3.3抛物线检测达标卷-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

2024-2025 高二3.3 抛物线 检测达标卷（苏教版2019） 数学 本试卷共10页，19小题，满分150分. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A． B． C．2 D．4 2.抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3. 已知抛物线上一点到轴的距离是6，则点到该抛物线焦点的距离是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4. 一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（    ）      A． B． C． D． 5.已知抛物线，过点的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，则直线l的斜率是（    ） A． B．3 C． D．6 6. 过抛物线的焦点作斜率为直线与抛物线交于、两点，与抛物线的准线相交于点．若为的中点，则（    ） A． B． C．2 D． 7. 已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于、两点，交准线于点，且是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 8. 过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，线段的中点在直线上，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D．9 2、 选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（    ） A．的准线方程为 B．直线与相切 C．若，则的最小值为 D．若，则的周长的最小值为11 10. 直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标为 B．的最小值为4 C．对任意的直线， D．以为直径的圆与抛物线的准线相切 11. 已知抛物线：的焦点到准线的距离为2，则（    ） A．抛物线为 B．若，为上的动点，则的最小值为4 C．直线与抛物线相交所得弦长最短为4 D．若抛物线准线与轴交于点，点是抛物线上不同于其顶点的任意一点，，，则的最小值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，若，则 . 13. 已知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且AB的中点到x轴的距离为6，则的最大值为 ． 14.若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知抛物线C：过点． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度． 16. 已知动点与点的距离与其到直线的距离相等. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 17.如图1，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分（如图2），盛水或食物的容器放在抛物线的焦点处，该容器由6根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑（图中F点为放置容器处，其余6个焊点在镜口圆上）．已知镜口圆的直径为，镜深． (1)建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程及焦点的坐标； (2)若把盛水或食物的容器近似地看作点，试求支撑容器的架子所用铁筋的总长度（单位）． 18.已知抛物线，点在抛物线上，直线交于，两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点． (1)求点到抛物线焦点的距离； (2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19. 已知抛物线和的焦点分别为和，且． (1)求的值； (2)若点和是直线分别与抛物线和的交点（异于原点），连接并延长交抛物线于，连接并延长交抛物线于，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025 高二3.3 抛物线 检测达标卷答案 （苏教版2019） 一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题意） 1.C 2.A 3.C 4.B 5.A 6.D 7.A 8.D 2、 选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 (9).BCD (10).BD (11).BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. (12).3 (13).20 (14). 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（1）∵过点， ∴，解得， ∴抛物线C：，准线方程为； （2）由（1）知，抛物线焦点为， 设直线AB：，，， 由，得：，则， 则． 16.（1）由题意知动点到的距离与它到直线的距离相等， 所以动点的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 17（1）如图， 在反光镜的轴截面内建立直角坐标系， 使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是， 设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的标准方程是， 焦点坐标是. （2）因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长， 所以每根铁筋长为，                               所以架子所用钢筋总长度为. 18.（1）将点代入抛物线方程，则， 抛物线焦点， 则点到抛物线焦点的距离等于点到抛物线准线的距离． （2）存在，证明如下： 如图，设，．    把代入得，， 由根与系数的关系得，． ，点的坐标为． 假设存在实数，使，则． 又是的中点，． 由（1）知， ． 轴，， 又 ． ， 两边同时平方得：， 解得，即存在，使 19.（1）因为，且点A恰好为线段PF中点，所以，又因为A在抛物线上，所以，即，解得 （2）设，可知直线l斜率存在；设l：， 联立方程得：，所以， 所以， 又： （1） 因为抛物线：的焦点， 抛物线：的焦点， 所以，所以． （2） 由，得即． 由得即． 设，所以，． 因为，所以， 所以． 因为为相异两点，故，所以，所以． 设，所以，． 因为，所以， 所以． 同理，所以，所以． 因为，所以 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$