C=60°， BD=AE 在△ABD和△BAE中，∠ABD=∠BAE AB=BA ∴.△ABD≌△BAE SAS, ∴.∠ABF=∠BAF, ∴.AF=BF 由翻折的性质可知：AG=AF、BG=BF, ∴.AF=BF=AG=BG, .四边形AFBG是菱形. 18.【解析】四边形BEDF是菱形 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .'AB=CD, .四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,AB‖CD .∴.∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO, .'.△EAO≌△FCO AAS, ∴.AE=CF ∴.BE=DF, 又：AB‖CD, ∴四边形BEDF是平行四边形， 又.BD⊥EF ∴.四边形BEDF是菱形. 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 1.D 2.A 3.B4.A 5.D 6c.218号 9.5;2410.49 11.【解析】(1)解：：DE‖AB,DF‖AC, ∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF, .AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠FAD, .∠FAD=∠ADF, 则AF=FD, 又四边形AEDF是平行四边形， ∴.四边形AEDF是菱形 (2)解：由(1)知，四边形AEDF是菱形， ∴AE=AF,AD⊥EF, 又，∠BAC=60°，AE=6 ∴.三角形AEF是等边三角形，AE=AF=EF=6, 又，四边形AEDF是菱形， 0r-号F-3.0A=AD, 在Rt△AOF中，OA=AF2-OF2=33, ..AD=20A=63 12.【解析】(1)证明：设令EM与CD的交点为G .EM⊥BC,EN⊥CD, ∴.∠ENC=∠M=90°， ,∠EGN=∠CGM, .180°-∠ENC-∠EGN=180°-∠M-∠CGM, 即∠GCM=∠GEN=2∠DBC, ,∠DCM=∠DBC+∠BDC, 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DBC=∠BDC, .BC=DC. .OB·BE=CD·BM, .OB·BE=BC·BM, OB BM BC BE' ,∠OBC=∠MBE, ∴.△OBC一△MBE, ∴.∠BOC=∠M=90°， .AC⊥BD, ..BC=DC,AB=BC ∴.B0O=DO,AO=CO, .四边形ABCD是平行四边形， .AB=BC, ∴，口ABCD是菱形， (2)解：，四边形ABCD是菱形， ..AD=BC=AB=13,BD=2BO,AC=20C, ..CAABD=AB+AD+BD=2AB+BD,CAABC=AB+BC+AC=2AB+AC, 又C△ABD-C△ABc=14, .BD-AC=14, .2B0-20G=14, .B0-OC=7, .B0-0C=49,即B02-2B0·C0+C02=49, .AC⊥BD, ∴.在Rt△B0C中，B02+0C2=BC2=132=169, ∴.169-2B0C0=49, .B0·C0=60, :S5D号AC-BD=×2C0×2B0-2C0-B0=120, :.SABCD 号S袋形AacD=60, 连接EC, 418 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CEM+CDEN-BC-EM+ENI .G0+), .EM+EN= 120 13 o C组 思维拔高 1.C 2.c 3.D4.369V2 5.【解析】(1)解：作∠MAN如解图， A ,四边形ABCD是菱形， .'.AB=BC, 如图所示，连接AC,∠B=60°， ∴.△ABC是等边三角形， ∴.∠BAC=60°， :点M是BC中点， .AM⊥BC,即∠AMB=90°， ∴.∠BAM=30°， 故答案为：30： (2)证明：如解图，连接AC, 5/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,四边形ABCD是菱形，且∠B=60° .AB=AD=BC=CD,∠B=∠D=60°， ∴.△ABC和△ADC都是等边三角形， ∴.AB=AC,∠B=∠ACN=∠BAC=60°， ∴.∠BAM+∠MAC=60°， .∠MAN=60°， ∴.∠MAC+∠CAN=60°， ∴.∠BAM=∠CAN, ∴.△BAM≌△CAN ASA, ∴.AM=AN」 (3)解：根据题意作图如解图，过点A作AH⊥BC于点H,连接AC, D Py H P2 .四边形ABCD是菱形，且∠B=60°，AB=4, .'BC=CD=AB=4, ∴.△ABC是等边三角形， M=C1=c-2, .AH=AB2-BH=42-2=23 在Rt△APH中，AP1=V13,AH=23, .HP,=AP-AH=(V13)2-(23}=1,同理可得HP2=1, 当点P在点H的左侧(P1的位置)时，CP=CH+HP1=2+1=3: 当点P在点H的右侧(P2的位置)时，CP=CH-HP2=2-1=1: ∴.CP=1或3： 由(2)知△BAP≌△CAN ASA, ∴BP=CN, 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.DN=CP, 线段DN的长为1或3. 拓展 链接中考 1.B 2.【解析】点D的位置如图所示.分别以点A,C为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AC右侧相交，交点即 为点D 3.【解析】(1)证明：AB‖CE,BE‖AD, ∴.四边形ABED是平行四边形， 又，△ACE是直角三角形，∠CAE=90°，D是CE中点， AD=CE=DE, ∴四边形ABED是菱形. (2)解：设点A到CE的距离为h,因为AB‖CE, ∴菱形ABED的面积为SABm=DE·h=43, ,D是CE的中点， .CE=2DE, 则R△ACE的面积：SAa=子CE-h=号×2DE-h=DE~h=S意 2 2 玩3 又：R△ACE中∠CAE=90,面积也可表示为SAE方AC~AL, .AE=23 Ac283=45 化简得AC.V3=4V3, ∴.AC=4. 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 818 分层作业 1.2 菱形的性质与判定 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用菱形的性质求角度 题型02 利用菱形的性质求线段长 题型03 与菱形面积有关的计算 题型04 添加条件使四边形是菱形 题型05 证明四边形是菱形 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用菱形性质求角度 1．（2026·河南平顶山三模）如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八下·上海金山期末）如图，在菱形中，，则________． 3．（25-26八下·山东泰安期中）如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为________． 4．（25-26八下·山西长治期末）如图，在菱形中，，相交于点，于点，连接．若，则度数为 . ( 题型0 2 )利用菱形性质求线段长 5．（25-26八下·河南周口期末）如图，四边形是菱形，，，则菱形的周长为（     ） A．10 B．20 C．24 D．34 6．如图，菱形中，对角线，相交于点，若，，则的长是（     ） A．16 B．14 C．8 D．6 7．（25-26八下·湖北襄阳期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，为中点．若，，则线段的长为（     ） A．3 B．4 C． D． 8．（25-26八下·河南周口期末）如图，菱形的对角线相交于点，点在上，，，，则的长为（     ） A．9 B．10 C．13 D．15 ( 题型0 3 )与菱形面积有关的计算 9．（25-26八下·甘肃平凉期末）如图，菱形的对角线相交于点O，若，菱形的面积为30，则的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 10．（25-26八下·天津期末）已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 11．（25-26八下·江苏宿迁期末）在菱形中，，若菱形的边长为8，则面积为______． ( 题型0 4 )添加条件使四边形是菱形 12．（25-26八下·河南鹤壁阶段检测）如图，在中，对角线相交于点O，，添加下列条件，能判定为菱形的是（      ） A． B． C． D． 13．（25-26八下·安徽亳州期末）要使为菱形，则需要添加的条件是（      ） A． B． C．对角线，互相平分 D．对角线，互相垂直 14．（25-26八下·江苏南通期末）如图，中，点，，分别为边，，的中点，连接，，，下列条件中，能判断四边形是菱形的是（      ） A． B． C． D． 15．（25-26八下·新疆巴州期中）如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． ( 题型0 5 )证明四边形是菱形 16．（25-26八下·福建南平期末）如图，在中，，点是的中点．，．求证：四边形是菱形． 17．（2026·黑龙江大庆二模）如图，为等边三角形，点，分别在，边上，且，连接，交于点，将沿翻折得到．求证：四边形是菱形． 18．（2026·山东青岛大学附属中学模拟）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，过点的直线与、的延长线分别相交于点，．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 1．（24-25八下·广东汕头期末）如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八下·河南安阳期末）如图，菱形在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八下·江苏扬州期末）如图，菱形对角线，相交于点O．F为的中点，E为的中点．若，，则的长为（     ） A．5 B． C． D． 4．（25-26八下·河南南阳期末）如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 6．（25-26八下·四川眉山期末）如图，平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．240 7．（25-26八下·四川广安期末）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为______． 8．如图，四边形是菱形，，于点，则____________． 9．（25-26八下·湖北襄阳期末）如图1，点从菱形的边上一点开始运动，沿直线运动到菱形对角线的交点，再沿直线运动到点停止，设点的运动路程为，点到的距离为，到的距离为，且（当点与点重合时，），点运动时随的变化关系如图2所示，则①_________，②菱形的面积为_________． 10．（2026·海南模拟）如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________． 11．（25-26八下·福建厦门期中）如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 12．（2026·云南二模）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是对角线上的一个动点，过点作于点，于点，若，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长与的周长之差为，且，求的值． 1．【跨学科—物理问题】如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2．【最值问题】如图，四边形是菱形，，点E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为（     ） A．2 B． C． D． 3．【规律探究】在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，把菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则旋转2026次点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．【真实情境】（2026·海南海口西湖实验学校模拟）今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 5．【综合与实践】在菱形中，，作，，分别交，于点，． （1）【动手操作】如图①，若是边的中点，根据题意在图①中画出，则________度； （2）【问题探究】如图②，当为边上任意一点时，求证：； （3）【拓展延伸】如图③，在菱形中，，点，分别在边，上，在菱形内部作，连接，若，求线段的长． 1．（2026·广西中考）在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，在菱形中剪去一个菱形得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4．若，点，分别为，的中点，则图1中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西中考）如图，已知，．请用尺规作图法，求作一点，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 3．（2026·山东德州中考）如图，在 中， ，点 是 的中点．连接，在平面内找一点 ，使得 ， ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为，求线段的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2 菱形的性质与判定 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用菱形的性质求角度 题型02 利用菱形的性质求线段长 题型03 与菱形面积有关的计算 题型04 添加条件使四边形是菱形 题型05 证明四边形是菱形 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用菱形性质求角度 1．（2026·河南平顶山三模）如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】菱形中，，对角线平分， ， 与地面平行， 与地面的夹角为． 2．（25-26八下·上海金山期末）如图，在菱形中，，则________． 【答案】 【解析】∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 3．（25-26八下·山东泰安期中）如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为________． 【答案】 【解析】∵四边形是菱形， ， ， ， ， ． 4．（25-26八下·山西长治期末）如图，在菱形中，，相交于点，于点，连接．若，则度数为 . 【答案】20° 【解析】在菱形中，， ， ， ， ， 在中，是的中点， ， ． ( 题型0 2 )利用菱形性质求线段长 5．（25-26八下·河南周口期末）如图，四边形是菱形，，，则菱形的周长为（     ） A．10 B．20 C．24 D．34 【答案】C 【解析】∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长为． 6．如图，菱形中，对角线，相交于点，若，，则的长是（     ） A．16 B．14 C．8 D．6 【答案】A 【解析】∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．（25-26八下·湖北襄阳期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，为中点．若，，则线段的长为（     ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】四边形为菱形，，， ，，， ， 在中，． 为中点， ． 8．（25-26八下·河南周口期末）如图，菱形的对角线相交于点，点在上，，，，则的长为（     ） A．9 B．10 C．13 D．15 【答案】A 【解析】菱形，，， ，，， 在中，， ， ， ， ． ( 题型0 3 )与菱形面积有关的计算 9．（25-26八下·甘肃平凉期末）如图，菱形的对角线相交于点O，若，菱形的面积为30，则的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】A 【解析】∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∵菱形的面积为30， ∴， ∴， ∴． 故选A. 10．（25-26八下·天津期末）已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】菱形的两条对角线长分别是6和8， 菱形的面积为：． 11．（25-26八下·江苏宿迁期末）在菱形中，，若菱形的边长为8，则面积为______． 【答案】 【解析】如图，过点作于， 四边形是菱形，边长为， ， ， ∴， ∴， ， ． ( 题型0 4 )添加条件使四边形是菱形 12．（25-26八下·河南鹤壁阶段检测）如图，在中，对角线相交于点O，，添加下列条件，能判定为菱形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， ∴当或时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定为菱形． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 故选C. 13．（25-26八下·安徽亳州期末）要使为菱形，则需要添加的条件是（      ） A． B． C．对角线，互相平分 D．对角线，互相垂直 【答案】D 【解析】∵四边形是平行四边形， 是平行四边形的固有性质，因此选项A不能判定它是菱形； 对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，因此选项B错误； 对角线互相平分是平行四边形的性质，因此选项C不能判定它是菱形； 根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴添加条件“对角线，互相垂直”可判定为菱形. 故选D. 14．（25-26八下·江苏南通期末）如图，中，点，，分别为边，，的中点，连接，，，下列条件中，能判断四边形是菱形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵点，，分别为边，，的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； 当时，则垂直平分， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故C符合题意； A、B、D三个选项中的条件，结合现有条件无法证明四边形是菱形，故A、B、D不符合题意． 15．（25-26八下·新疆巴州期中）如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】已知四边形是平行四边形． 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 其他符合要求的条件还有、等，本题答案不唯一． ( 题型0 5 )证明四边形是菱形 16．（25-26八下·福建南平期末）如图，在中，，点是的中点．，．求证：四边形是菱形． 【解析】证明： ，点是的中点， ， ． ， ，． ， ， 四边形是平行四边形 ， 平行四边形是菱形 17．（2026·黑龙江大庆二模）如图，为等边三角形，点，分别在，边上，且，连接，交于点，将沿翻折得到．求证：四边形是菱形． 【解析】证明：为等边三角形， ， 在和中，， ， ， ， 由翻折的性质可知：、， ， 四边形是菱形． 18．（2026·山东青岛大学附属中学模拟）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，过点的直线与、的延长线分别相交于点，．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【解析】四边形BEDF是菱形. 证明：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， 又∵， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形． 1．（24-25八下·广东汕头期末）如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵四边形是菱形，， ，， 沿折叠，点落在上的点处， ， ， 又， ． 2．（25-26八下·河南安阳期末）如图，菱形在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵四边形是菱形， ∴对角线、互相平分，即与的中点坐标相同， ∵，， ∴中点为，即， 设点坐标为， ∵，与的中点坐标相同， ∴，， 解得，， ∴点坐标为． 3．（25-26八下·江苏扬州期末）如图，菱形对角线，相交于点O．F为的中点，E为的中点．若，，则的长为（     ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取的中点，连接， ∵菱形对角线，相交于点O，，， ∴，，， ∵F为的中点，E为的中点． ∴为的中位线，，， ∴，，， ∴， ∴. 4．（25-26八下·河南南阳期末）如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26八下·四川眉山期末）如图，平行四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接．若，，则四边形的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．240 【答案】C 【解析】四边形是平行四边形， ，，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ， 在中，， ， 四边形的面积． 7．（25-26八下·四川广安期末）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为______． 【答案】 【解析】∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可知，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴． 8．如图，四边形是菱形，，于点，则____________． 【答案】 【解析】∵四边形 是菱形，，， ∴，，，, 在 中，由勾股定理得： . ∴. ∵， ∴ 解得 ． 9．（25-26八下·湖北襄阳期末）如图1，点从菱形的边上一点开始运动，沿直线运动到菱形对角线的交点，再沿直线运动到点停止，设点的运动路程为，点到的距离为，到的距离为，且（当点与点重合时，），点运动时随的变化关系如图2所示，则①_________，②菱形的面积为_________． 【答案】5；24 【解析】连接，交于点，连接，如图， 由题意知，当时，的值恒等于， ， 点的运动路径是的中位线，且， 当时，， ， 由菱形的性质可得，，， ， ， ， ． 10．（2026·海南模拟）如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________． 【答案】 【解析】连接， ，和 交于点O，连接交于点O，交于点F，如图所示， ∵菱形 的边长为，， ∴，， ， ∴ 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴菱形 的面积， ∵ ， ∴， 由平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴重叠部分的面积为：， ∴重叠部分的面积与菱形 的面积之比为． 11．（25-26八下·福建厦门期中）如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【解析】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， 则， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴三角形是等边三角形，， 又∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴． 12．（2026·云南二模）如图，在四边形中，，对角线，交于点，点是对角线上的一个动点，过点作于点，于点，若，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长与的周长之差为，且，求的值． 【解析】(1)证明：设令与的交点为G． ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 连接， ∵ ∴， ∴． 1．【跨学科—物理问题】如图，菱形盒子底部有一面平面镜，从点处射入一道平行于的光线，入射光线经过镜面反射后恰好经过点（法线与平面镜垂直，反射角等于入射角），若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形ECDF是菱形， ∴ ，CD∥EF， ∵CD∥AG， ∴AG∥EF， ， ∵法线垂直于GD，反射角等于入射角， ， ∵AG∥EF， ． 2．【最值问题】如图，四边形是菱形，，点E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，连接，    ∵四边形是菱形， ∴，，， ， ， ，， ∴， ∴四边形是矩形， ， 的最小值即为最小值， ∴当时，最小，即此时最小， ∴此时满足， ， ， 最小为，即的最小值为． 3．【规律探究】在平面直角坐标系中，菱形的顶点，，把菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转，则旋转2026次点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图：过B作轴于D， ∵，， ∴, ∴, ∴，即， ∵菱形， ∴， ∴, ∵把菱形绕原点顺时针旋转，每次旋转， ∴菱形每旋转6次会回到原来的位置， ∵， ∴旋转2026次点的坐标的坐标与点的坐标相同； 根据题意作图如下：可以发现点和点B关于y轴对称， ∵， ∴，即， ∴旋转2026次点的坐标为． 4．【真实情境】（2026·海南海口西湖实验学校模拟）今年3月，为庆祝建校80周年，传承我校红色基因，学生会用一段矩形绸缎设计制作了一条红丝带，承载着师生对母校的美好祝福和深厚情谊，如图所示，矩形的宽为，中间重叠的部分（四边形）绘制校徽，若，则重叠部分图形的面积是______． 【答案】 【解析】过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 红丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：． 5．【综合与实践】在菱形中，，作，，分别交，于点，． （1）【动手操作】如图①，若是边的中点，根据题意在图①中画出，则________度； （2）【问题探究】如图②，当为边上任意一点时，求证：； （3）【拓展延伸】如图③，在菱形中，，点，分别在边，上，在菱形内部作，连接，若，求线段的长． 【解析】（1）解：作如解图， ∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，连接，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点是中点， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）证明：如解图，连接， 四边形是菱形，且， ，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：根据题意作图如解图，过点作于点，连接， 四边形是菱形，且，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ，同理可得， 当点在点的左侧（的位置）时，； 当点在点的右侧（的位置）时，； 或3； 由（2）知， ， ， 线段的长为1或3． 1．（2026·广西中考）在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，在菱形中剪去一个菱形得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4．若，点，分别为，的中点，则图1中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图3可得， ， 在菱形中，， ， 作于，交于， 四边形是菱形， ， ， ，， 中，， 点，分别为，的中点， ， 同法可求得， ． 2．（2026·陕西中考）如图，已知，．请用尺规作图法，求作一点，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【解析】点D的位置如图所示.分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧相交，交点即为点． 3．（2026·山东德州中考）如图，在 中， ，点 是 的中点．连接，在平面内找一点 ，使得 ， ． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为，求线段的长． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， 又∵ 是直角三角形，，是 中点， ∴ ， ∴四边形 是菱形． （2）解：设点 到 的距离为 ，因为 ， ∴菱形 的面积为 ， ∵ 是 的中点， ∴ ， 则 的面积：, 又∵ 中 ，面积也可表示为 ， ∵ ， ∴ 化简得 ， ∴ ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $