精品解析：吉林省长春市朝阳区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

八年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式分母不为，列不等式求解即可得出结果． 【详解】解： 分式有意义时，分母不能为， ， 解得． 2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： 选项A中，被开方数，无意义，∴A不是二次根式； 选项B中，的符号不确定，当时无意义，∴B不一定是二次根式； 选项C中，该式子是三次根式，根指数为，不满足二次根式根指数为的要求，∴C不是二次根式； 选项D中，根指数为，被开方数，满足二次根式的所有条件，∴D一定是二次根式． 3. 矩形和菱形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直且平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的对角线性质，即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分， ∴矩形和菱形都具有的性质是对角线互相平分． 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象分别位于第一、三象限 B. 随的增大而增大 C. 图象经过点 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数中，结合反比例函数性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于反比例函数，可得， A. ∵， ∴ 图象位于第二、四象限，不位于第一、三象限，A错误， B. 当时，只有在每个象限内随的增大而增大，选项未限定象限，B错误， C. 当时，， ∴ 图象不经过点，C错误， D. 当时，∵， ∴ . 又∵，可得，两边同乘得， ∴ ，D正确． 5. 下列关于箱线图的说法，正确的是（ ） A. 箱线图主要用到“中位数”这个概念，将一组数据共等分为两份 B. 箱线图的中位数一定在箱体正中间 C. 如果一组数据的中位数离箱体的中间有点远，那么说明这组数据的分布不是对称的 D. 箱线图的下四分位数，也称为第三四分位数，它处于总体的位置 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的定义和性质逐一判断各选项即可得出结论. 【详解】解：∵箱线图通过中位数、下四分位数、上四分位数将一组数据分为四部分，不是两部分，∴A错误； ∵仅当数据分布对称时中位数才在箱体正中间，中位数不一定在箱体正中间，∴B错误； ∵若一组数据的中位数离箱体中间较远，说明这组数据分布不对称，∴C正确； ∵箱线图的下四分位数是第一四分位数，位于总体的位置，位置是第三四分位数也叫上四分位数，∴D错误. 6. 如果把分式中的、都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的倍 C. 扩大为原来的倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意得到，扩大倍后的新分式，再利用分式的基本性质化简，将化简结果与原分式对比即可解答． 【详解】解：∵将、都扩大为原来的倍后，得到的新分式为：， 对新分式化简得：， ∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大为原来的倍． 7. 在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A. 24 B. 27 C. 45 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据矩形的性质可得，由勾股定理解得；由折叠的性质可得，进而可得，；设，则，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即，解得， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 比较大小：______3．（填“”、“”或“”号） 【答案】 【解析】 【分析】估算的大小，与3比较即可． 【详解】解：∵4＜5＜9， ∴2＜＜3， 则<3， 故答案为：<． 【点睛】本题考查了实数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10. 年月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒极小，最小直径为米，其中这个数用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义科学记数法的表示形式为，其中，n为整数.确定和的值即可求解． 【详解】解：，左起第一个非零数字为，第一个非零数字前共有6个0（含整数部分的0），因此可得，，即 ． 11. 若点在第二象限，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， 纵坐标满足， 移项得， 系数化为得． 12. 如图，的对角线，交于点，点是的中点，若，则的长是______. 【答案】3 【解析】 【分析】证明是的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵的对角线，交于点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∵， ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据菱形的面积求出，再根据勾股定理求出，得到点的坐标从而求出． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ， 由菱形的性质知， 菱形的面积为， ， ， 由勾股定理得， 结合点在第四象限得， 由点在反比例函数上得． 14. 如图，点是正方形内部一点，连结、，过点作，交的延长线于点，连结、，且，．给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积为；④点到的距离为．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先利用正方形边与角相等、同角余角相等证；再借助全等对应角相等与三角形内角和证明；接着结合等腰直角三角形面积、勾股定理求出与面积，相加得到四边形面积；最后过点作，利用等腰直角三角形求出垂线段长度，判断结论④正误． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ，即， ， ， 在和中： ， ，①正确； ， ∴， 设与交于点， 在中，， ， ， ， 在中，， ，②正确； ，， 是等腰直角三角形， ，， 在等腰直角中，， 由共线，得， ， ， ，即是直角三角形， 在中，， ，即， ， ，③正确； 过作，交的延长线于，的长度即为点到的距离， ， ， 是等腰直角三角形，即, 在中，, 代入得， 解得,即点到的距离为，不是，④错误； 综上所述，正确的为①②③． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． （1）求和的值； （2）当时，关于的不等式的解集为________． 【答案】（1）的值为，的值为 （2） 【解析】 【分析】（1）将交点坐标分别代入两个函数解析式，列方程求出参数、； （2）根据图象，在范围内，反比例函数图象在一次函数图象上方对应的取值即为不等式解集． 【小问1详解】 解：将代入， 解得． 将代入， 解得． 【小问2详解】 解：不等式，即， 表示时反比例函数图象在一次函数图象上方的部分，两函数交点横坐标为， 结合图象得解集． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画一个以为对角线的四边形，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，使四边形是中心对称图形，且面积为6； （2）在图②中，使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为5． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据面积可知四边形是底边为2，高为3的平行四边形； （2）根据是中心对称又是轴对称图形可知，四边形为正方形即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得 【小问2详解】 解：根据题意可得 18. 小冰和小雪从同一地点出发跑米，小冰的平均速度是小雪的倍，结果小冰比小雪少用秒到达终点．求小雪跑步的平均速度． 【答案】小雪跑步的平均速度为米/秒 【解析】 【分析】设小雪跑步的平均速度为米/秒，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：设小雪跑步的平均速度为米/秒， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：小雪跑步的平均速度为米/秒． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 某科研团队成功研发了A、B、C三种型号智能机器人，并分别从图像识别能力和运动能力两方面进行了测试．在图像识别能力测试中，A、B、C三种型号智能机器人的测试成绩分别为87分、85分、90分；在运动能力测试中，由位专业测试员分别给三种型号智能机器人进行评分，将位测试员给同一种型号智能机器人评分的总和作为这种智能机器人运动能力测试成绩．该科研团队将三种型号智能机器人的运动能力测试成绩进行整理和分析，绘制了以下统计图表： A、B、C型智能机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员评分的中位数 测试员评分的众数 运动能力测试成绩 A型 和 B型 C型 根据上述信息，解答下列问题： （1）__________，__________，__________； （2）从A、B型智能机器人运动能力测试成绩统计图可以看出，__________（填A或B）型智能机器人运动能力测试成绩的离散程度较大； （3）该科研团队按照图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占的比例计算综合成绩，测试结果是B型智能机器人的综合成绩最高，求B型智能机器人的综合成绩． 【答案】（1）、、； （2） （3）型智能机器人综合成绩为分 【解析】 【分析】（1）将A型10个评分排序求中位数，观察B型折线图出现次数最多的分数得众数，结合扇形图比例算出C型总分； （2）折线波动幅度越大，数据离散程度越大； （3）利用图像识别成绩占、运动成绩占的权重计算加权综合成绩． 【小问1详解】 解：A型10个评分：7，10，10，7，9，9，7，9，10，6， 从小到大排序:6,7,7,7,9,9,9,10,10,10, . B型折线图中8出现五次,次数最多，故； 【小问2详解】 解：A型折线起伏更大，离散程度大． 【小问3详解】 解：B型综合成绩 答：B型智能机器人的综合成绩为分． 21. 如图，在矩形中， （1）请用无刻度的直尺和圆规，作直线垂直平分对角线于点，且与边、分别交于点、；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） （2）在（1）中，连结、，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） （2）证明：∵直线垂直平分对角线于点， ∴． 在矩形中，， ，， ， ， 又， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作线段的垂直平分线：分别以A、C为圆心，大于的长为半径画弧，连接弧交点得直线，交、于E、F，即为所求． （2）由垂直平分得，矩形中可证，得，故是平行四边形；又，对角线垂直的平行四边形为菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． （1）小刚在服务区休息了_____小时； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 【答案】（1）1 （2） （3）3.2 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，可得两点之间的函数值无变化，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1小时； 【小问2详解】 解：设所在直线对应的函数表达式为， 把代入， 得， 解得， 所以线段所在直线对应的函数表达式为． 【小问3详解】 解：当时， 解得：， ∴小刚离开家3.2小时． 23. 【问题背景】 小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以为边向下作正方形．点、分别在边、上运动，且，连结、．求的最小值． 【问题探究】 小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边的中点，连结． 证明过程缺失 ． ． （1）请你帮助小明补全上述证明过程． 【问题解决】 （2）的最小值为________． 【拓展提升】 （3）如图③，在正方形中，，点、分别在边、上运动，且，点在边上，连结、．若，则的最小值为________． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】 （1）问题探究：利用正方形的性质和中点性质得，，再由，得，即可由得出，从而由全等三角形的性质得出结论； （2）问题解决：连接，根据两点之间，线段最短得，当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于，延长、相交于，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解； （3）拓展提升：在正方形下方作正方形，在边上取点，使，在边上取点，使，连接，则，，根据两点之间，线段最短得，，所以当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，取边的中点，连结． 在正方形中， ，． 点、分别为边、的中点， ，， ． ，， ， ． 在与中，， ， ． 【小问2详解】 问题解决：如图②，连接， ， 当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于， 延长、相交于点， 正方形，正方形，为边的中点，， 四边形为正方形， ，， ， 由勾股定理，得， 的最小值为． 【小问3详解】 解：在正方形下方作正方形，在边上取点，使，在边上取点，使，连接，如图③， 由问题探究可知：，， ， 当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于， 在正方形和正方形中，，， ，，， ． 由勾股定理得：， 的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间，线段最短，利用正方形的对称性质，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在该直线上，其横坐标为（），设直线在、两点之间的部分（含、两点）为图像． （1）求该直线所对应的函数表达式； （2）当图像与轴有交点时，求的取值范围； （3）若图像的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值； （4）已知点的坐标为，以点为对角线交点构造正方形，使轴，当图像与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）将点代入直线，利用待定系数法求解即可； （2）首先确定该函数图像随的增大而增大，且与轴的交点坐标为，结合函数图像即可获得答案； （3）结合点在该直线上，其横坐标为，可得其纵坐标为，根据“图像的最高点与最低点的纵坐标之差为”可得，求解即可获得答案； （4）由题意可知，点在直线上，根据题意可得，，然后分和两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线所对应的函数表达式为； 【小问2详解】 如下图， 对于直线， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，可得，解得， 即直线与轴的交点坐标为， ∵点在该直线上，其横坐标为，且直线在、两点之间的部分（含、两点）为图像， ∴当图像与轴有交点时，可得； 【小问3详解】 ∵点在该直线上，其横坐标为， ∴其纵坐标为， ∵图像的最高点与最低点的纵坐标之差为，即， 解得或， ∴的值为或； 【小问4详解】 由题意可知，点在直线上， ∵以点为对角线交点构造正方形，且轴， ∴点也在直线上，且， ∴， ∵点在直线上，其横坐标为， ∴， 分情况讨论： 情况1，如下图，当时，点在第四象限， ∵图像与正方形的边有且只有一个交点， 当点在点的下方时， 可得，无解； 当点在点的上方时， 可得，解得； 情况2，如下图，当时，点在第二象限， ∵图像与正方形的边有且只有一个交点， 当点在点的上方时， 可得，无解； 当点在点的下方时， 可得，解得． 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为90分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 矩形和菱形都具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直且平分 4. 已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象分别位于第一、三象限 B. 随的增大而增大 C. 图象经过点 D. 当时， 5. 下列关于箱线图的说法，正确的是（ ） A. 箱线图主要用到“中位数”这个概念，将一组数据共等分为两份 B. 箱线图的中位数一定在箱体正中间 C. 如果一组数据的中位数离箱体的中间有点远，那么说明这组数据的分布不是对称的 D. 箱线图的下四分位数，也称为第三四分位数，它处于总体的位置 6. 如果把分式中的、都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的倍 C. 扩大为原来的倍 D. 不变 7. 在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A. 24 B. 27 C. 45 D. 50 8. 如图，在矩形中，，，点是边上的一点，将沿折叠，恰好使点落在对角线上的点处，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 比较大小：______3．（填“”、“”或“”号） 10. 年月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒极小，最小直径为米，其中这个数用科学记数法表示为________． 11. 若点在第二象限，则的取值范围是________． 12. 如图，的对角线，交于点，点是的中点，若，则的长是______. 13. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点在反比例函数（，）的图象上，连结、，以、为邻边构造菱形．若菱形的面积为，则的值为________． 14. 如图，点是正方形内部一点，连结、，过点作，交的延长线于点，连结、，且，．给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积为；④点到的距离为．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 如图，函数（为常数）和（，）的图象交于点． （1）求和的值； （2）当时，关于的不等式的解集为________． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画一个以为对角线的四边形，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，使四边形是中心对称图形，且面积为6； （2）在图②中，使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为5． 18. 小冰和小雪从同一地点出发跑米，小冰的平均速度是小雪的倍，结果小冰比小雪少用秒到达终点．求小雪跑步的平均速度． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某科研团队成功研发了A、B、C三种型号智能机器人，并分别从图像识别能力和运动能力两方面进行了测试．在图像识别能力测试中，A、B、C三种型号智能机器人的测试成绩分别为87分、85分、90分；在运动能力测试中，由位专业测试员分别给三种型号智能机器人进行评分，将位测试员给同一种型号智能机器人评分的总和作为这种智能机器人运动能力测试成绩．该科研团队将三种型号智能机器人的运动能力测试成绩进行整理和分析，绘制了以下统计图表： A、B、C型智能机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员评分的中位数 测试员评分的众数 运动能力测试成绩 A型 和 B型 C型 根据上述信息，解答下列问题： （1）__________，__________，__________； （2）从A、B型智能机器人运动能力测试成绩统计图可以看出，__________（填A或B）型智能机器人运动能力测试成绩的离散程度较大； （3）该科研团队按照图像识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占的比例计算综合成绩，测试结果是B型智能机器人的综合成绩最高，求B型智能机器人的综合成绩． 21. 如图，在矩形中， （1）请用无刻度的直尺和圆规，作直线垂直平分对角线于点，且与边、分别交于点、；（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） （2）在（1）中，连结、，求证：四边形是菱形． 22. 清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离（千米）与离开家的时间（小时）之间的函数关系如图所示． （1）小刚在服务区休息了_____小时； （2）求所在直线对应的函数表达式； （3）当小刚离家的距离恰好为200千米时，小刚离开家_____小时． 23. 【问题背景】 小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以为边向下作正方形．点、分别在边、上运动，且，连结、．求的最小值． 【问题探究】 小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边的中点，连结． 证明过程缺失 ． ． （1）请你帮助小明补全上述证明过程． 【问题解决】 （2）的最小值为________． 【拓展提升】 （3）如图③，在正方形中，，点、分别在边、上运动，且，点在边上，连结、．若，则的最小值为________． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线（是常数）经过点，点在该直线上，其横坐标为（），设直线在、两点之间的部分（含、两点）为图像． （1）求该直线所对应的函数表达式； （2）当图像与轴有交点时，求的取值范围； （3）若图像的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的值； （4）已知点的坐标为，以点为对角线交点构造正方形，使轴，当图像与正方形的边有且只有一个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $