专题02 矩形的性质、判定及证明（题型专练）数学新教材北师大版九年级上册

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02矩形的性质、判定及证明 (题型突破举一反三) 目录 题型01矩形性质的直接应用 题型02直角三角形斜边中线模型 题型03矩形面积与周长计算 题型04矩形判定的条件选择 题型05炬形判定的证明题 题型06矩形中的折叠问题 题型07矩形与坐标系初步 题型08炬形多结论判断题 1题型01矩形性质的直接应用 典例精析 【典例1】【答案】10 举一反三 【变式1-1】【答案】2≤MW≤2.5 【变式1-2】【答案】√2+1/1+V2 【变式1-3】 【答案】()证明：：在△ABC中，AB=AC,AD是BC边的中线， 六AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=)∠CAB, 2 .∠ADB=90° ,AG为△ABC的外角∠BAF的平分线， A∠BAE=∠FAE=)∠BAF. 119 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠DAE=∠DAB+∠BAG=∠CAB+∠BAF=90 BE⊥AG, .∠AEB=90°， ∴.四边形ADBE为矩形. (2)解：：AD是BC边的中线，BC=24, .BD=CD=12, 由(1)得四边形ADBE是矩形， .AB=DE=2A0=15 在RteABD中，AD=√AB2-BD=9, 1 S.ABC= BCx4D=1x24x9=108 2 题型02直角三角形斜边中线模型 典例精析 【典例2】【答案】A 举一反三 【变式2-1】【答案】B 【变式2-2】【答案】①②③ 【变式2-3】 【答案】(1)证明：：∠BAD=45°，∠ADB=90° .∠ABD=180°-45°-90°=45°， ABII CD .∠CDB=∠ABD=45°， 又∠C=45°， .∠CBD=180°-45°-45°=90°=∠ADB. ∴.AD∥BC, :AB∥CD」 ∴.四边形ABCD是平行四边形. (2)①AP=PE, 219 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 理由如下：连接BP,如图所示： D B E 由(1)知∠CBD=90°，∠CDB=∠C=45°， .BC=BD, “△BDC是等腰直角三角形， ,点P为线段CD的中点， BP=PD=CD,∠CBP=∠DBP=)CBD=45, 2 :.∠PBE=180°-∠DBP=135°， :AB∥CD,∠BAD=45°， ∴∠ADC=180°-∠BAD=180°-45°=135°， .∠ADC=∠PBE .EP⊥AP,∠ADB=90°， .∠AD0=∠EPO=90°， ∴.∠PAD+∠AOD=∠PEB+∠POE=90°， 又∠AOD=∠POE, ∠PAD=∠PEB, .∠ADP=∠PBE,∠PAD=∠PEB,BP=PD, ∴.△PAD≌△PEB(AAS), .AP=PE. ②6v2+5 题型03矩形面积与周长计算 典例精析 【典例3】【答案】48 举一反三 319 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式3-1】【答案】A 【变式3-2】【答案】18 【变式3-3】 【答案】(I)证明：CB∥AD, .∠DAO=∠BCO AO=CO,∠AOD=∠COB, △AOD≌aCOB(ASA), :.CB=AD, .四边形ABCD是平行四边形. ,四边形AODE是矩形， .∠A0D=90°， ∴.AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形. (2)解：：四边形ABCD是菱形， .AB=AD=CD=6,BD平分∠ABC, :∠ABD=∠ABC=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴.BD=6,OD=3 A0=√AD2-0D2=6-32=3V3, S矩形4ODE=A0:OD=9V3 题型04矩形判定的条件选择 E 典例精析 【典例4】【答案】AC=BD或∠BAD=90°（合理即可） 举一反三 【变式41】【答案】D 【变式4-2】【答案】6 【变式43】 419 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)证明：：平行四边形ABCD, .AD∥BC,即ADI‖CF ∴.∠EAD=LEFC,∠EDA=∠ECF, E为线段CD的中点， ∴CE=DE .△EAD≌△EFC(AAS), ∴.AE=FE, .CE=DE, ∴.四边形ACFD是平行四边形： (2)当AB=AF时，四边形ACFD是矩形，理由见解析 题型05 矩形判定的证明题 典例精析 【典例5】【答案】D 举一反 【变式5-1】 【答案】(I)证明：连接DE O是AD的中点， ..OA=OD ..OE=BO, ∴，四边形ABDE是平行四边形， .AE BD,AE I BD. 在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC, .AD⊥BC,BD=CD .AE=CD, 519 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴四边形ADCE是平行四边形， .∠ADC=90°， ∴四边形ADCE是矩形， 1 (2解：：BD=2BC, AD=BC, BD-=40 AB=10 ..BD2+AD2=AB2, .BD2+(2BD)2=102 解得：BD=2V5, .BC=2BD=45. .AD=BC=EC=45. ..EC=45 【变式5-2】 【答案】(I)证明：：AD=CD,DE平分∠ADC, .DE⊥AC,即∠DEC=90°， .∠EDF=90°，∠DFC=90°， .四边形CEDF是矩形； (2)解：如图所示， B D AD=CD∠DEC=90°AC=2 .'AE=CE=1. 由(1)知，四边形CEDF是矩形， .∠ACB=90°. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°-∠A=30°. .AB=2AC=4, 根据勾股定理得，BC=√AB2-AC2=2√5， 619 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtBCE中，BE=VCE2+BC2=V13 【变式5-3】 【答案】(I)证明：四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AD=BC, AE=AD, ∴AE∥BC,AE=BC, .四边形AEBC是平行四边形， 又BE⊥AD, .∠AEB=90°， ∴四边形AEBC是矩形 (2)解：由(1)得四边形AEBC是矩形，AD=BC, ∠CAD=∠CAE=90°， :F为CD的中点， BF⊥AF ∠AFB=90°」 由勾股定理得BF=√AB2-AF2=V42-22=2√5 1题型06矩形中的折叠问题 典例精析 【典例6】【答案】80 举一反三 【变式6-1】【答案】B 【变式62】【答案】2或2W2-2 【变式6-3】 【答案】(1)(4,3)，5 (2)解：：矩形OACB沿直线OF折叠，使得点A落在对角线OC上的点E处，折痕与边AC交于点F, ∴.OA=OE=4,FA=FE,∠OAF=∠OEF=∠CEF=90° 719 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE=1, 设FA=FE=x, 则FC=3-x, 根据勾股定理，得FC2=EC2+EF2, .(3-x2=12+x2, 解得x4 , .EF=AF 3, 设OF的解析式为y=ka, 解得 3 3 故OF的解析式为y 3)P 题型07矩形与坐标系初步 典例精析 【典例7】【答案】(a,b) E 举一反三 【变式7-1】【答案】A 【变式7-2】【答案】D 【变式7-3】【答案】D 题型08矩形多结论判断题 三典例精析 819 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例8】【答案】①②④ 举一反三 【变式8-1】【答案】B 【变式8-2】【答案】D 【变式8-3】【答案】①②④ 919 专题02 矩形的性质、判定及证明 （题型突破·举一反三） 题型01 矩形性质的直接应用 题型02 直角三角形斜边中线模型 题型03 矩形面积与周长计算 题型04 矩形判定的条件选择 题型05 矩形判定的证明题 题型06 矩形中的折叠问题 题型07 矩形与坐标系初步 题型08 矩形多结论判断题 ▌题型01 矩形性质的直接应用 1. 基础：矩形四角90°；对角线相等且互相平分⇒OA＝OB＝OC＝OD，常由此造等腰甚至等边（经典模型：∠AOD＝120°⇒△AOB等边⇒AB＝AO＝AC）。 2. 方法：见到矩形先标“四角90°＋AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD”，角度题靠“直角三角形两锐角互余＋等腰三角形底角相等”传递；线段题优先抓OA＝OB这组等量。 3. 思维提醒：∠AOD＝120°、60°、100°这类题，本质是考“OA＝OB造等腰”，把∠AOB算出来就能定△AOB形状，进而把AB与AC的倍数关系拉出来——这是全国卷出现率最高的矩形小题模型。 【典例1】（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点．已知，则的长为________． 【答案】 10 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则． 【详解】解：∵垂直且平分线段， ∴， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点，， ∴， ∴． 【变式1-1】（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，已知矩形，，，是边上一个动点，、分别是线段、的中点，那么线段的长的取值范围是________． 【答案】 【分析】连接，根据中位线的性质得出，然后分两种情况分析：当点P与点C重合时，当点P与点D重合时，结合图形求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵、分别是线段、的中点， ∴， 当点P与点C重合时，， ∴， 当点P与点D重合时， ∵矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形中，．分别以，为圆心，长为半径画弧，交，于点，．若，则的值是______． 【答案】/ 【分析】连接，根据矩形性质和作图痕迹可得，进而证明四边形是平行四边形，结合判定其为菱形，利用菱形性质和勾股定理建立与的数量关系． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵在中，，是边的中线， ∴，， ∴， ∵为的外角的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． (2) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）根据矩形的性质求出，进而根据勾股定理求出，再由三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边的中线，， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴． ▌题型02 直角三角形斜边中线模型 1. 基础：Rt△斜边上的中线＝斜边一半（推论来源：矩形对角线相等且平分，OA＝OC＝OB＝OD中OB＝AC）。逆命题也成立：三角形中一边上的中线等于这边一半⇒该边所对角为90°。 2. 方法：题干出现“Rt△＋中点”⇒立刻连中线得倍半关系；出现“中线＝底边一半”⇒反推直角。常和中位线组合（D、E是AB、AC中点⇒DE中位线∥BC且DE＝BC，再加AF⊥BF＋D是AB中点⇒DF＝AB）。 3. 思维提醒：这个模型是矩形章节的“招牌推论”，但学生常忘记它的逆用（证直角），复习时要双向练；它也是后续“三角形外接圆圆心在斜边中点”的伏笔，九上虽不考圆，但要留印象。 【典例2】（2026·河南平顶山·三模）如图，中，，E，F分别为和的中点，是边上的高，连接，．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及中位线的性质求解即可． 【详解】解：为的中点，且， ． ． 由题意，得是的中位线， ． 【变式2-1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中， 为斜边上的中线，点是上方一点，连接 、、，且 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．2 B． C．3 D．7 【答案】B 【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而在 中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：在中， 为斜边 上的中线， ， ， ， ， 在 中，． 【变式2-2】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列个结论：①；②；③，其中一定成立的是____________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据平行四边形对边平行且相等，以及等边对等角的性质，得出，可判断①结论；延长交的延长线于点，证明，得到，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，可判断②结论；过点作交于点，利用等腰三角形三线合一的性质以及等边对等角的性质，得出，可判断③结论． 【详解】解：， ，，， ， ，是的中点， ， ， ，①结论正确； 如图，延长交的延长线于点， ， ，， 又， ， ， ，， ， 在中，点是的中点， ，②结论正确； 如图，过点作交于点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，③结论正确． 【变式2-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知：如图1，是四边形的对角线，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若点为线段上的动点（点不与点重合），连接，过点作交直线于点． ①如图2，当点为线段的中点时，请探究写出线段与的数量关系并说明理由； ②如图3，当点在线段上时，若，，则的长为_． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． (2)①， 理由如下：连接，如图所示： 由（1）知，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点为线段的中点， ∴， ， ，， ， ， ∵，， ∴， ∴， 又， ， ∵，，， ， ． ② 【分析】（1）根据已知条件证明，再由平行四边形的判定定理即可得证； （2）①连接，证明是等腰直角三角形，再证明，利用全等三角形性质即可得到； ②过点作交于点，首先证明，得，进而再证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：过点作交于点，设交于点O，如图所示： ， ， ， 根据（1）可知，， ， ，，， ，， ， ， 在中，， ∴， ∴． ▌题型03 矩形面积与周长计算 1. 基础：（a、b为相邻两边长）；周长；对角线。 2. 方法：已知一条对角线＋一边长⇒勾股求另一边⇒代；已知面积＋一边长⇒求另一边长。若题干出现“O是中心，E是OD中点，OE⊥…”类，常需结合中位线先把未知边长锁出来再算面积。 3. 思维提醒：矩形面积题常和中位线、垂线捆绑出，看到“对角线交点O＋过O作垂线”先想“OE是哪条中位线”，比硬算快。 【典例3】（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）矩形对角线长10，一边长6，则矩形面积为_______． 【答案】48 【分析】矩形的四个内角均为直角，先根据勾股定理求出矩形的另一边长，再利用矩形面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵矩形对角线长为，一边长为，矩形的内角为直角， ∴由勾股定理可得矩形的另一边长为， ∴矩形的面积为． 【变式3-1】（25-26六年级下·上海闵行·期末）如图，在长方形 中，放入六个形状、大小相同的小长方形，经测量，，．图中阴影部分的面积和为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小长方形长为，宽为 ，可得，，解答即可； 【详解】解：设小长方形长为，宽为 ．由，，可得，， 解得，． 故阴影部分的面积为：； 【变式3-2】（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，将矩形的长边增加宽边增加 得到一个面积为147的正方形．则原矩形的面积是____________． 【答案】 【分析】先根据正方形面积求出正方形边长，再用边长减去，分别求出矩形的长和宽，求出矩形面积． 【详解】正方形面积为147， 正方形边长为， ，， ． 【变式3-3】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形是矩形，延长到点，使，连接，，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ． ， ， ， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ， ， ∴平行四边形是菱形． (2) 【分析】（1）证明，则，即可证明四边形是平行四边形．根据四边形是矩形得到，即可证明平行四边形是菱形； （2）证明是等边三角形， ，勾股定理求出，即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， 平分， ， 是等边三角形， ， ， ． ▌题型04 矩形判定的条件选择 1. 基础：三条路 (1) 定义：有一个角是直角的平行四边形； (2) 对角线：对角线相等的平行四边形（上轮菱形专题里“AC＝BD”是干扰项，这轮是正用）； (3) 角：有三个角是直角的四边形（注意这条路不要求先证平行四边形）。 2. 方法：题干若已给“平行四边形”⇒补“一角为90°”或“AC＝BD”；若只给“四边形”⇒走“三个直角”，或先证平行四边再补。 3. 思维提醒：中点四边形类题“连接四边中点得EFGH，添加何条件使EFGH为矩形”⇒答“原四边形AC⊥BD”因为EF∥AC，FG∥BD，要∠EFG＝90°需AC⊥BD）——这种跨菱形＋矩形的综合是期中高频题，归在本题型下练。 【典例4】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，四边形的对角线，交于点，，．请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是_________．（写出一个即可） 【答案】或（合理即可） 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 由矩形的判定，添加或（合理即可）． 【变式4-1】（2026·陕西西安·模拟预测）在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形、一个内角是90度的平行四边形是矩形来分析，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 当时，可得平行四边形是菱形，无法判定是矩形，故A选项不符合题意；. 当时，可得平行四边形是菱形，无法判定是矩形，故B选项不符合题意； 由无法推出平行四边形满足矩形的判定条件，不能判定是矩形，故C选项不符合题意； 当时，得平行四边形是矩形，故D选项符合题意； 【变式4-2】（25-26八年级下·江西赣州·期中）如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【分析】根据矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，四边形是矩形，此时． 【变式4-3】（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接，延长、相交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)直接写出满足怎样的数量关系时，四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）证明，推出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得到四边形是平行四边形； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴，即， ∴，， ∵E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． ▌题型05 矩形判定的证明题 1. 基础：两条主流路径—— (1) 路①：先证平行四边形（对边平行且等/对角线互相平分/一组对边平行且等），再补“一角90°”或“AC＝BD”； (2) 路②：直接证“三个角90°”（适用于题干给了一堆垂直关系的纯四边形）。 2. 方法：题干给“平行四边形＋一条对角线等于另一条/一个角是直角”走①；给“一堆垂线＋对边平行”走②。 3. 思维提醒：最容易扣分仍是跳步：“先证平行四边形”这一步必须写出来（用哪种判定要标明），再写“又∵∠ABC＝90°（或AC＝BD），∴是矩形”。另外，路②“三个直角”证完第三个直角后，第四个角自动90°（四边形内角和360°），不用再证，但前三步缺一不可。 【典例5】（25-26八年级下·上海普陀·期末）已知四边形是平行四边形，下列条件中，能判定该四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊平行四边形的判定定理逐一判断选项即可. 【详解】解：四边形是平行四边形，逐一判断选项： 选项A. ，无法推出平行四边形邻边相等或对角线垂直，不能判定为菱形，不符合题意； 选项B. ，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形，不符合题意； 选项C. ，即，有一个角是直角的平行四边形是矩形，不能判定为菱形，不符合题意； 选项D. ，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定该平行四边形是菱形，符合题意. 【变式5-1】（2026·北京海淀·二模）如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接 ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，平分， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， （2）解：∵， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】（25-26八年级下·上海·期末）如图，在中，是中点，，平分交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，．连接，求的长． 【答案】(1)证明：∵，平分， ∴，即， ∵，， ∴四边形是矩形； (2) 的长为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可证明； （2）先根据等腰三角形的性质得到，再根据含角的直角三角形的性质得到，然后根据勾股定理得到，再在中利用勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示， ∵，，， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 根据勾股定理得，， 在中，． 【变式5-3】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，交的延长线于点， (1)求证：四边形是矩形； (2)已知为的中点，连接，．，，求的长． 【答案】(1)证明： 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得四边形是矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． ▌题型06 矩形中的折叠问题 1. 基础：折叠＝轴对称，折痕是对称轴；折叠前后对应线段相等、对应角相等；矩形四角90°是天然的直角传递点。 2. 方法：三步 (1) 标对应点（如C→C′，B→B′）； (2) 用“对应边相等＋矩形对边相等”设未知数； (3) 折叠后新线段常落在由原矩形两边和折痕构成的Rt△里，用勾股定理列方程是唯一通用解法。 3. 思维提醒：九上这个阶段折叠题只用勾股，所以未知数设定要围绕“哪条Rt△的三边能用已知量和x表示”来选，常见是设折痕被截的一段或落点分边的一段；若折叠后出现30°或60°，也只能用“等边/等腰＋勾股”处理。 【典例6】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，把一张矩形纸片沿（点E、F分别在、上）所在直线折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则的度数为____________． 【答案】80 【分析】根据平行线与折叠的性质求解即可. 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴． 【变式6-1】（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，且与相交于点，则的长是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据矩形和折叠可得，再根据等角对等边得出，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：矩形中，，， ， ， 折叠， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即的长是5． 【变式6-2】（25-26八年级下·河南漯河·期末）在折纸活动中，小强将一张矩形纸片（如图1）进行了两次折叠，第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上（如图2）；第二次将沿折叠，点B的对应点为G （ 如图3）．若点G落在的边上，且， 则的长为___________． 【答案】2或 【分析】第一次折叠得到，，，第二次折叠得到，，分两种情况：当点E和点G重合时，；当点G落在上时，则于点G，由勾股定理求出，再根据即可得解． 【详解】解：∵纸片是矩形， ∴，， ∵第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上， ∴，，， ∵第二次将沿折叠，点B的对应点为G， ∴，， 分以下两种情况： 如图，当点E和点G重合时，； 如图，当点G落在上时，则于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的长为2或． 【变式6-3】（25-26八年级下·天津津南·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，顶点，的坐标分别为，．将矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与边交于点． (1)填空：点的坐标为________，的长为________； (2)求的长及直线的解析式； (3)若为轴上一动点，当的周长最小时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，5 (2)； (3) 【分析】（1）根据，勾股定理，解答即可； （2）设，则，根据勾股定理，得，求得ｘ的值，再设的解析式为，求解即可； （3）当取得最小值时，的周长最小，作点Ｂ关于ｘ轴的对称点，连接，交ｘ轴于点Ｐ，此时取得最小值，设直线的解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点为坐标原点，顶点，的坐标分别为，， ∴，，，，， ∴， ∴． （2）解：∵矩形沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与边交于点， ∴，， ∴， 设， 则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴ 解得． 故的解析式为； （3）解：根据题意，得是定长，的周长为， 当取得最小值时，的周长最小， 作点B关于x轴的对称点， 连接，交x轴于点P，此时取得最小值， 设直线的解析式为， 把，代入， 得：， 解得 直线的解析式为； 当时，， 解得， 故； ▌题型07 矩形与坐标系初步 1. 基础：矩形OABC常以O为原点，OA在y轴、OC在x轴（或反过来），B(m,n)已知求A、C；或已知A(0,a)、C(c,0)求B。 2. 方法：两条抓手 (1) 对边平行且相等⇒A(0,a)、C(c,0)⇒B(c,a)； (2) 对角线互相平分⇒OB与AC中点相同⇒已知三个顶点可求第四个。 3. 思维提醒：本专题坐标系只到“求顶点”层级。若题干出现“矩形OABC中，对角线AC∥x轴”类，用“AC中点＝OB中点”反推A的坐标即可。 【典例7】（25-26八年级下·北京延庆·期中）如图，四边形是矩形，点O，A，B的坐标分别为，，，则点C的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可知对边平行且相等，结合点、的坐标即可确定点的横纵坐标． 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以，，且，， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以，， 所以，， 因为点在第一象限，则点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 【变式7-1】（2026·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，得出矩形向左平移2个单位，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，， ， ，即， ∵将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时， ∴点的对应点坐标，即矩形向左平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为． 【变式7-2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）如图，平面直角坐标系中，矩形顶点A，C坐标分别为，．若直线与矩形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】当直线过矩形的顶点，时，正好有1个公共点，根据待定系数法分别求出k的值，结合图象确定范围即可． 【详解】解：∵矩形顶点A，C坐标分别为，， ∴， ∵， ∴直线过点， 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； ∴若直线与矩形有公共点，则k的取值范围是或． 【变式7-3】（2026·山西忻州·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C，D 的坐标分别为，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，利用矩形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式求出点的坐标，再计算出点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． ▌题型08 矩形多结论判断题 1. 基础：题干给矩形＋几条中点/垂直/平分/折叠的附加线，判断4~5个小结论。 2. 方法：逐个击破 (1) 先标矩形固有性质（四角90°、AC＝BD且OA＝OB＝OC＝OD）； (2) 见中点⇒想斜边中线或中位线； (3) 见垂直＋中点⇒斜边中线倍半； (4) 折叠题叠加“对应角相等＋对应边相等”。 3. 思维提醒：这类题正式答题要推理链，但平时筛错可用特值（设AB＝4、BC＝3⇒AC＝5、OA＝OB＝2.5）快速验错误项；注意“OA＝OB＝OC＝OD”这组等量在多结论里几乎必考一次，看到O是对角线交点就要激活它。 【典例8】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在矩形中，，连接，分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线分别交于点E、F，连接．给出下面四个结论：①；②四边形是菱形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 __________．    【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，尺规作图．根据矩形的性质，可得，可判断①，由作法可得垂直平分，从而得到，进而得到四边形是菱形，可判断②；再由菱形的面积公式可判定③；再由三角形外角的性质，可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，故①正确； ∴， 由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故②正确； ∴，故③错误； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④ 【变式8-1】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，，是的角平分线，过点分别作的垂线，垂足为点，点是的中点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】延长交于点，延长和交于点，证明，推出，利用三角形中位线定理可判断①；同理可判断②；根据，，可判断③；根据三角形的外角性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，平行线的性质可判断④． 【详解】解：延长交于点，延长和交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，故①说法正确； ∵是的角平分线，， 同理， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，故②说法正确； ∵，而， ∵不能确定与相等， ∴不能确定与相等，故③说法错误； ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④说法正确． 【变式8-2】（24-25八年级下·北京·期中）2025年3月14日“国际数学节”当天，中国邮政发行了以《数学之美》为题的纪特邮票，其中一枚的主题为“勾股定理”（如图1所示）．在探究勾股定理时，我们可以利用图2证得相关结论． 如图2，点，，在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，完全平方公式的应用，熟记勾股定理是解题的关键．①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将用和表示出来，再进行比较． 【详解】解：①过点作，交于点；过点作，交于点． ∵，， ， 又， ， 四边形为矩形， 同理可得，四边形也为矩形， ， 在中， 则， 故①正确，符合题意； ②∵， ， 在中，， ， ， 故②正确，符合题意； ③∵， ，， 又， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 故③正确，符合题意； 故选：D． 【变式8-3】（25-26八年级下·吉林长春·期中） 如图，在中，．以的三边为边，在边同侧分别作三个等边三角形：、、．给出下面四个结论： ①；②四边形是平行四边形；③当时，四边形是矩形；④当为钝角时，若，点到边的距离为1，则五边形的面积为．上述结论中，正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【分析】利用等边三角形的性质和全等三角形的判定即可证明，即可判断①；同理可证，得到，即可证明四边形是平行四边形，即可判断②；求出，即可判断③；求出，，利用面积和即可判断④． 【详解】解：∵、是等边三角形． ∴， ∴， 即， ∴，故①正确； 同理可证，， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形；故②正确； 当时， ∵ ∴， ∴四边形不可能是矩形；故③错误； ∵，， ∴， 过点作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴五边形的面积为，故④正确； 综上，正确的有①②④． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02矩形的性质、判定及证明 (题型突破举一反三) 目录 题型01矩形性质的直接应用 题型02直角三角形斜边中线模型 题型03炬形面积与周长计算 题型04矩形判定的条件选择 题型05炬形判定的证明题 题型06矩形中的折叠问题 题型07矩形与坐标系初步 题型08炬形多结论判断题 题型01矩形性质的直接应用 解题必备 1.基础：矩形四角90°；对角线相等且互相平分→OA=OB=OC=OD,常由此造等腰甚至等边（经 1 典模型：∠AOD=120°→△AOB等边→AB=A0=2AC)。 2.方法：见到矩形先标“四角90°十AC=BD,OA=OC=OB=OD”,角度题靠“直角三角形两锐 角互余十等腰三角形底角相等”传递；线段题优先抓OA=OB这组等量。 3.思维提醒：∠AOD=120°、60°、100°这类题，本质是考“OA=OB造等腰”，把∠A0B算出来 就能定△AOB形状，进而把AB与AC的倍数关系拉出来一一这是全国卷出现率最高的矩形小题模型。 :典例精析 【典例1】(2026四川宜宾中考真题)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,AE垂 直且平分线段B0,垂足为点E.己知BD=20cm,则AB的长为cm. 1/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B 举一反三 【变式11】(25-26八年级下·上海宝山期末)如图，己知矩形ABCD,AB=3,BC=4,P是边CD 上一个动点，M、N分别是线段AB、AP的中点，那么线段MN的长的取值范围是」 D 【变式12】(25-26八年级下江苏南京期末)如图，在矩形ABCD中，AB<BC.分别以A,C为圆 AD 心，AB长为半径画弧，交AD:BC于点P'Q:若PQ⊥BD,则AB的值是一 P 【变式1-3】(25-26八年级下陕西榆林·期末)如图，在△ABC中，AB=AC，,AD是BC边的中线， AG平分△ABC的外角∠BAF,BE⊥LAG,垂足为E. G (I)求证：四边形ADBE是矩形： ②连接DE交AB于点0，若BC-24:40-克， 2,求△ABC的面积. 题型02直角三角形斜边中线模型 解题必备 2/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.基础：Rt△斜边上的中线=斜边一半（推论来源：矩形对角线相等且平分，OA=OC=OB=OD 中OB=2AC)。逆命题也成立：三角形中一边上的中线等于这边一半→该边所对角为90°。 2.方法：题干出现“t△十中点”→立刻连中线得倍半关系；出现“中线=底边一半”→反推直角。 常和中位线组合(D、E是AB、AC中点→DE中位线∥BC且DE=2BC,再加AF⊥BF十D是AB中点 1 DF=2AB)。 3.思维提醒：这个模型是矩形章节的“招牌推论”，但学生常忘记它的逆用（证直角），复习时要 双向练；它也是后续“三角形外接圆圆心在斜边中点”的伏笔，九上虽不考圆，但要留印象。 三典例精析 【典例2】(2026河南平顶山三模)如图，△ABC中，AB=BC,E,F分别为AB和AC的中点，AD 是BC边上的高，连接DE,EF.若DE=5,则EF的长为() E D B A.5 B.6 C.10 D.12 €举一反目 【变式21】(25-26八年级下·陕西榆林·期末)如图，在RIAABC中，CD为斜边AB上的中线，点E 是AB上方一点，连接AE、BE、DE,且AE=BE,若CD=3,AE=4,则DE的长为() D A.2 B.万 C.3 D.7 【变式22】(25-26八年级下江苏扬州期末)如图，在口ABCD中，AD=2AB,F是AD的中点，作 GE1AB,重足E在线段AB上，连接EGF,则下列3个结论：①∠DCF-BCD:②EF-CF: ③∠DFE=3∠AEF,其中一定成立的是 (填序号)· 3/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 【变式23】(25-26八年级下·江苏扬州期末)已知：如图1，BD是四边形ABCD的对角线， ∠BAD=∠C=45°，∠ADB=90°，AB∥CD D D B 图1 图2 图3 (I)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)若点P为线段CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP,过点P作EP⊥AP交直线BD于点E. ①如图2，当点P为线段CD的中点时，请探究写出线段PA与PE的数量关系并说明理由： ②如图3，当点P在线段CD上时，若AD=5,DP=6,则DE的长为· 题型03矩形面积与周长计算 三解题必备 1. 基础：S=b(a、b为相邻两边长)：周长=2(a+),对角线d=+。 2.方法：已知一条对角线十一边长→勾股求另一边→代S=b；已知面积十一边长→求另一边长。若 题干出现“O是中心，E是OD中点，OEL…”类，常需结合中位线先把未知边长锁出来再算面积。 3.思维提醒：矩形面积题常和中位线、垂线捆绑出，看到“对角线交点O十过0作垂线”先想“OE 是哪条中位线”，比硬算快。 典例精析 【典例3】(25-26八年级下·西藏日喀则期中)矩形对角线长10，一边长6，则矩形面积为. 三举一反目 【变式3-1】(25-26六年级下·上海闵行·期末)如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同 的小长方形，经测量，BC=17Cm,BE=9cm.图中阴影部分的面积和为() 4/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D 9cm B 17cm A.89cm2 B.98cm2 C.108cm2 D.112cm2 【变式32】(25-26八年级下·河北石家庄期中)如图，将矩形ABCD的长边AD增加V5,宽边AB增 加6N3,得到一个面积为147的正方形AEFG.则原矩形ABCD的面积是 【变式33】(25-26八年级下·云南昭通阶段检测)如图，四边形AODE是矩形，延长A0到点C,使 CO=AO,连接CD,AD,过点C作CB‖AD,交DO的延长线于点B,连接AB. B (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若CD=6,∠ABC=120°，求四边形AODE的面积. 题型04矩形判定的条件选择 三解题必备 1. 基础：三条路 ()定义：有一个角是直角的平行四边形： (2)对角线：对角线相等的平行四边形（上轮菱形专题里“AC=BD”是干扰项，这轮是正用）： (3)角：有三个角是直角的四边形（注意这条路不要求先证平行四边形）。 2.方法：题干若已给“平行四边形”→补“一角为90”或“AC=BD”;若只给“四边形”今走 “三个直角”，或先证平行四边再补。 3.思维提醒：中点四边形类题“连接四边中点得EFGH,添加何条件使FGH为矩形”→答“原四 5/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 边形AC⊥BD”因为EF∥AC,FG∥BD,要∠EFG=90°需ACLBD)一一这种跨菱形十矩形的综合是 期中高频题，归在本题型下练。 典例精析 【典例4】(25-26八年级下·云南昭通阶段检测)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O, AD=BC,AD‖BC.请添加一个条件，使它成为矩形，这个条件可以是 (写出一个即 可) 三举一反三 【变式41】(2026陕西西安：模拟预测)在下列条件中，能够判定平行四边形ABCD是矩形的是 () A.AB=BC B.AC⊥BD C.AC=CD D.AC=BD 【变式42(25-26八年级下江西赣州期中)如图，在口ABCD中，AC,BD相交于点O,AC=12, 则当OD=时，四边形ABCD是矩形. B 【变式43】(25-26八年级下·吉林松原期中)如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点， 连接AC、AE,延长AE、BC相交于点F,连接DF (I)求证：四边形ACFD是平行四边形： (2)直接写出AB、AF满足怎样的数量关系时，四边形ACFD是矩形. 题型05矩形判定的证明题 解题必备 6/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.基础：两条主流路径 (1)路①：先证平行四边形（对边平行且等对角线互相平分/一组对边平行且等），再补“一角90°” 或“AC=BD”; (2)路②：直接证“三个角90°”（适用于题干给了一堆垂直关系的纯四边形）。 2.方法：题干给“平行四边形十一条对角线等于另一条/一个角是直角”走①：给“一堆垂线十对边 平行”走②。 3.思维提醒：最容易扣分仍是跳步：“先证平行四边形”这一步必须写出来（用哪种判定要标明）， 再写“又，∠ABC=90°（或AC=BD),∴.是矩形”。另外，路②“三个直角”证完第三个直角后， 第四个角自动90°（四边形内角和360°），不用再证，但前三步缺一不可。 典例精析 【典例5】(25-26八年级下·上海普陀期末)己知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，能判定 该四边形为菱形的是() A.AB=AC B.AC=BD C.AB⊥BC D.AC⊥BD 举一反目 【变式51】(2026北京海淀二模)如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,O是AD的中点， 连接BO并延长到点E,使得OE=BO.连接AE,CE B D (I)证明：四边形ADCE是矩形： (2)若AB=10,AD=BC,求EC的长 【变式52】(25-26八年级下·上海·期末)如图，在△ABC中，D是中点，AD=CD,DE平分∠ADC 交AC于点E,∠EDF=90°，∠DFC=90° D (I)求证：四边形CEDF是矩形： (②)若∠A=60°，AC=2.连接BE,求BE的长. 7/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式53】(25-26八年级下·陕西西安阶段检测)如图，在口ABCD中，BE⊥AD交DA的延长线于点 E,AE=AD (I)求证：四边形AEBC是矩形： (2)已知F为CD的中点，连接AF,BF.AB=4,BF⊥AF,求BF的长. 题型06矩形中的折叠问题 三解题必备 1.基础：折叠=轴对称，折痕是对称轴；折叠前后对应线段相等、对应角相等；矩形四角90°是天 然的直角传递点。 2.方法：三步 (I)标对应点（如C→C,B→B); (2)用“对应边相等十矩形对边相等”设未知数： (3)折叠后新线段常落在由原矩形两边和折痕构成的t△里，用勾股定理列方程是唯一通用解法。 3.思维提醒：九上这个阶段折叠题只用勾股，所以未知数设定要围绕“哪条Rt△的三边能用已知量 和x表示”来选，常见是设折痕被截的一段或落点分边的一段；若折叠后出现30°或60°，也只能用 “等边/等腰十勾股”处理。 E 典例精析 【典例6】(25-26八年级下·陕西西安·期中)如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF(点E、F分别在 AD、BC上)所在直线折叠后，D、C分别落在D'、C'的位置上，ED'与BC交于点G,若 ∠DEF=50°，则∠C'FG的度数为 8/13 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 举一反三 【变式61】(25-26八年级下·河南安阳期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,将矩形 ABCD沿BD折叠，点C落在点F处，且BF与AD相交于点E,则BE的长是() A.6 B.5 C.4 D.3 【变式62】(25-26八年级下·河南漯河期末)在折纸活动中，小强将一张矩形纸片ABCD(如图1) 进行了两次折叠，第一次将△ADF沿DF折叠，使点A的对应点E落在CD上（如图2）；第二次将 △BFC沿CF折叠，点B的对应点为G(如图3)，若点G落在△DEF的边上，且AD=2,则CE的 长为 D D B F 图1 图2 图3 【变式6-3】(25-26八年级下·天津津南期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点0为坐 标原点，顶点A,B的坐标分别为(4，O),(0,3).将矩形0ACB沿直线OF折叠，使得点A落在对角线 OC上的点E处，折痕与边AC交于点F. y B E 0 (I)填空：点C的坐标为 OC的长为， (2)求EF的长及直线OF的解析式： (3)若P为x轴上一动点，当△PBF的周长最小时，请直接写出点P的坐标. 题型07矩形与坐标系初步 9/13 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 解题必备 1.基础：矩形OABC常以O为原点，OA在y轴、OC在x轴（或反过来），B(m,)已知求A、C: 或已知A(0,a)、C(c,0)求B。 2.方法：两条抓手 (①)对边平行且相等→A(0,、C(c,0)→B(c,a: (2)对角线互相平分→OB与AC中点相同→已知三个项点可求第四个。 3.思维提醒：本专题坐标系只到“求顶点”层级。若题干出现“矩形OABC中，对角线AC∥x 轴”类，用“AC中点=OB中点”反推A的坐标即可。 典例精析 【典例】(25-26八年级下·北京延庆·期中)如图，四边形OACB是矩形，点O,A,B的坐标分别为 (0,0),(a,0),(0,b),则点C的坐标为 A E 举一反三】 【变式7-1】(2026河南中考真题)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x轴上，对角 线OB,AC交于点P,OA=2,OC=4.将矩形OABC向左平移，当点P的对应点落在y轴上时，点 A的对应点的坐标为() B C衣 A.（-2,2) B.（-2,1 c.(0,2) D.(0,1) 【变式72】(25-26八年级下·福建厦门期末)如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD顶点A,C坐标 分别为1，)，(4,3).若直线y=:-2k与矩形ABCD有公共点，则k的取值范围为() 10113 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-1≤ks1 D.5-1威号 【变式73】(2026山西忻州一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,C,D的坐 标分别为(-2,0)，(3,0)，(-，2)，则点B的坐标为() A.(1.5,-2) B.(2,-1) C.（-2,2) D.(2,-2) 题型08矩形多结论判断题 解题必备 1.基础：题干给矩形+几条中点/垂直/平分/折叠的附加线，判断4~5个小结论。 2. 方法：逐个击破 (I)先标矩形固有性质（四角90°、AC=BD且OA=OB=OC=OD); (2)见中点→想斜边中线或中位线： (3)见垂直十中点→斜边中线倍半： (④)折叠题叠加“对应角相等十对应边相等”。 3. 思维提醒：这类题正式答题要推理链，但平时筛错可用特值（设AB=4、BC=3→AC=5、OA= OB=2.5)快速验错误项；注意“OA=OB=OC=OD”这组等量在多结论里几乎必考一次，看到O是 对角线交点就要激活它。 典例精析 【典例8】(23-24八年级下吉林长春期末)如图，在矩形ABCD中，AB<BC,连接AC,分别以点 A和点C为圆心，大于AC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N,直线MN分别交AD、BC 11/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 于点E、F,连接CE、AF.给出下面四个结论：①AB⊥BC:②四边形AECF是菱形：③ AC·EF=AE·AB；④∠DEC=2∠DAC.上述结论中，所有正确结论的序号是 三举-反目 【变式81】(25-26八年级下北京海淀期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AM是△ABC的角平 分线，过点B,C分别作AM的垂线，垂足为点D,E,点F是BC的中点，连接CD,DF,EF.给出下面 四个结论：①EFI‖AB;②DF⊥BC;③AC+BD=AB;④∠DFE=∠BDC.上述结论中，所有正确 结论的序号是() A.①② B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【变式82)(2425八年级下北京期中)2025年3月14日“国际数学节”当天，中国邮政发行了以 《数学之美》为题的纪特邮票，其中一枚的主题为“勾股定理”（如图1所示）.在探究勾股定理时， 我们可以利用图2证得相关结论， 120忠眼政 a B 图1 图2 如图2，点A,B,C在同一条直线上，点B在点A,C之间，点D，,E在直线AC同侧，AB<BC, ∠A=∠C=90°，△EAB≌△BCD,连接DE,设AB=a,BC=b,DE=C,给出下面三个结论：① a+b<c;②a+b>Va2+b;③V2(a+b)>c.上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【变式8-3】(25-26八年级下·吉林长春·期中)如图，在△ABC中，∠BAC>60°.以△ABC的三边为 12113 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 边，在边BC同侧分别作三个等边三角形：△ACD、△BCE、△BAF.给出下面四个结论： ①△ABC≌△FBE;②四边形ADEF是平行四边形；③当∠BAC=90°时，四边形ADEF是矩形；④当 ∠BAC为钝角时，若BC=4,点A到边BC的距离为1，则五边形BCDEF的面积为4+4V3.上述结论 中，正确结论的序号是 13/13