精品解析：吉林长春市长春经济技术开发区2025-2026学年度下学期期末学情调研八年级数学

2025−2026学年度下学期期末学情调研八年数学 本试卷包括四道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟． 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 某奶茶店统计了一周内不同种类奶茶的平均日销售量，数据如下表： 奶茶种类 珍珠奶茶 抹茶奶茶 玫瑰奶茶 香蕉奶茶 暖姜奶茶 平均日销售量（杯） 如果每杯奶茶的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 最大值 2. 在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 年，全球都在重点治理（永久化学污染物），中科院为此研发了新型纳米传感器，可检测水体中超微量分子，发现个分子的质量仅为克，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将数学课本放在如图所示的位置，则下列各点一定没有被书本遮住的点是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，与交于点，点为的中点．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题3分，共9分） 6. 在四边形中，，，只添加一个条件，能使四边形为矩形的有（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数，且当时，，则关于的函数图象可能经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 8. 根据某班40名学生的身高数据信息，绘制出如下两个统计图．下列说法中，正确的有（ ） A. 该班一定有身高的学生 B. 这组数据的上四分位数为 C. 这组数据的平均数为 D. 有名学生身高在至之间 三、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是________________； 10. 已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 11. 已知直线经过两点和，则________．（填“”、“”或“”） 12. 一组数据：，，的离差平方和是________． 13. 如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则________． 14. 如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 四、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 在自由式滑雪空中技巧比赛中，裁判根据运动员的腾空高度、空中姿态、落地稳定性分别打出三项分数，每项的满分值均为30分，然后按照以下权重计算“动作完成分”：腾空高度占，空中姿态占，落地稳定性占．某选手在最后一跳中，三项得分为：腾空高度分，空中姿态25分，落地稳定性27分，求该选手这一跳的动作完成分． 17. 如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：． 18. 【问题呈现】随着科技事业的不断发展，国产无人机大量应用于快递行业．现有A、B两种型号的无人机应用于运送快递，其中A型机比B型机平均每小时多运送30件，A型机运送800件所用时间与B型机运送600件所用时间相同．求B型机平均每小时运送多少快递？ 【解法分析】 找到的等量关系 列出的方程 解法一 A型机运送800件所用时间型机运送600件所用时间 解法二 A型机平均每小时运送的数量型机平均每小时运送的数量 【问题解决】 （1）在解法一所列方程中，x表示的是：B型机平均每小时运送快递的数量． 在解法二所列方程中，y表示的是：_____________________． （2）请按照“解法一”提供的思路，完成解决原问题的完整过程． 19. 某水果经销商准备从一家草莓种植基地购进草莓进行销售．设经销商购进草莓千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． （1）求所在直线的函数表达式． （2）当该经销商付款元时，该经销商购进多少千克草莓？ 20. 如图，由全等菱形组成下列网格图，网格的交点称为格点，、均为格点，连结，仅用无刻度直尺，作出符合要求的格点四边形（顶点均为格点）． （1）在图①中，作平行四边形（内角中不含直角） （2）在图②中，作矩形． 21. 2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日，为深入贯彻落实总体国家安全观，切实增强青少年国家安全意识和法治素养，在甲、乙两个学校分别抽取部分学生开展国家安全知识竞赛．竞赛满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．下面是甲、乙两个学校参赛学生的成绩统计表和成绩分布折线统计图： 甲、乙两个学校参赛学生的成绩统计表 学校 平均数/分 中位数/分 合格率 优秀率 甲学校 a 7 乙学校 6.6 b （1）求出参赛学生成绩统计表中a，b的值； （2）小轩说：“这次竞赛我得了7分，在我们学校排名属于中游偏上！”请你判断小轩是哪个学校的学生，并说明理由； （3）结合以上信息，请你说明哪个学校的竞赛成绩好一些． 22. 我们探究过三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （1）定理证明：证明这个定理的方法有很多，下面是其中一种，请阅读并补充． 已知：如图①，在中，，分别是边，的中点，连结． 求证：且． 证明：延长到点，使，连结，，． ，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， 即，， 证明过程缺失 ∴且． 请你补全缺失的证明过程． （2）定理运用：证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图②，在中，，，分别是，，的中点． 求证：，互相平分． （3）综合运用：如图③，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点．若，，，则的度数为_______°． 23. 如图，在矩形中，，，点是射线上一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． （1）当点落在边上时，四边形的形状是_______，此时线段长为_______． （2）当点、、在同一条直线上时，求线段长． （3）当为直角时，直接写出线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，点为原点，直线经过点、点，点的横坐标为．以为对角线，构造正方形，其中轴． （1）求该直线的函数表达式． （2）点的纵坐标是_______．（用含的代数式表示） （3）若正方形的边长为，求的值． （4）平面上有一点，点关于直线的对称点为点，连结，当线段与正方形的边有交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度下学期期末学情调研八年数学 本试卷包括四道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟． 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 某奶茶店统计了一周内不同种类奶茶的平均日销售量，数据如下表： 奶茶种类 珍珠奶茶 抹茶奶茶 玫瑰奶茶 香蕉奶茶 暖姜奶茶 平均日销售量（杯） 如果每杯奶茶的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 最大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计量的实际意义，每杯奶茶利润相同，老板最关注销量最高的奶茶种类，只需判断能体现最高销量的统计量即可． 【详解】∵每杯奶茶利润相同，总利润和销售量直接相关，老板需要优先保证高销量奶茶的供应， ∴老板最关心平均日销售量最高的奶茶种类， ∵最大值能体现一组数据中销量最高的品类，反映最畅销的奶茶，平均数，中位数，方差均不能直接体现销量最高的奶茶， ∴老板最关注的销售数据是最大值． 2. 在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， A、是边长，是对角线，没有相等关系，A错误； B、和是平行四边形对角线，只有矩形这类特殊平行四边形才相等，普通平行四边形不成立，B错误； C、由平行四边形的对边相等，可得，C正确； D、和是邻边，只有菱形这类特殊平行四边形邻边相等，普通平行四边形不成立，D错误； ∴ 正确选项为C． 3. 年，全球都在重点治理（永久化学污染物），中科院为此研发了新型纳米传感器，可检测水体中超微量分子，发现个分子的质量仅为克，将这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，原数变为，小数点移动多少位，的绝对值就等于移动位数，原数绝对值小于1时为负数 【详解】解：． 故选B． 4. 老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将数学课本放在如图所示的位置，则下列各点一定没有被书本遮住的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图知，书本遮住了坐标系中的第一、二、三象限的部分，只有第四象限内的点一定不被书本遮住，由此即可求解． 【详解】解：由图知，第四象限内的点一定不被书本遮盖， ∵在第四象限， ∴此点一定不被书本遮住，故选项B符合题意； 而在第三象限，在第一象限，在第二象限，都有可能被书本遮住． 5. 如图，在菱形中，与交于点，点为的中点．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，再由三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴． 二、多项选择题（每小题3分，共9分） 6. 在四边形中，，，只添加一个条件，能使四边形为矩形的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出原四边形是平行四边形，再结合矩形的判定定理逐一判断各选项即可. 【详解】首先，∵四边形中，，，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形是平行四边形． 对选项A：添加时，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定四边形是矩形，因此A符合要求． 对选项B：添加时，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定四边形是矩形，因此B不符合要求． 对选项C：添加时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定四边形是矩形，因此C符合要求． 对选项D：平行四边形的对边本身就相等，是平行四边形的固有性质，添加该条件后仍只是平行四边形，无法判定为矩形，因此D不符合要求． 7. 已知一次函数，且当时，，则关于的函数图象可能经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第一、三、四象限 D. 第二、三、四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】首先根据“时，”求出k的取值范围，然后分情况讨论即可． 【详解】∵当时，， ∴， 解得， 此时可能为正，也可能为负，也可能为0， 当为正时，一次函数经过第一、二、四象限； 当为负时，一次函数经过第二、三、四象限； 当为0时，一次函数经过第二、四象限； 故选：BD． 【点睛】本题主要考查一次函数图象，掌握一次函数中k，b对函数图象的影响是关键． 8. 根据某班40名学生的身高数据信息，绘制出如下两个统计图．下列说法中，正确的有（ ） A. 该班一定有身高的学生 B. 这组数据的上四分位数为 C. 这组数据的平均数为 D. 有名学生身高在至之间 【答案】ABD 【解析】 【详解】解：A、由箱线图可知，最大值为，则该班一定有身高的学生，说法正确； B、由箱线图可知，这组数据的上四分位数为，说法正确； C、利用分组数据平均数公式，取每组组中值计算，得平均数为，说法错误； D、根据四分位数定义，有名学生身高不高于，有名学生身高不低于，则身高在至之间的学生有（名），说法正确． 三、填空题（每小题3分，共18分） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是________________； 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为0可得，从而可得答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分母不为0是解本题的关键． 10. 已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可知，然后由角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴． 11. 已知直线经过两点和，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数解析式中一次项系数的符号判断函数的增减性，结合两点横坐标的大小比较即可得到与的大小关系． 【详解】解：在直线中， 一次项系数，随的增大而减小. 点和在直线上，且横坐标， . 故答案为． 12. 一组数据：，，的离差平方和是________． 【答案】8 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数的差的平方之和，即可得到结果． 【详解】解：这组数据为，，， 这组数据的平均数为， 离差平方和为：． 13. 如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则________． 【答案】##34度 【解析】 【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则．结合矩形的性质可得，再根据即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在功（单位：）一定的条件下，功率（单位：）与做功时间（单位：）成反比例函数关系．当时，的值是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：设， 将点代入得， 解得：， ， 当时，． 四、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，求出，代入化简后的式子计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时， 原式． 16. 在自由式滑雪空中技巧比赛中，裁判根据运动员的腾空高度、空中姿态、落地稳定性分别打出三项分数，每项的满分值均为30分，然后按照以下权重计算“动作完成分”：腾空高度占，空中姿态占，落地稳定性占．某选手在最后一跳中，三项得分为：腾空高度分，空中姿态25分，落地稳定性27分，求该选手这一跳的动作完成分． 【答案】分 【解析】 【分析】分别计算各项的动作完成分再求和即可． 【详解】解：（分） 答：该选手这一跳的动作完成分为分． 17. 如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】由平行四边形的判定与性质求证即可． 【详解】证明：在平行四边形中，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 18. 【问题呈现】随着科技事业的不断发展，国产无人机大量应用于快递行业．现有A、B两种型号的无人机应用于运送快递，其中A型机比B型机平均每小时多运送30件，A型机运送800件所用时间与B型机运送600件所用时间相同．求B型机平均每小时运送多少快递？ 【解法分析】 找到的等量关系 列出的方程 解法一 A型机运送800件所用时间型机运送600件所用时间 解法二 A型机平均每小时运送的数量型机平均每小时运送的数量 【问题解决】 （1）在解法一所列方程中，x表示的是：B型机平均每小时运送快递的数量． 在解法二所列方程中，y表示的是：_____________________． （2）请按照“解法一”提供的思路，完成解决原问题的完整过程． 【答案】（1）A型机运送800件快递所用的时间． （2）解：设B型机平均每小时运送件快递，则A型机平均每小时运送件快递． 根据题意得． 去分母得． 展开整理得． 解得． 检验：当时，， 因此是原方程的解，且符合实际意义． 答：B型机平均每小时运送90件快递． 【解析】 【分析】（1）根据解法二的方程结构与等量关系即可判断y的实际意义． （2）按照解法一的设元思路，利用时间相等的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果． 【小问1详解】 解：分析方程可知，表示A型机平均每小时运送的数量，表示型机平均每小时运送的数量， ∴表示A型机运送800件快递所用的时间． 【小问2详解】 略． 19. 某水果经销商准备从一家草莓种植基地购进草莓进行销售．设经销商购进草莓千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． （1）求所在直线的函数表达式． （2）当该经销商付款元时，该经销商购进多少千克草莓？ 【答案】（1）与之间的函数表达式为 （2）当该经销商付款元时，该经销商购进千克草莓 【解析】 【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求出段与之间的函数表达式； （2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值即可． 【小问1详解】 解：设段与之间的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即段与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 将代入，得：， 解得， 答：当该经销商付款元时，该经销商购进千克草莓． 20. 如图，由全等菱形组成下列网格图，网格的交点称为格点，、均为格点，连结，仅用无刻度直尺，作出符合要求的格点四边形（顶点均为格点）． （1）在图①中，作平行四边形（内角中不含直角） （2）在图②中，作矩形． 【答案】（1）如图，四边形即为所求； （2）如图，四边形即为所求 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 2026年4月15日是第十一个全民国家安全教育日，为深入贯彻落实总体国家安全观，切实增强青少年国家安全意识和法治素养，在甲、乙两个学校分别抽取部分学生开展国家安全知识竞赛．竞赛满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．下面是甲、乙两个学校参赛学生的成绩统计表和成绩分布折线统计图： 甲、乙两个学校参赛学生的成绩统计表 学校 平均数/分 中位数/分 合格率 优秀率 甲学校 a 7 乙学校 6.6 b （1）求出参赛学生成绩统计表中a，b的值； （2）小轩说：“这次竞赛我得了7分，在我们学校排名属于中游偏上！”请你判断小轩是哪个学校的学生，并说明理由； （3）结合以上信息，请你说明哪个学校的竞赛成绩好一些． 【答案】（1）7.5，6.5； （2）小轩是乙学校的学生，理由见解析； （3）甲学校的竞赛成绩好一些，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据平均数及中位数的定义计算即可； （2）根据两学校的中位数判断即可； （3）根据已知数据判断即可． 【小问1详解】 解：． 将乙学校抽取学生成绩按从低到高排列是4，4，6，6，6，7，7，8，9，9，排在第5位和第6位的数字分别是6，7， ∴． 【小问2详解】 解：小轩是乙学校的学生． 理由如下：小轩得7分，等于甲学校成绩的中位数7分，高于乙学校成绩的中位数6.5分． ∵小轩的成绩在学校里排名属于中游偏上， ∴可以判断小轩是乙学校的学生． 【小问3详解】 解：∵甲学校参赛学生成绩的平均数和中位数均高于乙学校， ∴甲学校的竞赛成绩好一些．（合理即可） 22. 我们探究过三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． （1）定理证明：证明这个定理的方法有很多，下面是其中一种，请阅读并补充． 已知：如图①，在中，，分别是边，的中点，连结． 求证：且． 证明：延长到点，使，连结，，． ，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， 即，， 证明过程缺失 ∴且． 请你补全缺失的证明过程． （2）定理运用：证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图②，在中，，，分别是，，的中点． 求证：，互相平分． （3）综合运用：如图③，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点．若，，，则的度数为_______°． 【答案】（1）补全缺失的证明过程如下： ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴且． （2）证明：连接，如图所示： ∵，，分别是，，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，互相平分． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）连接，由题意易得，，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证； （3）由题意易得分别是的中位线，则有，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在矩形中，，，点是射线上一点，将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． （1）当点落在边上时，四边形的形状是_______，此时线段长为_______． （2）当点、、在同一条直线上时，求线段长． （3）当为直角时，直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形；3 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，即可求解； （2）根据折叠的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求解即可； （3）设，分两种情况：当点F在边上时，当点F在边的延长线上时，结合勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴； 【小问2详解】 解：如图， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 在中，， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：由折叠的性质得：，， 设， 当点F在边上时，则， ∵为直角， ∴， ∴点D，E，F三点共线， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 当点F在边的延长线上时，则， ∵为直角， ∴， ∴点D，E，F三点共线， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即； 综上所述，线段长为或． 24. 在平面直角坐标系中，点为原点，直线经过点、点，点的横坐标为．以为对角线，构造正方形，其中轴． （1）求该直线的函数表达式． （2）点的纵坐标是_______．（用含的代数式表示） （3）若正方形的边长为，求的值． （4）平面上有一点，点关于直线的对称点为点，连结，当线段与正方形的边有交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）将代入求出b即可； （2）将点的横坐标为代入直线的函数表达式计算即可； （3）根据正方形的边长为，得点的横坐标为； （4）分4种临界情况讨论即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴该直线的函数表达式； 【小问2详解】 解：∵点的横坐标为， ∴点的纵坐标是； 【小问3详解】 解：∵正方形的边长为，为对角线，， ∴点的横坐标为或， ∴或； 【小问4详解】 解：由题意得，，，，直线解析式为，令经过，，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴点E在直线上，令其经过，， ∴， 分4种临界情况： 情况1：当正方形在点A下方，且经过点B时，即于B，过J作于K， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点为点，连结， ∴， ∵，， ∴ ∵，， ∴点B，点E水平距离为，竖直距离为； ∴， 解得； 情况2：当正方形在点A下方，且点、F 在正方形边上时，即， ∵，， ∴， 解得， ∴当正方形在点A下方，线段与正方形的边有交点时，的取值范围是； 情况3：当正方形在点A上方，且经过点A时，即于A， ∵，， ∴点A，点E水平距离为，竖直距离为； 同情况1： 解得 情况4：当正方形在点A上方，且点、F 在正方形边上时，即， ∵，， ∴， 解得， ∴当正方形在点A上方，线段与正方形的边有交点时，的取值范围是； 综上所述，线段与正方形的边有交点时，的取值范围是或． 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