第19章 二次根式 暑期专项训练 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 以“概念辨析-性质应用-运算求解-实际建模”为主线，系统覆盖二次根式核心考点，提炼定义判断、化简运算等方法，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4题|二次根式定义双重条件、同类根式化简判断、最简根式两要素|从定义生成到性质辨析，构建概念网络| |性质应用|3题|被开方数非负性、无理数估值、同类根式合并|性质推导到参数计算，强化推理意识| |运算求解|5题|根式乘除法则、混合运算技巧、有理化因式应用|从基础运算到复杂化简，提升运算能力| |实际应用|2题|面积公式建模、几何图形边长计算|实际问题抽象为数学模型，发展应用意识|

二次根式专项训练（人教版八年级下册） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北沧州·阶段检测）若，，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广东珠海·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·河北邯郸·阶段检测）某零件上有一个长方形孔，其面积为，长为，则这个孔的宽为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）估计的值在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 7．（24-25八年级下·山东济宁·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·云南昆明·期中）社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级下·山东淄博·期中）若有意义，则_____． 10．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）与最简二次根式能合并，则__________． 11．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是______． 12．（25-26八年级下·全国·单元测试）若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______． 三、解答题 13．（23-24八年级下·重庆开州·期中）计算： (1) (2) 14．（23-24八年级下·湖北咸宁·期末）先化简再求值：当时，求的值． 15．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段检测）若最简二次根式与是同类二次根式，且，求，平方和的算术平方根. 16．（25-26八年级下·全国·单元测试）（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>”“<”或“=”，并完成后面的问题． ， ， ……； （2）用，，表示上述规律为： ； （3）利用（2）中的结论，求的值； （4）设，，试用含，的式子表示； 17．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段检测）如图，有一块面积为300平方分米的长方形铁皮，已知该长方形铁皮的长、宽之比为． (1)求长方形铁皮的长与宽（结果保留根号）． (2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是面积为32平方分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 18．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）先阅读材料，再解答下列问题、由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ，请完成下列问题： (1)的有理化因式是__________；化简__________； (2)计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次根式专项训练（人教版八年级下册）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D A C C C 1．B 【分析】先明确二次根式的定义，二次根式需要同时满足两个条件：根指数为2，且被开方数（式）为非负数，再逐个判断各式得到二次根式的个数． 【详解】解：①是二次根式； ②在中，由于a的取值未定，不能保证被开方数为非负数，故不是二次根式； ③是二次根式； ④不是二次根式； ⑤不是二次根式； 综上，符合要求的二次根式共2个，故选B． 2．C 【分析】先将各选项化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式是化简后被开方数相同的二次根式． 【详解】解：∵同类二次根式的定义为：化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式， ∴、，与被开方数不同，不是同类二次根式； 、，与被开方数不同，不是同类二次根式； 、，化简后被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式； 、，与被开方数不同，不是同类二次根式． 3．B 【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘法法则即可求得答案． 【详解】解得：， 故选：B． 4．D 【分析】根据最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故A不符合题意； 选项B：的被开方数是小数，可化为分数，即含分母，不是最简二次根式，故B不符合题意； 选项C：的被开方数含分母，不是最简二次根式，故C不符合题意； 选项D：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，故D符合题意． 5．A 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的除法法则是解决本题的关键． 利用“长方形的面积长方形的长=长方形的宽”计算即可． 【详解】解： 故选：A 6．C 【分析】先计算，再利用夹逼法进行估算即可. 【详解】解：原式， ∵，即， ∴， 即的值在5到6之间. 7．C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式有条件的意义得到且，然后把它们代入运算，最后化简二次根式即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得， 所以， 所以原式． 故选：C． 8．C 【分析】先利用算术平方根求出正方形，正方形的边长，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为 ∴正方形，正方形的边长分别为，， ∴． 9． 【分析】此题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟知二次根式被开方数为非负数．根据二次根式有意义的条件可得，且，得出，再代入求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：． 10．4 【分析】 能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，据此化简后列方程求解即可． 【详解】解：化简得， 与最简二次根式能合并， ， 解得：， 11． 【分析】对于，由定义可得，，，，代入计算即可． 【详解】解： ． 12．2 【分析】先由得到，进而得出a和b，代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵ 的整数部分为a，小数部分为b， ∴，． ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法． 13．(1)4 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算除法和乘法，再合同同类二次根式，即可作答． （2）根据完全平方公式和平方差公式进行展开，再合同同类二次根式，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．， 【分析】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是掌握． 先用化简，再将时代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 15．5 【分析】本题考查同类个次根式及二次根式的非负性应用，根据同类二次根式求出，再根据非负式子和为0，它们分别等于0即可得到答案； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ，解得， ，即， ，， ，，解得，， ，的平方和为， ，平方和的算术平方根为5． 16．（1）=，=，=；（2）（，）；（3）2；（4） 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算， 对于（1），根据二次根式乘法得出结果判断即可； 对于（2），根据（1）中计算的结果得出结论； 对于（3），根据二次根式的乘法计算； 对于（4），根据规律得，即可得出答案. 【详解】解：（1），， ； ； ； 故答案为：； （2）（，）， 故答案为：（，）； （3）； （4），， 17．(1)长方形铁皮的长为分米，宽为分米 (2)长方体铁皮盒子的体积为立方分米 【分析】本题考查利用平方根解方程，二次根式混合计算等． （1）根据题意设长方形铁皮的长为分米，则宽为分米，再列式计算后即可求出本题答案； （2）先求出正方形的边长为分米，再利用长方体体积公式计算即可求出本题答案． 【详解】（1）解：设长方形铁皮的长为分米，则宽为分米． 根据题意可得． 即． ， ， ． 长方形铁皮的长为分米，宽为分米； （2）解：正方形的面积为32平方分米， 正方形的边长为分米． ∴长方体体积， ， ， 答：长方体铁皮盒子的体积为立方分米． 18．(1)； (2) 【分析】（1）理解定义，利用平方差公式计算即可， （2）可证明，将括号内每一项进行化简，再相加可得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ； （2）解：∵（n为正整数） ， ∴ ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $