2.1锐角的正弦和余弦（第1课时正弦及特殊角的正弦值）（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦锐角正弦概念及特殊角正弦值，通过回顾直角三角形定义和30°角直角三角形性质（八年级旧知）搭建学习支架，引导学生探究锐角固定时对边与斜边比值的不变性，逐步建立正弦概念。 其亮点在于以“做一做”“小组合作”等活动，让学生从具体直角三角形观察比值（数学眼光：几何直观），用相似三角形证明比值为常数（数学思维：推理意识），结合坐标点求正弦等实例（数学语言：符号表达）。助力学生发展探究能力，教师可借助结构化流程提升教学效率。

第2章 锐角正弦、余弦、正切 第1课时 正弦及特殊角的正弦值 2.1 锐角的正弦和余弦 导入新课 什么是直角三角形？ 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 在八年级上册，我们学了直角三角形。 含 30°角的直角三角形有怎样的性质呢？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 学 习 目 标 1 2 3 知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（重点） 理解并掌握正弦概念，会求直角三角形中锐角的正弦值。（重点） 学习并掌握一些特殊锐角的正弦值，会进行相关的计算 （重点） 新知探究 做一做 请同学们任意画一个Rt△ABC ，其中∠C=90°，∠A=30°。 A B C 30° BC = AB. 思考：∠A的对边BC与斜边AB的值是多少呢？ = 那你们所画的直角三角形一样大吗？∠A的对边BC与斜边AB的值都是吗？ 你能得到什么结论？ 若把30°角换成任意一个锐角α，角α的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？ 在有一个锐角为30°的所有直角三角形中，不论直角三角形的大小如何，30°角的对边与斜边的比值都是常数 新知探究 探 究 如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A =∠D=α， ∠C =∠F=90°，则成立吗？为什么？ A B C α E F D α 因为 ∠A=∠D =α，∠C=∠F= 90°， 所以 △ABC∽△DEF. 我们可以得到什么结论呢？ 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 锐角α的正弦 证明三角形相似 两角对应相等 新知探究 总结归纳 正弦 在直角三角形ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦， 记作sinA. sinA是一个完整的数学符号，是一个整体，不能理解成sin·A 2.sinA是在直角三角形中定义的，∠A必须是锐角。 3.sinA是一个比值，没有单位，其大小只与∠A的大小有关，与直角三角形的边长无关。 4.当锐角用一个大写字母或希腊字母表示时，省略“∠”号（如sinA、sinα）；当用三个大写字母或数字表示时，不能省略（如sin∠ABC、sin∠1）。 斜边c 对边a 不可以省略 例1 如图2.1-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC = 3，AB = 5. （1）求 sinA 的值； （2）求 sinB 的值. 典例分析 A B C 解 (1) ∠A的对边 BC=3，斜边 AB = 5， 于是 (2) ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2－BC2 = 52－32 =16. AC = 4. 因此 于是 方法：求正弦值就是找这个角的对边与直角三角形的斜边。 新知探究 思 考 小组合作 问题1：如何求sin 60°的值？ 问题2：如何求sin 45°的值？小芳算出，你认为她的结果对吗？ 新知探究 如图所示，构造一个 Rt△ABC，使∠B = 60°，则 ∠A = 30°，从而BC=AB. 根据勾股定理得 AC2 = AB2 - BC2 = AB2 - 问题1：如何求 sin 60°的值？ 于是 AC= AB． 问题2：如何求sin 45°的值？小芳算出，你认为她的结果对吗？ 新知探究 根据勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2. 如图，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，则∠B=45°，从而AC=BC． 于是 ， A B C 45° sin 30°的值是多少呢? 新知探究 总结归纳 30°、45°、60° 角的正弦值 锐角α 正弦 30° 45° 60° sin α 观察上述三个角的正弦值，思考：锐角的正弦值与角度的大小有什么变化规律？ 锐角的正弦值随着角度（0°~90°）的增大而增大。 例2 计算：sin230°－sin45°＋sin260° 典例分析 解： sin230°－sin45°＋sin260° 熟记30°、45°、60°的正弦值. (sin30°)2 简记为sin230°. 基础巩固题 新知应用 A 10m 6m B C 1) 如图 (1) sinA= （ ） (2)sinB= （ ） (3)sinA=0.6m （ ） (4)SinB=0.8 （ ） √ √ × × sinA是一个比值，是一个正数，无单位； sinA是在直角三角形中定义的 sinB是角B的对边与斜边的比 2)如图，sinA= （ ） 1、判断题 × 基础巩固题 新知应用 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D，下列结论中不正确的是（ ） A. sinB= B. sinB= C. sinB= D. sinB= C 正弦是在直角三角形中定义的。 基础巩固题 新知应用 3. 在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 1000 倍，sin A 的值 ( ) A. 扩大 1000 倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 基础巩固题 新知应用 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5.求sinA，sinB的值. A B C 解：∠A的对边BC=5，斜边AB=13. ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得 AC2= AB2-BC2= 132-52=144. ∴AC=12. ∴ ∴ 基础巩固题 新知应用 5、如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. α 解：如图，过点P作 x 轴的垂线，垂足为A，则点A坐标为(3，0). 在Rt△APO中，由勾股定理得 OP2 = AP2 + AO2 = 42+32=25. 于是OP=5. 因此 A 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 基础巩固题 新知应用 6.计算： (1)sin²60°+sin²45°； (2)1-2sin 30°sin 60° 解： (1)sin²60°+sin²45° 解： (2)1-2sin 30°sin 60° =1-2× 能力提升题 新知应用 7.已知α为锐角,且sin(α-10°)=，,则α的度数为(　　) A.30°　　　　B.50°      C.60°　　　 D.70°   D 8、若∠A是锐角，且sinA＝，则（    ） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° A α-10°=60° 锐角的正弦值随着角度（0°~90°）的增大而增大。 能力提升题 新知应用 9、如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A=，BC = 3，求 sin B 及 Rt△ABC 的面积. A B C 解：∵∠C = 90°， ∴ ∴ AB = 3BC = 3×3 = 9. ∴ ∴ ∴ 分析：已知 sin A 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sin B 及 Rt△ABC 的面积. 能力提升题 新知应用 10、在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1.求BC的长． 课堂小结 正 弦 正弦的应用 正弦的概念 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 ∠A的对边 斜边 sin A = 特殊角的正弦值 30°,45°,60°的正弦值 特殊角的正弦值的计算 感谢聆听! 解：在Rt△ABD中，∵sinB＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(1,3)，又∵AD＝1， ∴AB＝3， ∵BD2＝AB2－AD2， ∴BD＝eq \r(32－12)＝2eq \r(2). 在Rt△ADC中，∵∠C＝45°， ∴CD＝AD＝1. ∴BC＝BD＋DC＝2eq \r(2)＋1 $