精品解析：四川达州市渠县琅琊中学2025-2026学年七年级下学期期末自测数学试卷

四川省达州市渠县琅琊中学2025-2026学年七年级下学期期末自测数学学科 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列动物图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 4. 对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的乒乓球数 10 20 50 100 200 500 1 000 优等品 7 16 43 81 164 414 831 优等品率 0.700 0.800 0.860 0.810 0.820 0.828 0.831 则在这批乒乓球中任取一个，估计它为优等品的概率约为（结果精确到0.01）（ ） A. 0.70 B. 0.80 C. 0.83 D. 0.86 5. 若，则为（ ） A. 8 B. 2 C. D. 6. 如图所示，在中，D、E、F分别为、、的中点，且，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图1，， ， 点P以每秒的速度从B点出发， 沿路线运动，到D停止． 如图2， 反映的是的面积与点 P运动时间x(秒)两个变量之间的关系， 则梯形的面积为（ ）． A. 72 B. 64 C. 48 D. 36 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是__________． 10. 计算：_______ ． 11. 在地球某地，气温（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以近似的用表示．根据这个关系式可知，当时，_______． 12. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则__________． 13. 如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 先化简，再求值：[（x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2． 16. 手机微信抢红包有多种玩法，其中一种为“拼手气红包”，用户设定好总金额以及红包个数后，可以随机生成不等金额的红包．现有一用户发了四个“拼手气红包”，随机被甲、乙、丙、丁四人抢到． （1）以下说法正确的是______（直接填空）； A．甲抢到的红包金额一定最多 B．乙抢到的红包金额一定最多 C．丙抢到的红包金额一定最多 D．丁不一定抢到金额最少的红包 （2）若这四个“拼手气红包”金额分别为35元、33元、20元、12元，则甲抢到红包的金额超过30元的概率是多少？ 17. 如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． （1）试说明：； （2）试求的度数； （3）若点是的中点，则，试求的值． 18. 已知直线，在三角形纸板中，．   （1）将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则__________； （2）将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； （3）在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 一辆汽车在行驶的过程中，已知汽车行驶的速度是60千米/小时，若设x小时行驶的路程为y千米，那么变量y与x之间的关系式为______． 20. 一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有_______个绿球． 21. 著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 22. 如图，在四边形中，E是边的中点，平分且，若，，则_______． 23. 如图，在四边形中， ，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在四边形中，，动点P沿的路径运动，速度为．记的面积为，S与运动时间的关系如图2所示，请回答下列问题． （1）图1中______； （2）当时，的面积S与运动时间t的关系式是______． （3）当的面积为时，求运动时间t的值． 25. 观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② （1）利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； （2）已知，求值； （3）已知，求的值． 26. 【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．如图1，在中，CM为的中线，若，求的取值范围． 倍长中线法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到 ，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围为 ； 【实践应用】为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时测得旗杆高度，教学楼高度， 则的长为 m； 【拓展探究】如图4，C为线段上一点，，分别以为斜边向上作等腰和等腰，M为中点， 连结． ① 判断的形状，并证明； ② 若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置(A，C，B不在同一条直线上)，连结，M为中点，且D，E在同侧，连结．若 ，，则与的面积之差为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县琅琊中学2025-2026学年七年级下学期期末自测数学学科 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列动物图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的特征是解题的关键．根据轴对称图形关于对称轴折叠，对称轴两旁的部分能够完全重合，逐项判断即可． 【详解】解：A. 不是轴对称图形，故选项不符合题意； B. 是轴对称图形，故选项符合题意； C. 不是轴对称图形，故选项不符合题意； D. 不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式、合并同类项，根据幂的运算性质、积的乘方、完全平方公式及合并同类项法则逐一判断． 【详解】解：A、，故A选项计算错误； B、，B选项计算正确； C、，故C选项计算错误； D、与不是同类项，无法合并，故D选项计算错误． 故选：B． 3. 如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 【详解】解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 4. 对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的乒乓球数 10 20 50 100 200 500 1 000 优等品 7 16 43 81 164 414 831 优等品率 0.700 0.800 0.860 0.810 0.820 0.828 0.831 则在这批乒乓球中任取一个，估计它为优等品的概率约为（结果精确到0.01）（ ） A. 0.70 B. 0.80 C. 0.83 D. 0.86 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率．理解相关知识是解答关键． 通过观察不同抽取数量下的优等品率，发现随着抽取数量的增加，频率逐渐稳定在0.83附近，因此可用此频率估计概率． 【详解】解：由表格数据可知，当抽取数量较小时，优等品率波动较大（如0.70到0.86），但随着抽取数量增大至500和1000时，优等品率分别为0.828和0.831，逐渐稳定在0.83左右．根据频率稳定性定理，当试验次数足够多时，频率可作为概率的估计值，因此，任取一个乒乓球为优等品的概率约为0.83． 故选：C． 5. 若，则为（ ） A. 8 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据整式的乘法进行计算，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 6. 如图所示，在中，D、E、F分别为、、的中点，且，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】三角形的一条中线分三角形为两个三角形，这两个三角形的面积相等，根据以上内容求出每个三角形的面积，即可求出答案． 【详解】解：∵S△ABC=16cm2，D为BC中点， ∴S△ADB=S△ADC=S△ABC=8cm2， ∵E为AD的中点， ∴S△CED=S△ADC=4cm2， ∵F为CE的中点， ∴S△DEF=S△DEC=2cm2； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的面积，能灵活运用等底等高的三角形的面积相等进行求解是解此题的关键． 7. 如图，长方形纸片沿折叠，两点分别与对应，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查长方形与折叠问题，平行线性质的应用；根据折叠得到，根据平行线性质得到，计算即可求出． 【详解】解：∵长方形纸片沿折叠，两点分别与对应， ∴， ∵为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图1，， ， 点P以每秒的速度从B点出发， 沿路线运动，到D停止． 如图2， 反映的是的面积与点 P运动时间x(秒)两个变量之间的关系， 则梯形的面积为（ ）． A. 72 B. 64 C. 48 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用图象和关系式表示变量之间的关系．根据图2可得点P在上运动了6秒，在上运动了2秒，进而求出梯形上下底和高的长度，再根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由图可知，0-6秒时，点P在线段上，6-8秒时，点P在线段上， 点P的运动速度为， ，， ， ， 梯形的面积， 故选A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 10. 计算：_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】由同底数幂的乘方运算的逆运算、积的乘方运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 11. 在地球某地，气温（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以近似的用表示．根据这个关系式可知，当时，_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，把代入计算即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故答案为：8． 12. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，根据摸出白球的概率，运用概率的计算公式列分式方程求解即可，掌握概率的计算，分式方程的求解是解题的关键． 【详解】解：∵从中随机摸出一个球是白球的概率为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴是原分式方程的解， 故答案为：2 ． 13. 如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____． 【答案】##64度 【解析】 【分析】本题考查对顶角相等，平行线的性质． 根据对顶角相等可得，根据角的和差可求，进而根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 水面与槽底平行， ； 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂运算，再由有理数加减运算计算即可； （2）先计算积的乘方运算、再计算单项式除以单项式，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 先化简，再求值：[（x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2． 【答案】； 【解析】 【分析】原式中括号里利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝（x2+2xy+y2﹣x2+4y2）÷（﹣2y） ＝（2xy+5y2）÷（﹣2y） ＝﹣x﹣y， 当x＝1，y＝﹣2时， 原式＝﹣1﹣×（﹣2） ＝﹣1+5 ＝4． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16. 手机微信抢红包有多种玩法，其中一种为“拼手气红包”，用户设定好总金额以及红包个数后，可以随机生成不等金额的红包．现有一用户发了四个“拼手气红包”，随机被甲、乙、丙、丁四人抢到． （1）以下说法正确的是______（直接填空）； A．甲抢到的红包金额一定最多 B．乙抢到的红包金额一定最多 C．丙抢到的红包金额一定最多 D．丁不一定抢到金额最少的红包 （2）若这四个“拼手气红包”金额分别为35元、33元、20元、12元，则甲抢到红包的金额超过30元的概率是多少？ 【答案】（1）D （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知甲、乙、丙抢到的红包金额不一定最多，丁抢到金额不一定最少，由此选出正确的选项即可； （2）根据题意可知一共有4种等可得的情况，其中红包金额超过30元的有2种，由此即可算出概率． 【小问1详解】 解：A、甲抢到的红包金额不一定最多，因此选项A不符合题意； B、乙抢到的红包金额不一定最多，因此B不符合题意； C、乙抢到的红包金额不一定最多，因此C不符合题意； D、丁不一定抢到金额最少的红包是正确的，因为D符合题意； 故选：D． 【小问2详解】 解：由题意可知一共有4种等可能的结果，其中红包金额超过30元的有2种， ∴甲抢到的红包金额超过30元的概率是． 【点睛】本题考查事件的分类，随机事件，以及简单的概率计算，能够根据题中所给的数据计算出某一事件发生的概率是解决本题的关键． 17. 如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． （1）试说明：； （2）试求的度数； （3）若点是的中点，则，试求的值． 【答案】（1） 证明：∵，分别是边，边上的高， ∴； 又∵， ∴，． ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据即可证明； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，可知是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数； （3）过点作于点，证明，则，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，在线段上取点，使得，连接， 在和中， ∴（） ∴，． ． 是等腰直角三角形． ． ； 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， 点是的中点 在和中， ， （）． ． ． 由（2）得，． 又， ． ． ． ． 18. 已知直线，在三角形纸板中，．   （1）将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则__________； （2）将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； （3）在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】（1）65 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【小问1详解】 解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 一辆汽车在行驶的过程中，已知汽车行驶的速度是60千米/小时，若设x小时行驶的路程为y千米，那么变量y与x之间的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数关系式．根据路程速度时间，即可得出答案． 【详解】解：由题意得． 故答案为：． 20. 一个袋子中有若干个白球和绿球，它们除了颜色外都相同．随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是，则袋子中至少有_______个绿球． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．直接由概率公式即可得出结论． 【详解】解：一个袋子中有若干个白球和绿球，随机从中摸一个球，恰好摸到绿球的概率是， 袋子中至少有3个绿球， 故答案为：3． 21. 著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图所示，由四个长为a，宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中，若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是结合图形找出，进行求解．结合图形可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积，即，将，代入求出即可． 【详解】解：由图可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于中间小正方形的面积， 即， ∵，， ∴ 故答案为：16． 22. 如图，在四边形中，E是边的中点，平分且，若，，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】方法一：在上截取，使得，证明，可得，，再证明，得，进而可求出的长； 方法二：延长、交于点G，证明得，，再证明得，进而可求出的长． 【详解】方法一：在上截取，使得 ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∵E是边的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 方法二：延长、交于点G ∵平分且 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 23. 如图，在四边形中， ，，，的面积为24，的垂直平分线分别交，于点M、N，若点P和点Q分别是线段和边上的动点，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，过点作于．利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，过点作于． 面积为24，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． 的值最小值为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短，属于中考常考题型． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在四边形中，，动点P沿的路径运动，速度为．记的面积为，S与运动时间的关系如图2所示，请回答下列问题． （1）图1中______； （2）当时，的面积S与运动时间t的关系式是______． （3）当的面积为时，求运动时间t的值． 【答案】（1）12 （2） （3）或 【解析】 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，一次函数的应用， （1）根据题意得到点P运动的路程为，当时，S达到最大值30，当点P运动到点D时，S最大，进而列式求解即可； （2）根据题意得到，求出，然后利用三角形面积公式求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论，分别求出两段的表达式，然后将代入求解即可． 【小问1详解】 ∵动点P沿的路径运动，速度为 ∴点P运动的路程为， 由图象可得，当时，S达到最大值30， ∵当点P运动到点D时，S最大 ∴； 【小问2详解】 ∵当点P运动到点D时，S最大 ∴ ∴ ∴ ∴当时，； 【小问3详解】 当时， ∴； 当时，设S与t的表达式为 ∴ 解得 ∴ ∴当的面积为时， ∴ 综上所述，当的面积为时，或． 25. 观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② （1）利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； （2）已知，求值； （3）已知，求的值． 【答案】（1） 证明： ； （2）40 （3） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值： （1）利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开即可得证； （2）根据非负性求出的值，进而求出的值，进而求出的值即可； （3）先求出的值，整体思想求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 26. 【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．如图1，在中，CM为的中线，若，求的取值范围． 倍长中线法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到 ，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围为 ； 【实践应用】为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时测得旗杆高度，教学楼高度， 则的长为 m； 【拓展探究】如图4，C为线段上一点，，分别以为斜边向上作等腰和等腰，M为中点， 连结． ① 判断的形状，并证明； ② 若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置(A，C，B不在同一条直线上)，连结，M为中点，且D，E在同侧，连结．若 ，，则与的面积之差为 ． 【答案】阅读理解：； 实践应用：； 拓展探究：①为等腰直角三角形，证明： 延长，使得，连接，如图 ∵等腰和等腰 ∴ ， ∴， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形． ② 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，垂直平分的判定与性质，平方差公式，正确作出辅助线是解题的关键． 阅读理解：先证明，可得，，代入即可解答； 实践应用：延长交于点F．证明，得出，，再进一步结合三线合一的性质，即可证明结论． 拓展探究：①延长，使得，连接，先证明，继而证明出则可推导出，即可解答； ②延长，使得，连接，先证明，可推导出，过点F作于点N，过点E作于点H，证明，得到， 设，有，， 即， 则，即可解答． 【详解】解：阅读理解： ∵CM为的中线，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 实践应用：如图，延长交于点F，    ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴． 拓展探究：①略 ②延长，使得，连接，如图 ∵等腰和等腰， ∴ ， ∴ ， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点N，过点E作于点H，有 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 即， ， ， ， ∴， 即． ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $