2.1.1锐角的正弦和余弦 课件 2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦锐角正弦的定义及特殊角正弦值，通过回顾含30°角直角三角形性质导入，以“30°角对边与斜边比值为常数”为起点，逐步探究任意锐角该比值的不变性，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究式教学引导学生通过相似三角形推理得出正弦定义，结合平面直角坐标系中点的坐标求正弦等典例，培养数学思维与模型意识。课堂小结系统梳理定义及特殊角值，助力学生构建知识网络，教师可借助丰富例题与练习提升教学效率。

湘教版·九年级上册 2.1.1 正弦及特殊角的正弦值 第一章 锐角的正弦、余弦、正切 学 习 目 标 1 2 理解并掌握锐角三角函数中正弦的定义，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定 (即正弦值不变). (重点) 能根据正弦概念正确进行计算. (重点、难点) 知识回顾 含 30°角的直角三角形有怎样的性质？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 知识要点 典例分析 A B C 30° 35 m 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB. 如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？ 根据“直角三角形中30°角所对的 边等于斜边的一半”，可知 ∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m). 故需要准备 70 m 长的水管. 新知探究 知识要点 任意画一个 Rt△ABC ，其中∠C=90°，∠A = 30° (如图2.1-1所示)，则∠A的对边 BC 与斜边 AB 之间的关系为BC = AB. A B C 30° 探究一：正弦的概念 新知探究 知识要点 由上面可以看出：在有一个锐角为30°的所有直角三角形中，不论直角三角形的大小如何，30°角的对边与斜边的比值都是常数 . A B C 30° 若把30°角换成任意一个锐角，角α的对边与斜边的比值是否也是一个常数？ 新知探究 知识要点 如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°，则 成立吗？为什么？ A B C α D E F α 因为∠A =∠D = α，∠C =∠F = 90°， 所以△ABC∽△DEF， 从而 因此 在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 新知探究 知识要点 方法总结： 如图，在 直角三角形中，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫作∠A 的正弦，记作 sin A ，即 例如，当∠A ＝30° 时，由前面的分析可知 ∠A 的对边 斜边 sin A = α c a b 对边 斜边 A B C 新知探究 知识要点 1. 正弦是在直角三角形中定义的，因此在研究正弦时先要确定三角形是直角三角形. 2. 正弦反应了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值，没有单位. 4. sinA正弦的符号“sin” 一定要小写，且要注意“∠”的使用：sin∠A，sin∠1，sin∠ABC. 3. 当锐角的度数确定时，其正弦值也随之确定，正弦值与直角三角形的边的长短无关，即与三角形的大小无关. 可省略 不可以省略 注意事项 典例分析 其他性质 (2)∠B 的对边是 AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2 - BC2 = 52 - 32 = 16. 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 5. （1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值. A B C 5 3 解：(1)∠A 的对边 BC = 3，斜边 AB = 5，于是 于是 AC = 4. 典例分析 其他性质 练一练 1. 求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值. 解：图①，在Rt△ABC中，由勾股定理得 典例分析 其他性质 2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D ，则下列结论不正确的是 ( ). C 练一练 其他性质 典例分析 3. 在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100倍，sin A 的值 ( ) A. 扩大 100 倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C 练一练 其他性质 典例分析 例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4． A (3，0) 在 Rt△APO 中，由勾股定理得 因此 其他性质 典例分析 4. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin α 等于 ( ) O x y P (a，b) α A. B. C. D. D 练一练 其他性质 新知探究 方法总结： 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 其他性质 新知探究 探究二：正弦的简单应用 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ，BC = 3，求 sin B 及 Rt△ABC 的面积. A B C 提示：已知 sin A 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出sin B 及 Rt△ABC 的面积. 其他性质 新知探究 解：∵∠C = 90°， ∴ ∴ AB = 3BC = 3×3 = 9. ∴ ∴ ∴ 其他性质 典例分析 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，AB = c，则 BC = ck， AC = ch. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，BC = a，则 AB = AC = 方法总结： 其他性质 典例分析 D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2 练一练 4. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = ，BC = 6，则 AB 的长为 ( ) 5. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sin A = ，AB = 6， 那么 BC =_____. 其他性质 典例分析 即 24x = 24，解得 x = 1. 故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. ∴ △ABC 的周长为 BC + AC + AB = 7 + 24 + 25 = 56 (cm). 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 例 4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长． 解：由 sin A = ，设 BC = 7x cm，则 AB = 25x cm. 方法总结： 已知一边及其邻角的正弦值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题. 22 其他性质 新知探究 探究三：特殊角的正弦值 思考1： 如何求 sin 60°的值？ AC2=AB2－BC2=AB2－( AB)2= AB2. 于是 AC= AB． 根据勾股定理，得 如图2.1-5，画一个 Rt△ABC ，使∠C=90°，∠B = 60°，则∠A=30°，从而BC = AB. A B C 60° 图2.1-5 思考2：如何求 sin 45° 的值？ 如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A = 45°. 于是∠B = 45°. 从而 AC = BC． 根据勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = BC2 + BC2 = 2BC2. 于是 AB= BC. 因此 新知探究 24 其他性质 三个特殊角 (30°， 45°， 60°)的正弦值 方法总结： 典例分析 例5：计算： 解： (sin30°)2 简记为sin230°. 典例分析 6.计算：（1） sin230°+ sin260° －sin245°； 解： sin230°+ sin260° －sin245°； 练一练 典例分析 （2）2sin30°+ sin260°sin245° 解： 2sin30°+ sin260°sin245° 练一练 课堂练习 1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( ) A. 扩大为原来的 2 倍 B.不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定 B 2. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，sin A 的值为( ) 7 A C B 3 A. B. C. D. A 课堂练习 3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 . 解析：∵ AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，∴ AB2＝BC2＋AC2． ∴ ∠ACB＝90°． ∴ sin∠ABC＝ 课堂练习 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5.求sin A，sin B的值. A B C 解：∠A的对边BC=5，斜边AB=13. ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得 AC2= AB2－BC2= 132－52=144. 于是 AC = 12. 于是 因此 课堂练习 5.如图，在平面直角坐标系内有一点 P(3，4) ，连接OP，求OP与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，过点P作 x 轴的垂线，垂足为A，则点A坐标为(3，0). 在Rt△APO中，由勾股定理得 OP2 = AP2 + AO2 = 42+32=25. 于是OP=5. 因此 P(3，4) 1 2 3 4 1 2 3 4 y x O A 课堂小结 在直角三角形中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作角A的正弦，记作sin A，即 A B C 斜边c 对边a 拓展提升 1.计算： 解：原式 sin30° + sin245° + sin60° 拓展提升 2. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以由哪两条线段之比表示? A C B D 解：∵ CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°． ∴∠ACD = ∠B = 90°－∠A． ∴ (2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值. 解： 由 (1) 知， 课堂练习 3. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求△ABC 的面积. D 5 5 C B A ∴ 又∵ AB = AC，BD⊥AC，∴ AC = 2AD = 6， ∴ S△ABC = AC · BD÷2 = 12. 解：作 BD⊥AC 于点 D． ∵ sin A = ， 感谢聆听! $