第20章 二次根式 单元测试 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

**基本信息** 初中数学二次根式单元复习卷，全面覆盖概念、性质、运算及应用，通过基础题、综合题及文化/生活情境题，培养抽象能力、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式概念、有意义条件、化简计算|基础巩固，梯度合理| |填空题|6/18|化简、比较大小、圆环宽度（土楼文化情境）|结合传统文化，考查几何直观| |解答题|8/72|混合运算、化简求值、用电器电压（实际应用）、木板面积探究（创新应用）|分层设计，综合考查运算能力与模型意识，贴合真题趋势|

第20章二次根式单元测试卷 一、单选题(每题3分，共30分) 1．下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 2．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 3．使代数式有意义的的取值范围是（     ）． A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式被开方数为非负数和分式分母不为，即可求解的取值范围． 【详解】∵代数式有意义， ∴，解得：且 ∴的取值范围是且． 4．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式合并规则、二次根式乘除法则、二次根式的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误； 选项B：，故B计算错误； 选项C：，故C计算错误； 选项D：，故D计算正确． 5．学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算出矩形花圃的长和宽，再求出面积即可． 【详解】解：∵矩形花圃的周长为，宽为， ∴矩形花圃的长为， ∴花圃的面积为． 6．若，则化简的结果是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先利用完全平方公式对根号内多项式配方，再根据二次根式性质转化为绝对值式，最后结合的取值范围去掉绝对值符号合并计算即可． 【详解】解：，， 原式， ， ，， 去掉绝对值化简得，． 7．已知，则化简的结果为（   ） A．6 B．3 C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，代数式求值，二次根式的混合运算；根据，可以得到，即可得到 ，再根据利用平方差公式求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴， 故选：B． 8．化简结果为（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式 ． 9．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 10．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．化简： ______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，先计算零指数幂，再化简二次根式，最后计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及运用完全平方公式进行计算，将根号内的被开方数配成完全平方形式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：， ， ， ． 13．计算的结果是______． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质化简，然后利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 14．比较大小：______（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】根据，，比较解答即可． 【详解】解： ，， ， ∵， ∴， 故， 即， 因此， 即． 15．如图1，土楼是中国传统的夯土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同心圆构成的圆环．已知大圆和小圆的面积分别为和，则圆环的宽度________ ．（，结果化为最简二次根式） 【答案】 【分析】根据圆的面积公式分别求出大圆和小圆的半径，再利用圆环宽度等于大圆半径减去小圆半径进行计算． 【详解】解：设大圆的半径为 ，小圆的半径为， 由题意得 ，， 解得，， ． 16．已知是整数，则正整数n的最大值为____． 【答案】18 【分析】根据二次根式有意义的条件可得被开方数非负，结合是正整数，可知为正的完全平方数，要得到正整数的最大值，只需要让取最小的正完全平方数即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴，是整数， 解得， ∴是完全平方数， 要使正整数的值最大，需使取最小的完全平方数，即， 解得． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．计算：． 【答案】 【分析】先对两个根号内的多项式配方，将其整理为完全平方式，再利用二次根式的性质化简，化简过程去绝对值符号再运算即可． 【详解】解：， ， ∴原式． 18．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】先进行乘法运算，再利用二次根式的性质化简后进行加法运算即可； 利用完全平方公式和平方差公式先展开，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 19．已知最简二次根式和能合并． (1)求x，y的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得出最简二次根式和是同类二次根式，再根据同类二次根式的定义得出，求解即可； （2）把、的值代入计算即可． 【详解】（1）解：若最简二次根式和能合并， 则最简二次根式和是同类二次根式， 所以， 解得； （2） 解：当时，． 20．先化简，再求值：，其中， 【答案】，． 【分析】本题主要考查了整式的化简与求值，以及平方差公式、完全平方公式的应用．熟练掌握平方差公式、完全平方公式以及合并同类项的技巧是解题的关键． 利用平方差公式、完全平方公式以及合并同类项进行化简．化简完成后，再将给定的和的值代入化简后的式子中，求出最终的结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 21．已知，求的平方根． 【答案】 【详解】解：由题意，得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 22．用电器的电阻R（单位：），功率P（单位：）与它两端的电压U（单位：）之间满足关系．已知某个用电器的电阻为，功率为，求该用电器两端的电压．（结果化为最简二次根式） 【答案】 【分析】先将已知的电阻R和功率P代入题目给出的关系式，得到关于U的方程，结合电压为正数求出U，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解：已知 ， ， ， 将数值代入公式得 ， 整理得 ， 因为电压为正数，即 ， 因此 ， 答：该用电器两端的电压是 ． 23．已知，求的值，小明是这样分析与解答的： 因为， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以 ． 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)计算：； (3)若，求 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接分母有理化即可得到答案； （2）可求出（n为正整数），据此把所求式子的每一项分母有理化，再计算即可； （3）分母有理化得到，则，进而得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：设n为正整数， 则， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 24．有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行． 【答案】(1) (2)解：∵要裁的长方形面积为，宽为， ∴它的长为 ， ∵原长方形的长为、宽为， ∴， 即要裁出的长方形的长大于原长方形的任意一边， ∴小牛的想法不可行． 【分析】（1）因为正方形是面积为的正方形，所以先根据正方形面积公式求其边长。因为正方形边长等于，也等于，所以代入和的长度，可分别求出长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算其面积． （2）先根据裁出长方形的面积和宽，用长方形面积公式求出其长，再将裁出长方形的长和宽分别与长方形的长和宽比较大小，判断是否可行． 【详解】（1）解：∵正方形面积为， ∴正方形边长为． ∵，： ∴， ． ∴长方形的面积为 ． （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第20章二次根式单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列各式是二次根式的有() 1)2,219,(3)V+1;(49,5)-2x-2 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 13-m 2.已知 是整数，则自然数m的值可以是() A.3 B.4 C.5 D.6 1+x 3.使代数式x-1有意义的x的取值范围是(). A.x≥-1且x≠1B.x≥-1 C.x>-1且x≠1D.-1≤x<1 4.下列计算正确的是() A.3+4V2=7V2 B.2W7-V7=1 ÷6=2 D.V(-3)=3 5。学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为6、5-3)m.为了给花面国上防护围栏，测 得围栏的总长度为（105-6)m 则这块花圃的面积为() A.9m2 B.(9-3v5)m2 C.18m2 D.(18-63)m2 6.若1Kx<2,则V4-4+r+P+2x+1 化简的结果是(). A.2x-1 B.-2x+1 c.3 D.-3 7.已知x+y=0,则化简N+3+>+3+的结果为() A.6 B.3 C.-3 D.0 8.化简-4+3-列结果为() 试卷第1页，共3页 A.-1 B.2π C.7-2π D.1 9.根据以下程序，当输入5时，输出结果为《) 是 /输入x 计算vx2-1 结果<2 输出结果 否 A.1 B.② C v3 D.2 10.已知a是正整数，且V31-a 的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为() A.136 B.131 C.100 D.94 二、填空题（每题3分，共18分） 11.化简：V3+22-(π-3)°= 12.V8-2万= √6 13.计算√2-√3的结果是 14.比较大小：V6-V5 √20（填“>”，“=”，“<”） 15.如图1，土楼是中国传统的夯士土民居建筑，图2是其水平切面示意图，它是由两个同 心圆构成的圆环.已知大圆和小圆的面积分别为2880m和720m,则圆环的宽度d= m.(π≈3，结果化为最简二次根式) 图1 图2 16,已知8-”是整数，则正整数n的最大值为一 三、解答题（每题9分，共72分） 试卷第2页，共3页 17.计算：V4-25+V4+25 18.计算： 5+36)x6 2(V7-+(23+25)23-25) 19.已知最简二次根式 x-92x+y-5 和V-3y+1 能合并. (1)求x,y的值： ②求VR+严的值。 x=4 (2)解：当y=3时，√2+y=V+32=5. 20.先化简，再求值： [(x+-(x+2yx-y)+(x-y--2y0+÷x,其中x=, y=V3 Vx2-4+V4-x2+1 21.已知y= x-2 ,求-3x+4y的平方根. 22.用电器的电阻R(单位：2)，功率P(单位：W)与它两端的电压U(单位：V) 之间满足关系P= R·已知某个用电器的电阻为160’功率为1500W,求该用电器两端的 电压.（结果化为最简二次根式） 1 23.已知a=2+√3，求2a2-8a+1的值，小明是这样分析与解答的： 2-V5 因为25+2-同2- 所以a-2=V5 所以a-2=3,则2-4a+4=3, 试卷第3页，共3页 所以a2-4a=-1, 2a2-8a+1=2(a2-4a+1=2×(-1)+1=-1 所以 请你根据小明的分析过程，解决下列问题： 1 (1)化简：2+1 1 1 1 1 (2)计算：2+13++4+5++ √2027+√2026： 1 a= 3)若3+22，求3a2-18a+1的值. 24,.有一块长方形木板1BCD ,小牛采用如图的方式，将木板的长4D增加 23cm(即 DE=25cm),宽48结n6N5cm(画BG=65m),利到-个面积为192 的正方形 AGFE .E B (I)求长方形木板ABCD的面积； 6 m (2)小牛想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为18cm2,宽为2的长方形木料，请通 过计算说明小牛的想法是否可行. 试卷第4页，共3页