3.6.2　圆锥曲线的综合应用(2) 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础计算、性质辨析、综合应用三层设计，覆盖圆锥曲线从单一性质到跨曲线综合的知识路径，培养数学推理与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线、椭圆、双曲线定义与基本性质|单选直接应用定义求最值（如第1题PQ最小值）| |能力提升|圆锥曲线几何关系与离心率综合|多选辨析焦点三角形与渐近线性质（如第7题椭圆焦点垂直问题）| |综合应用|轨迹方程、动态最值与定值证明|解答题结合坐标法证明定值（如第12题+为定值）|

3.6.2　圆锥曲线的综合应用(2) 建议用时：40分钟　答案P21　评价：________ 一、 单项选择题 1 在平面直角坐标系xOy中，已知定点Q(3，0)，点P在抛物线C：y2＝4x上运动，则PQ的最小值为(　　) 　A. 2 B. 3 C. 2 D. 2 2 (2025辽宁一模)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P(m，n)在双曲线C上，且·≤0，则m的取值范围是(　　) A. B. ∪ C. [－2，2] D. [－2，－1]∪[1，2] 3 (2025常熟期中)已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为2m，离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星中心到太阳中心的最大距离是(　　) A. m(1－e) B. m(1＋e) C. 2m(1－e) D. 2m(1＋e) 4 (2025河南联考)已知P是抛物线C：y2＝12x上的一点，设点P到直线x＝－3和x－y＋4＝0的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最小值为(　　) A. B. C. 3＋2 D. 4 5 设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1的离心率分别为e1，e2，且双曲线C2的渐近线的斜率小于，则的取值范围是(　　) A. (1，4) B. (4，＋∞) C. (1，2) D. (2，＋∞) 6 (2025河南联考)已知椭圆C：＋＝1及其上点P，过右焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N(均异于点P). 若直线PM，PN的斜率互为相反数，则直线l的方程是(　　) A. x＋2y－1＝0 B. x＋2y＋1＝0 C. x－2y＋1＝0 D. x－2y－1＝0 二、 多项选择题 7 (2025临沂兰山期中)若F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，P是椭圆C上的动点，则下列结论中正确的是(　　) A. 椭圆C的长轴长为 B. PF1的最大值为1＋ C. 椭圆C的焦距为1 D. 不存在点P，使得PF1⊥PF2 8 (2025新疆农业大学附中期中)设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，O为坐标原点，A，B是抛物线E上两个动点，则下列结论中正确的是(　　) A. 抛物线E的准线方程为x＝－2 B. AF的最小值为2 C. 当直线AB过点F时，直线OA和OB的斜率之积为定值－8 D. 当直线OA与OB垂直时，直线AB过定点(8，0) 三、 填空题 9 (2025山西联考)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P1，P2，P3是抛物线C上不同的三点，且向量，，的横坐标之和为4，则直线P1P2，P2P3，P3P1的斜率之和为________． 10 (2025河北联考)已知椭圆Γ：＋＝1的右焦点为F，M为椭圆Γ上的动点，点N在以MF为直径的圆上，若ON的最大值为3(O为坐标原点)，则椭圆Γ的短轴长为________． 11 (2025新乡联考)已知A，B是双曲线E：x2－y2＝1上不同的两点，其中点B在双曲线E的右支上. 直线l是双曲线E的斜率为正的渐近线，P是直线l上一点. 已知AB＝2，若AB⊥x轴，则PA＋PB的最小值为________． 四、 解答题 12 (2025连云港期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且经过点. (1) 求椭圆C的标准方程； (2) 若A，B是椭圆上的两个点，且∠AOB＝90°，求证：＋为定值． 13 (2025江西联考)已知点M到点F(3，0)的距离比点M到直线x＋6＝0的距离小3，记点M的轨迹为曲线C. (1) 求曲线C的标准方程； (2) 若P为曲线C上的一个动点，Q(1，4)，点P到y轴的距离为d，求PQ＋d的最小值； (3) 若过点(－1，0)的直线l与曲线C交于A，B两点，求AF＋BF的取值范围． 3．6.2　圆锥曲线的综合应用(2) 1. A　设点P(x，y)，则PQ＝＝＝，当x＝1时，PQ取最小值2. 2. B　因为点P(m，n)在双曲线C上，所以m2－＝1，且m≤－1或m≥1. 因为F1(－2，0)，F2(2，0)，所以＝(－2－m，－n)，＝(2－m，－n)，则·＝(－2－m)(2－m)＋n2＝m2＋n2－4＝4m2－7≤0，解得－≤m≤，故－≤m≤－1或1≤m≤. 3. B　由椭圆的定义，得2a＝2m，即a＝m，离心率e＝，即c＝ae＝me.因为太阳在这个椭圆的一个焦点上，所以该行星到太阳的最大距离是a＋c＝m＋me＝m(1＋e). 4. A　由题意，得抛物线C：y2＝12x的焦点为F(3，0)，准线方程为x＝－3.因为点P在抛物线C：y2＝12x上，所以d1＝PF，所以d1＋d2＝PF＋d2.联立消去y并整理，得x2－4x＋16＝0，则Δ＝(－4)2－4×16＝－48<0，所以直线x－y＋4＝0与抛物线C：y2＝12x无公共点．如图，PF＋d2的最小值即为点F(3，0)到直线x－y＋4＝0的距离，所以d1＋d2的最小值为PF＋d2≥＝，即d1＋d2的最小值为. 5. C　由题意，得c1＝，c2＝，所以e1＝＝＝＝，e2＝＝＝＝.又双曲线的渐近线的斜率小于，所以0<k2＝<.又＝>0，所以＝＝－1＋∈(1，4)，所以∈(1，2). 6. D　由题意，得F(1，0)，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1).联立消去y并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ>0.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，直线PM，PN的斜率分别为kPM＝，kPN＝.由kPM＋kPN＝0，得＋＝0，所以(x2－1)(kx1－k－)＋(x1－1)(kx2－k－)＝0，整理，得2kx1x2－(x1＋x2)＋2k＋3＝0，则2k·－·＋2k＋3＝0，解得k＝，所以直线l的方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0. 7. BD　由椭圆C：＋＝1，得a＝，b＝2，所以c＝＝1，所以椭圆C的长轴长为2，焦距为2，故A，C错误；设点P(x，y)，F1(－1，0)，则PF1＝＝＝＝(x＋5)，所以当x＝时，PF1取到最大值1＋，故B正确；当P为椭圆短轴顶点时，∠F1PF2最大，此时cos ∠F1PF2＝＝＝>0，即∠F1PF2为锐角，故不存在点P，使得PF1⊥PF2，故D正确．故选BD. 8. ABD　对于A，抛物线E：y2＝8x的准线方程为x＝－2，故A正确；对于B，设点A(x1，y1)，x1≥0，由抛物线的定义可得AF＝x1＋2≥2，当且仅当x1＝0时，等号成立，故AF的最小值为2，故B正确；对于C，设点B(x2，y2)，若直线AB与x轴平行时，则直线AB与抛物线只有一个交点，不符合题意，易知点F(2，0)，设直线AB的方程为x＝my＋2，联立消去x并整理，得y2－8my－16＝0，则Δ＝64m2＋64>0，y1y2＝－16，故kOAkOB＝＝＝＝＝－4，故C错误；对于D，设直线AB的方程为x＝ny＋t，联立消去x并整理，得y2－8ny－8t＝0，Δ′＝64n2＋32t>0，所以y1y2＝－8t.若OA⊥OB，则kOA·kOB＝＝＝－＝－1，解得t＝8，此时直线AB的方程为x＝ny＋8，故直线AB过定点(8，0)，故D正确．故选ABD. 9. 2　由题意，得F(0，1).设点Pi(xi，yi)(i＝1，2，3)，则＋＋＝(x1＋x2＋x3，y1＋y2＋y3－3)，所以x1＋x2＋x3＝4，直线P1P2的斜率kP1P2＝＝＝，同理可得直线P2P3的斜率kP2P3＝，直线P3P1的斜率kP3P1＝，所以直线P1P2，P2P3，P3P1的斜率之和为＝＝2. 10. 4　设MF的中点为H，MF＝2r，椭圆Γ的左焦点为F1，如图，连接MF1，则ON的最大值为OH＋r.又O，H分别为F1F和MF的中点，所以MF1＝2OH，所以OH＋r＝MF1＋MF＝(MF1＋MF)＝＝3，解得m＝8，故椭圆Γ的短轴长为4. 11. 　因为P是直线l上一点，若AB⊥x轴，注意到当右焦点F2，A，B三点共线时AB恰为2，不妨设点A在第一象限，则点A(，1)，B(，－1)，直线l：x－y＝0，取点B关于直线l的对称点B′(－1，)，则PA＋PB＝PA＋PB′≥AB′＝，即PA＋PB的最小值为. 12. (1) 由题意，得解得 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2) 当直线OA或OB其中一条斜率不存在时，＋＝＋＝； 当直线OA，OB斜率存在且均不为0时，设直线OA：y＝kx，A(x1，y1)， 联立解得x＝， 所以＝＝＝. 同理可得＝，所以＋＝＝. 综上，＋＝. 13. (1) 由题意，得点M到F(3，0)的距离等于点M到直线x＝－3的距离， 所以曲线C是以F(3，0)为焦点，直线x＝－3为准线的抛物线， 故曲线C的标准方程为y2＝12x. (2) 设点P到曲线C的准线的距离为d1，得d1＝PF. PQ＋d＝PQ＋d1－3＝PQ＋PF－3≥QF－3＝2－3. 当P，Q，F三点共线时，PQ＋d取得最小值，且最小值为2－3. (3) 易得l的斜率不为0，设l：x＝my－1，点A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立消去x并整理，得y2－12my＋12＝0， 则Δ＝144m2－4×12>0，解得m2>， 所以y1＋y2＝12m， 则AF＋BF＝x1＋x2＋6＝m(y1＋y2)＋4＝12m2＋4>12×＋4＝8， 所以AF＋BF的取值范围为(8，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $