13.1.3 反证法（5大基础题型+1大巩固提升）（题型专练）数学华东师大版2024八年级上册

13.1.3 反证法 题型一：反证法中的假设 1．(25-26八上·山东菏泽单县实验中学·月考)用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设（   ） A．是锐角 B．不是锐角 C．是直角 D．不是直角 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，反证法的步骤是：①假设结论不成立；②从假设出发推出矛盾；③假设不成立，则结论成立． 根据反证法的步骤，应假设结论不成立作答即可． 【详解】用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设不是锐角， 故选：B． 2．(24-25七上·山西临汾尧都区·期末)用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于证明的第一步是（   ） A．假设最大的内角小于 B．假设最大的内角大于 C．假设最大的内角大于或等于 D．假设最大的内角小于或等于 【答案】A 【分析】假设命题的结论不成立，假定命题的结论反面成立即可． 本题考查了反证法：掌握反证法的一般步骤（假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确）． 【详解】解：用反证法证明“在一个三角形中，最大的内角不小于”时，应先假设在三角形中，最大的内角小于． 故选：A． 3．(24-25八下·浙江杭州高桥教育集团·期中)用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题，应先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于． 故选：A． 4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（   ） A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角中至多有一个角大于60° D．三个内角中至多有一个角不大于60° 【答案】B 【分析】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口． 熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可． 【详解】解：∵用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于， ∴第一步应假设结论不成立，即假设三个内角都大于60°． 故选：B． 5．(25-26九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·开学考)用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设． 故选：A． 6．(24-25八下·贵州贵阳南明区贵阳南明区华麟中学·月考)用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设（   ） A．不平行于 B．不平行于 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反证法，解此题的关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设不平行于， 故选：． 7．(24-25八下·江西抚州临川区青泥镇初级中学·月考)“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先提出与命题的结论相反的假设，再通过推理证明假设不成立，从而肯定原结论．这里要证，就假设其反面．本题主要考查了反证法的概念，熟练掌握反证法中假设结论的反面成立是解题的关键． 【详解】解：求证：”．若用反证法证明，则应假设． 故选： ． 8．(24-25八下·浙江温州南浦中学·月考)用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤可得第一步先假设结论不成立，进而问题可求解． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，第一步应假设； 故选：C． 9．(24-25八下·陕西宝鸡高新中学·期中)在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于”成立时，我们利用反证法，先假设（   ），则可推出三个内角之和大于，这与三角形内角和定理相矛盾． A．一个三角形中没有一个内角不大于 B．一个三角形中至多有两个内角不大于 C．一个三角形中至多有三个内角不大于 D．一个三角形中至少有两个内角不大于 【答案】A 【分析】反证法的思路是先提出与命题的结论相反的假设，然后通过推理得出矛盾．对于“一个三角形中至少有一个内角不大于”，其反面就是假设不存在这样的内角，即所有内角都大于，再据此分析选项．本题主要考查反证法的应用，熟练掌握“反证法需先提出与命题结论相反的假设，明确命题结论的否定形式”是解题的关键． 【详解】解：“一个三角形中至少有一个内角不大于”的否定是“一个三角形中没有一个内角不大于”，也就是三个内角都大于． 选项B“一个三角形中至多有两个内角不大于”，不是原命题结论的否定，不符合反证法假设要求； 选项C“一个三角形中至多有三个内角不大于”，不是原命题结论的否定，不符合反证法假设要求； 选项D“一个三角形中至少有两个内角不大于”，不是原命题结论的否定，不符合反证法假设要求； 选项A“一个三角形中没有一个内角不大于”，是原命题结论的否定，符合反证法的假设． 故选：A ． 10．(24-25八下·浙江杭州文华中学·期中)用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了反证法．反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，在选项中找出对应的假设即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设． 故选：B． 题型二：判断命题是否正确 1．(24-25八下·四川成都高新区·期末)下列说法正确的是（    ） A．六边形的外角和大于五边形的外角和 B．一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段可能垂直 C．三角形的三条角平分线和交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 D．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中有一个内角大于60° 【答案】C 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，角平分线的性质，平移的性质及反证法，熟知以上知识是解题的关键．分别根据多边形的内角与外角，角平分线的性质，平移的性质及反证法对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、六边形的外角和等于五边形的外角和，原说法错误，不符合题意； B、一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行，原说法错误，不符合题意； C、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，正确，符合题意； D、用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中三个内角都大于，原说法错误，不符合题意， 故选：C． 2．(24-25八下·河南郑州郑州高新技术产业开发区·期末)下列说法，正确的是（    ） A．两个等腰三角形的顶角和底边分别相等，那么这两个三角形全等 B．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 C．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”，先假设底角等于 D．三角形三条角平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定、反证法、角平分线的性质，根据以上知识逐项判断解答即可． 【详解】解：A. 两个等腰三角形的顶角和底边分别相等，那么这两个三角形一定全等，说法正确； B. 两个锐角分别相等的两个直角三角形比一定全等，原说法错误； C. 用反证法证明“等腰三角形的底角小于”，先假设底角大于等于，原说法错误； D. 三角形三条角平分线相交于一点，且这一点到三边的距离相等，原说法错误； 故答案为：A． 3．(24-25八下·四川达州渠县·期末)下列说法正确的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B．等腰三角形两底角的平分线相等 C．“对顶角相等”的逆命题是真命题 D．用反证法证明“”时应假设“” 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，等腰三角形，逆命题，反证法．熟练掌握这些性质和方法，是解题的关键． 根据轴对称图形性质，等腰三角形性质，逆命题构造，反证法的开始步骤，逐一分析各选项的正确性，即得． 【详解】A：平行四边形不一定是轴对称图形． 轴对称图形需存在一条直线使其对折后重合，而普通平行四边形无此性质（如矩形、菱形为特殊平行四边形，具有对称轴，但题目未限定）． 故A错误． B：等腰三角形两底角的平分线相等． 等腰三角形两底角相等，作底角的平分线后，平分后的角仍相等． 可构造全等三角形证明：设等腰中，作底角和的平分线． 由可证，故． 因此B正确． C：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 存在相等的角不是对顶角（如同位角、等腰三角形底角），故逆命题不成立． C错误． D：反证法假设错误． 反证法需假设原命题结论的反面． “”的否定应为“”，而非“”． 故D错误． 故选：B． 4．(24-25九·山东聊城实验中学·三模)下列命题是真命题的是（    ） A．有一个角是的三角形是等边三角形 B．若，则 C．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断命题真假，等边三角形的判定，角平分线的性质，反证法中的假设，根据等边三角形的判定定理可判断A；根据时，满足，但不满足可判断B；根据角平分线的性质可判断C；反证法中第一步应假设结论不成立，即假设，据此可判断D． 【详解】解：A、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原命题是假命题，不符合题意； B、由，不能得到，例如时，满足，但不满足，原命题是假命题，不符合题意； C、角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等，原命题是真命题，符合题意； D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 5．(24-25八下·四川达州达川区·期末)下列说法中，错误的是（   ） A．如果两个三角形成中心对称，那么这两个三角形一定全等 B．若等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是或 C．三角形的三边分别为a，b，c，如果满足，那么该三角形是直角三角形 D．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应假设“三角形中三个内角都小于” 【答案】B 【分析】本题考查反证法、命题的真假判断的概念．根据中心对称图形，三角形三边关系，等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理、反证法的应用判断即可． 【详解】解：A：中心对称的两个图形全等，正确，不符合题意； B：等腰三角形边长为， 若腰为，则三边为，此时，不满足三角形三边关系， 若腰为，则三边为，此时，满足三角形三边关系， 故周长是，错误，符合题意； C：由可得，符合勾股定理，说明是直角三角形，正确，不符合题意； D：反证法需假设原命题的否定，即“三个内角都小于”，正确，不符合题意； 故选：B． 6．(24-25八下·广东清远清新区第三中学教育集团·期中)下列说法，正确的是（   ） A．若三边a，b，c比例为，则这个三角形为直角三角形 B．角的平分线上的点到角的两边距离相等 C．“若，则”此命题是真命题 D．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”，先假设底角等于 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、角平分线的性质、真假命题的判定、反证法的假设等知识，根据相关知识逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A、设三边为、、，验证是否满足勾股定理：不满足，故A错误，不符合题意； B、角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，故B正确，符合题意； C、举反例：若，，则成立，但，命题不成立，是假命题，故C错误，不符合题意； D、反证法应假设结论的反面，即“底角不小于”（包含等于和大于），而选项仅假设等于，不完整，故D错误，不符合题意， 故选：B． 7．(24-25八下·辽宁朝阳·期中)下列说法中，正确的结论有（    ） ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角大于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法判断即可． 【详解】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，说法正确； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，说法正确； ③“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，则这两个角为对顶角，此命题为假命题，本小题说法错误； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”先应假设这个三角形中最小角大于，说法正确； 则正确的结论有①②④共三个， 故选：C． 8．(24-25八下·广东深圳65校联考·期中)下列命题中真命题是（   ） A．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形中有一个内角小于” B．三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等 C．等腰三角形的高线、角平分线、中线重合 D．三角形的外角等于它的两个内角之和 【答案】B 【分析】根据反证法的概念，三角形三个内角平分线交点的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形的三个内角都小于”，故A选项是假命题，不符合题意； B、三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等，故B选项是真命题，符合题意； C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C选项是假命题，不符合题意； D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，故D选项是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题，反证法的概念，三角形三个内角平分线交点的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的概念，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 9．(24-25八下·宁夏银川西夏区银川第二十四中学·期中)下列说法错误的是（   ） A．用反证法证明“”时，应假设 B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15 【答案】C 【分析】本题考查了反证法，逆命题和真命题，三角形三边关系，等腰三角形．根据反证法，三角形三边关系，等腰三角形以及逆命题和真命题的定义求解即可． 【详解】A. 用反证法证明“”时，应假设，正确； B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题，正确； C. 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，不正确； D. 边长为3，6的等腰三角形的周长为15，正确． 故选：C． 10．如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题： ①如果，那么为中点； ②如果，那么． 对于这两个命题判断正确的是（   ） A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，证明，得到，再证明，得到，进而得到垂直平分，判断①，反证法判断②． 【详解】解析：①三角形为等边三角形， ∴， ， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ， ∵，， ， ， 为中垂线上的点， ∵， ∴为中垂线上的点， ∴垂直平分， 为中点； 所以①为真命题； 假设与不平行，作，与交于点，作，则：，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴，即：，与矛盾， ∴假设不成立， ∴；故②为真命题． 故选A． 题型三：用反证法求证判断选项是否正确 1．(24-25八下·福建三明大田县·期中)已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 先要假设每个数大于，则四个正数的和大于1，即可证明结论． 【详解】解：先要假设每个数大于， 则四个正数的和大于1， 与已知已知四个正数的和等于1矛盾， 故至少有一个数不大于， 故选：C． 2．(24-25八上·湖南衡阳城区初中联考·期末)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 根据反证法的步骤即可判断． 【详解】解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 所以，正确的步骤是③①②． 故选：D． 3．(23-24八下·辽宁本溪·期末)证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 【详解】解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 4．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此进行判断即可．也考查了等边对等角． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： ③假设在中，， ④由，得，即， ①∴，这与三角形内角和为矛盾， ②因此假设不成立，∴， ∴这四个步骤正确的顺序应是③④①②． 故选：D． 5．(23-24八下·山东枣庄中区·期中)已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ③假设在中，， ④由，得，即， ②，这与三角形内角和为矛盾， ①因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 6．(23-24八上·河北石家庄裕华区·期末)已知：如图， 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法的步骤，首先需假设原命题的反面成立即第一步为③；进而得到，进而得到，这与“三角形内角和等于”相矛盾，则假设不成立，据此可得答案． 【详解】解：根据反证法解答题目的一般步骤，可得本题所给的步骤正确顺序是③④①②， 故选D． 7．(24-25八下·河南平顶山·期中)已知在中，，求证：．下面写出了用反证法证明该问题过程中的四个步骤：①所以，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以；③假设；④那么由，得，即．这四个步骤正确的顺序是（    ） A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③②① 【答案】C 【分析】由反证法的证明步骤进行判断即可． 【详解】解：反证法的证明步骤：（1）假设；（2）合情推理；（3）导出矛盾；（4）得出结论； 由反证法的证明步骤可知，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤应该为： （1）假设； （2）那么，由，得，即； （3）所以，这与三角形内角和定理相矛盾； （4）所以； 原命题的正确顺序应该为：③④①②． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用反证法证明命题的步骤，反证法的证明步骤：（1）假设；（2）合情推理；（3）导出矛盾；（4）得出结论．掌握反证法的基本步骤是解决问题的关键． 8．(24-25八下·浙江宁波江北区·期末)用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（    ）步骤如下： ①假设在中，． ②因此假设不成立，． ③由，得，即，，这与“三角形三个内角的和等于”产生矛盾． A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②① 【答案】A 【分析】根据反证法的解题方法与步骤可得答案． 【详解】解：反证法的基本步骤： 先假设结论的反面成立，再证明结论的反面与已知或公理，定理等互相矛盾，再否定假设，从而得到结论； ∴以上步骤排序为：①③②， 故选A． 【点睛】本题考查的是反证法的步骤，熟记反证法的基本步骤是解本题的关键． 题型四：利用反证法进行证明 1．(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·)用反证法证明：等腰三角形的底角小于 【答案】见详解 【分析】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 假设等腰三角形的底角大于或等于，然后根据等腰三角形的性质得出假设不成立，从而证得原结论成立． 【详解】证明：假设等腰三角形的底角大于或等于， ∵等腰三角形的两个底角相等， 则两个底角的和大于或等于，则该三角形的三个内角的和一定大于， ∵这与三角形的内角和定理相矛盾， 故假设不成立． 即等腰三角形的底角小于． 2．(25-26八上·山东聊城阳谷县七级中学·月考)用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 【答案】详见解析 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】证明：假设，都不大于零， 即，， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以， 这与已知条件矛盾， 所以假设不成立． 所以，中至少有一个大于零． 3．求证：如果实数a、b满足，那么且．（用反证法证明） 【答案】见解析 【分析】此题考查了反证法的应用，假设或，然后根据题意证明出，即可证明． 【详解】证明：假设或， 则且或且或且． 当且时，， ， 这与矛盾． 同理可得当且或且时，， 这与矛盾， 假设不成立，因此且． 4．(24-25七下·江苏无锡新吴区·期末)请用反证法证明：已知：，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法的应用，解题的关键是熟练掌握反证法的证明步骤． 先假设，然后根据绝对值的性质推出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】假设， 当时，， 这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 5．(24-25七下·江苏南京师范大学附属中学树人学校·月考)已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 【答案】见解析 【分析】此题考查了反证法，完全平方公式，假设m不是偶数，则m为奇数，设（n为整数），证明出为奇数，与为偶数矛盾，即可证明． 【详解】解：假设m不是偶数，则m为奇数， 设（n为整数），则． 因为为偶数， 所以为奇数，与为偶数矛盾， 所以假设不成立，故m为偶数． 6．求证：对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数p，使得三个数中有且只有一个数是p的整数倍． 【答案】见详解 【分析】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：（1）假设命题的结论不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数，使得三个数中没有一个数是的整数倍或有两个或三个的整数倍， 取，显然，任意连续的三个正整数，有且只有一个数是3的整数倍， 所以假设不成立， 所以对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数，使得三个数中有且只有一个数是的整数倍． 7．(23-24八下·陕西西安莲湖区·期中)用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了反证法的知识，根据反证法的步骤，先假设都小于，可得，与三角形的内角和定理矛盾，即假设错误，进而得到三角形中至少有一个角不小于，掌握反证法的步骤：（）假设结论不成立；（）从假设出发推出矛盾；（）假设不成立，则结论成立；是解题的关键． 【详解】证明：假设都小于，则， 即，这与三角形的内角和定理矛盾， 故都小于不成立， 所以三角形中至少有一个角不小于． 8．(24-25八下·陕西咸阳实验中学·月考)用反证法证明在中至多有两个角大于． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了反证法，三角形内角和定理，先假设中有三个内角大于，进而推出三个内角度数之和大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，由此即可证明结论． 【详解】证明：假设中有三个内角大于， 则大于，大于，大于， 、、三个角之和大于， 这与三角形内角和等于相矛盾， 故在中至多有两个角大于． 9．用反证法证明： (1)已知：，求证：a必为负数． (2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先假设，则，与已知矛盾，因此a必为负数． （2）假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，设这两个整数为，则有，因为，可得前后矛盾，因此假设结论不成立，进而得出答案． 【详解】（1）证明：假设，则，这与已知相矛盾， ∴假设不成立， ∴a必为负数； （2）证明：假设的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为， 则， ∵， ∴假设不成立， ∴的整数k不能化为两个整数的平方和． 【点睛】本题考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键． 题型五：反证法中填空题型 1．(23-24八下·浙江杭州萧山区·月考)用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 2．(23-24七下·福建莆田·期末)人教版七年级下册数学课本第页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边平方得， 即 ．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得， ． 即 ． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了反证法．理解题意，类比作答是解题的关键． （1）按照步骤作答即可； （2）类比（1）的步骤作答即可． 【详解】（1）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边平方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 故答案为：，，； （2）解：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边立方得， 即．① 故是偶数，因为只有偶数的立方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得，． 即． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． 3．(23-24八下·陕西榆林第十中学·月考)用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的外角性质的证明，反证法等知识，根据三角形的内角和定理和邻补角互补即可证明，掌握三角形的内角和与反证法的解题思路是解题的关键． 【详解】证明：假设． 在中，， ． ， ， ， 与假设相矛盾， 假设不成立， 原命题成立，即． 故答案为：；；；；，不成立． 4．(24-25七下·上海普陀区·期末)用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 5．(24-25七下·江苏无锡长泾第二中学·)用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了反证法，反证法第一步假设结论不成立，即假设是0或正数，根据正数和0的绝对值都是它本身可得到此时假设与题设矛盾，则可证明结论． 【详解】解：证明：假设不是负数，那么是0或是正数． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是正数，那么，这与题设矛盾，所以不可能是正数． 综合①和②，知不可能是0，也不可能是正数，所以必为负数． 6．(24-25八下·广东揭阳惠来县第一中学·月考)用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， ________， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了反证法（用反证法证明命题），平行线的性质（两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补）等知识点，熟练掌握用反证法证明命题的一般步骤是解题的关键：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 按照用反证法证明命题的一般步骤进行推理论证即可． 【详解】证明：假设， ， ， ， ，这和“平角的定义”矛盾， 假设不成立，即， 故答案为：，，，，． 7．(24-25八上·福建漳州长泰区·期中)阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 【答案】；q是一个偶数；；p是一个偶数；p，q是互质的正整数 【分析】本题主要考查了用假设法证明，根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，等式两边平方得到，由是一个偶数，可得，q是一个偶数，可设（k是正整数），则，即可证明p也是偶数，这与p，q是互质的正整数的假设矛盾，由此即可证明结论． 【详解】解：完整证明过程如下： 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴q是一个偶数． 设（k是正整数）， ， ， 是一个偶数． ∴p是一个偶数． ∴p和q均为偶数． 这与p，q是互质的正整数的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 8．(24-25八下·贵州贵阳青岩贵璜中学·期中)用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设______． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______． ∴______． ∴与假设相矛盾． ∴假设不成立． ∴原命题成立，即． 【答案】；；；； 【分析】本题考查了反证法的应用、三角形内角和定理及平角的定义，解题的关键是正确作出反设（假设结论不成立），并利用内角和与平角性质推出矛盾． 假设结论不成立；利用三角形内角和表示，利用平角表示；推导得出，与假设矛盾，从而证明原命题． 【详解】反证法的第一步是假设结论不成立，因此假设． 根据三角形内角和定理，，变形得． 由于是的外角，与组成平角，故，因此． 由上述两步可知，这与假设矛盾． 因此假设不成立，原命题成立． 9．(24-25七下·江苏南京玄武区·期末)证明：三角形中至少有一个内角小于或等于 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 【答案】三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 【分析】本题运用反证法证明三角形中至少有一个内角小于或等于，需先假设结论不成立，再根据假设推出与三角形内角和定理矛盾的结论，从而证明原结论成立． 【详解】证明：假设①三角形中所有角都大于， 所以，②． 这与“③三角形的内角和为”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于 故答案为：三角形中所有角都大于；；三角形的内角和为 题型一：反证法与几何综合 1．(24-25八上·江苏南京师大附中新城初级中学·月考)如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论； （2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 是等腰三角形； （2）解：假设是等腰直角三角形， 则， ， 由（1）可知：≌， ∴， ， ， ， 不可能是等腰直角三角形． 2．(23-24八下·陕西西安部分学校·月考)如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求证：是直角三角形； (3)能否为等边三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)不能．理由见解析 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可； （3）用反证法，假设能否为等边三角形，根据题意证明不等于，推出矛盾． 【详解】（1）证明：， ． ， 是等边三角形； （2）解：是直角三角形． 理由如下： 是等边三角形， ， ，， ， ， ∴是直角三角形； （3）解：不能．理由： 由，得． 若为等边三角形， 则， 又， ． 又， ， 又， ． ∴不可能为等边三角形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 3．(24-25七下·浙江杭州萧山区杭州高级中学启成学校·月考)如图，已知直线，，E、F在线段上，且满足，平分， ．   (1)与是否平行？说明理由； (2)求的度数； (3)若平行移动线段，是否存在？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由平行线的性质，通过等量代换证明，即可证明； （2）先证明，再由求的度数，进而求得的度数； （3）用反证法证明不存在，即假设存在，则可推出点与点重合，与已知条件相矛盾． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）平分， ， ， ； ， ， ． （3）不存在，理由如下： 假设存在， ， ， ； 由（1）得， ， ， 由（2）得， ， ， 整理得，即点与点重合，这与已知条件相矛盾， 假设不成立， 不存在． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、角平分线的概念、反证法等知识和方法，应注意的是，在解第（3）题时，先假设存在，然后根据平行线的性质且应用（1）和（2）中的结论，逐步推出与已知条件相矛盾． 4．(24-25八上·湖南岳阳岳阳县·期末)如图，在中，，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数； (3)可能是等腰直角三角形吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)65° (3)不可能是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据AD+EC=AB，可知EC=DB，再利用SAS证明△BED≌△CFE，得DE=EF，即可证明结论； （2）由（1）知△BED≌△CFE，得∠BDE=∠FEC，则∠DEB+∠FEC=∠DEB+∠BDE=180°-∠B=115°，再根据平角的定义可得答案； （3）假设△DEF是等腰直角三角形，则∠DEF=90°，可得到∠B=90°，则假设不成立． 【详解】（1）证明：证明：∵AD+EC=AB=AD+DB， ∴EC=DB， 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△BED与△CFE中， ∵BD=CE，∠B=∠C，BE=CF ∴△BED≌△CFE（SAS）， ∴DE=EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵∠A=50°， ∴∠B=∠C=65°， 由（1）知△BED≌△CFE， ∴∠BDE=∠FEC， ∴∠DEB+∠FEC=∠DEB+∠BDE=180°-∠B=115°， ∴∠DEF=180°-（∠DEB+∠FEC）=65°； （3）不可能，理由如下： 假设△DEF是等腰直角三角形，则∠DEF=90°， ∴∠DEB+∠FEC=90°， ∴∠DEB+∠BDE=90°， ∴∠B=90°， ∴∠C=90， ∴∠A+∠B+∠C>180°，与三角形内角和定理相矛盾， ∴△DEF不可能是等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明△BED≌△CFE是解题的关键． 1．(25-26八上·山东聊城运河教育联合体·月考)用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（    ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法，掌握原命题的否定与原命题的关系是解题的关键．“至少有两个”的反面为“至多有一个”，据此即可解答． 【详解】解：∵至少有两个”的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的否定． ∴应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角． 故选：D． 2．用反证法证明时，假设“点在圆内或圆外”，经过推理后得出矛盾，则点和圆的位置关系是（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不确定 【答案】B 【分析】 假设“点在圆内或圆外”，经过推理后得出矛盾，说明该假设不成立，因此原结论“点在圆上”必然成立． 【详解】解：假设 “点在圆内或圆外”，经过推理后得出矛盾， 说明该假设不成立，因此原结论“点在圆上”必然成立． 故选：B． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，反证法，掌握点与圆的三种位置关系，反证法的意义和步骤是解题的关键． 3．(24-25八下·贵州毕节赫章县·期末)下列说法正确的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互补 B．不等式的正整数解只有1 C．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是真命题 D．用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的性质，不等式的整数解，判断一个命题的逆命题真假及反证法等知识， 根据直角三角形的两个锐角互余，不等式的正整数解有1和2，判断一个命题的逆命题真假及反证法等知识逐项判断即可． 【详解】解：A，直角三角形的两个锐角互余，故本选项错误； B，不等式的正整数解有1和2，故本选项错误； C，逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，故本选项正确； D，用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设，故本选项错误． 故选：C． 4．(24-25八下·河南项城第四初级中学·月考)在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（   ） A．举反例法 B．整体代入法 C．反证法 D．数学归纳法 【答案】C 【分析】本题主要考查了反证法，根据反证法的第一步：假设结论不成立，即可判断解题． 【详解】解：证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是反证法； 故选：C． 5．(24-25八下·浙江宁波江北区·期末)牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断． 【详解】解：与的大小关系有，，三种情况， ∴的反面是“不小于”，即“”． ∴用反证法证明“”时，应先假设， 故选：D． 6．(24-25八上·河北石家庄外国语教育集团（43中）·期末)下列说法中，①；②到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；③说明“任何数的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是：；④“对顶角相等”的逆命题是真命题；⑤用反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设“这个三角形中最小角大于”．正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，命题及逆命题的真假判断、反证法，实数大小的比较，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据二次根式性质，实数大小的比较方法，角平分线的性质，命题及逆命题的真假判断、反证法逐项判断即可． 【详解】解：①∵，， 又∵， ∴，故①错误； ②到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角平分线的交点，故②错误； ③说明“任何数的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是：，故③正确； ④“对顶角相等”的逆命题是“两个相等的角是对顶角”，此命题是假命题，故④错误； ⑤用反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设“这个三角形中最小角大于”，故⑤正确； 综上分析可知：正确的有2个． 故选：B． 7．(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校·月考)用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么 ． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以 ． 【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可． 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，，过点的两条直线、都与直线垂直． 这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， 故假设不成立． 所以． 故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 8．(24-25八下·江苏宿迁沭阳县沭阳如东实验学校·月考)用反证法证明“在中，，且，那么．”应先假设 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反证法，熟练掌握反证法的第一步是假设结论的反面成立是解题的关键．根据反证法的第一步是假设结论的反面成立，即可求解． 【详解】解：根据题意得：应先假设． 故答案为：． 9．(24-25七上·湖北黄石第十六中学·)我军从敌方截获了10组数据：14073　63136　29402　35862　84271　79588　42936　98174　50811　07145．破译人员知道这是一个五位数密码，每一组数据与这个密码都只有一个数位上的数字相同．这个密码是 【答案】09876 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索问题和反证法，解题的关键是根据题意进行合理的推理． 根据题意利用反证法进行合理的推理即可． 【详解】解：要破译这个五位数密码，我们利用 “10组数据每组与密码只有一个数位相同” 的条件，结合抽屉原理（10组数据分配到5个数位，每个数位至少有2组数据的该数位与密码相同），通过分析每个数位的数字出现规律来推导： 由于10组数据每组仅1个数位与密码相同，5个数位共需 “匹配10次”，因此每个数位恰好有2组数据的该数位与密码相同（）， （1）十位：选“7”（出现3次，取2次有效）， 观察十位，数字 “7”出现3次（第1、5、8组）， 假设十位为“7”，则第 1、5、8 组的十位与密码相同，其余数位（万、千、百、个）需与密码不同， 第1组（14073）：万1、千4、百0、个3 ， 均不等于密码对应位； 第5组（84271）：万8、千4、百2、个1 ， 均不等于密码对应位； 第8组（98174）：万9、千8、百1、个4 ，均不等于密码对应位； （2）百位：选“8”（出现2次，恰好2次有效） 观察百位，数字“8”出现 2 次（第4、9组），假设百位为“8”，则第4、9组的百位与密码相同，其余数位需与密码不同， 第4组（35862）：万3、千5、十6、个2 ， 均不等于密码对应位； 第9组（50811）：万5、千0、十1、个1 ，均不等于密码对应位； （3）个位：选“6”（出现2次，恰好2次有效） 观察个位，数字“6” 出现2次（第2、7组）．假设个位为“6”，则第2、7组的个位与密码相同，其余数位需与密码不同． 第2组（63136）：万6、千3、百1、十3 ， 均不等于密码对应位； 第7组（42936）：万4、千2、百9、十3 ， 均不等于密码对应位； （4）千位：选 “9”（出现2次，恰好2次有效） 观察千位，数字“9” 出现2次（第3、6组），假设千位为“9”，则第3、6 组的千位与密码相同，其余数位需与密码不同， 第3组（29402）：万2、百4、十0、个2 ，均不等于密码对应位； 第6组（79588）：万7、百5、十8、个8 ， 均不等于密码对应位； （5）万位：选“0”（剩余唯一合理值） 剩余第10组（07145），需满足 “仅1个数位与密码相同”，此时密码的十位7、百位8、个位6、千位9已确定，若万位为 “0”，则第10组的万位与密码相同，其余数位（千7、百1、十4、个5）均≠密码对应位，符合条件． 最终密码为09876，验证所有10组数据，每组均只有1个数位与密码相同，符合题意． 故答案为：09876． 10．(23-24九下·湖南长沙雅礼教育集团南雅中学·期中)在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色． 小雅说：“红色球在我手上”； 小培说：“红色球不在我手上”； 小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”． 三个同学只有一个说对了，则红色球在 的手上． 【答案】小培 【分析】本题考查了逻辑推理与论证．解题的关键在于对信息的综合理解．分别假设小雅、小培、小粹的说法正确，由此进行推理，判断是否符合题意即可． 【详解】解：由题意知，假设小雅正确，则小培正确，小雅、小培同学说法正确，故不符合题意； 假设小培正确，小培和小粹也有一人说法正确，故不符合题意； 假设小粹正确，小雅、小培说法错误，则红色球不在小雅手上，在小培手上，符合题意， ∴当三个同学中只有一个说对了，则红色球在小培的手上， 故选：小培． 11．(25-26八上·山东聊城阳谷县、东阿县部分学校联考·调研)用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”． 【答案】见解析． 【分析】查了反证法．解此题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立． 画出图形，写出已知、求证，然后根据反证法的步骤给出证明即可解决问题． 【详解】解：已知：，， 求证：． 证明：假设与相交于点， 则过点有两条直线平行于直线， 这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾， 所以， 所以平行于同一条直线的两直线平行． 12．用反证法证明：将自然数1，2，3，…，21这21个数任意地放在一个圆周上，一定有相邻的3个数，它们的和不小于33． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了反证法证明的方法，同学们应学会证明的思路，从结论的反面出发，通过推理论证得出与已知或定理的矛盾，从而得出假设不成立，原命题正确，这是运用反证法证明必须遵循的步骤． 首先假设所有相邻的三个数，它们的和都小于，则它们的和小于等于，由个数的和的最值比较，得出矛盾，从而得出假设不成立，原命题正确． 【详解】证明：假设所有相邻的3个数，它们的和都小于33，即它们的和小于等于32， 将所有21组相邻的3个数相加，总和不大于。由于每个数在求和过程中均被计算3次，故这21个数的和不大于． 所以假设不成立，则命题得证． 13．(2025·福建省泉州市·模拟)已知实数a、b、c、m、n满足，． (1)当时，求证：； (2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力． （1）先得出，，求出，再根据证明结论； （2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 所以， 因为，， 所以， 所以，即． （2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数， 所以，都为偶数，即，都为偶数， 所以为偶数， 这与为奇数矛盾， 所以假设不成立， 所以m，n至少有一个为奇数． 14．(24-25八上·福建泉州第五中学·期末)阅读正文并解答下列问题： 如图，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若，则在上取点D，连接，使． ∵， ∴； 在上取点E，使，则， 即：， ∴． 这与已知相矛盾， ∴假设不成立； ②若， … 综上，． (1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）； A．直接证明法；    B．反证法． (2)请你补充②中所缺失的部分． 【答案】(1)B (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，反证法： （1）根据证明过程即可得到答案； （2）根据等角对等边可得，这与已知相矛盾，据此可得结论． 【详解】（1）解：由证明过程可知，上述证明过程采用的方法是反证法， 故选：B； （2）证明：若， ∴，这与已知相矛盾， 综上，． 15．(24-25七下·福建厦门外国语学校·期末)阅读下列材料： 正方形的边长为a，则其面积为．若正方形的边长增加b，则其面积是多少？ 探究：如图把正方形分割成四个正方形或长方形，从中可以求得正方形面积是，同时又可以求得正方形的面积是．    所以可以得到：． 我们把公式称为完全平方公式． 例如： (1)探究1：请模仿上述例子进行填空： ______=______； (2)探究2：究竟有多大呢？探究并完成填空： 我们知道面积是2的正方形的边长是，并且．设，则，由完全平方公式可得：______． ∵x的值很小，∴的值更小，可以略去，得： 解得：______．（保留到0.001）∴______． (3)探究3：是不是有理数呢？ 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得，于是有． ∵是偶数，∴也是偶数，∴n是偶数， 设（t是正整数），则，即， ∴，∴m也是偶数 ∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾．∴假设错误 ∴不是有理数． 解决问题：请你探究是不是有理数． 【答案】(1)， (2)，， (3)证明过程见详解 【分析】（1）根据题干给出的计算方法计算即可； （2）方法同（1）； （3）根据题干给出的方法即可证明； 【详解】（1）， 故答案为：，； （2）令， 即， ∵x的值很小， ∴的值更小，可以略去， 得： 解得：．（保留到0.001）， ∴， 故答案为：，，； （3）假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得，于是有． ∵是偶数， ∴也是偶数， ∴n是偶数， 设（t是正整数），则，即， ∴， ∵是偶数， ∴是偶数， ∵是奇数， ∴是偶数， ∴m也是偶数， ∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾． ∴假设错误， ∴不是有理数． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景及其应用以及反证法证明数学命题．理解题干给出的信息，是解答本题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1.3 反证法 题型一：反证法中的假设 1．(25-26八上·山东菏泽单县实验中学·月考)用反证法证明“在中，若是直角，则一定是锐角”时，应假设（   ） A．是锐角 B．不是锐角 C．是直角 D．不是直角 2．(24-25七上·山西临汾尧都区·期末)用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于证明的第一步是（   ） A．假设最大的内角小于 B．假设最大的内角大于 C．假设最大的内角大于或等于 D．假设最大的内角小于或等于 3．(24-25八下·浙江杭州高桥教育集团·期中)用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设（   ） A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60° C．三个内角中至多有一个角大于60° D．三个内角中至多有一个角不大于60° 5．(25-26九上·陕西西安陕西师范大学附属中学·开学考)用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八下·贵州贵阳南明区贵阳南明区华麟中学·月考)用反证法证明“同一平面内，，则”时，第一步应先假设（   ） A．不平行于 B．不平行于 C． D． 7．(24-25八下·江西抚州临川区青泥镇初级中学·月考)“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（    ） A． B． C． D． 8．(24-25八下·浙江温州南浦中学·月考)用反证法证明命题：“在中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 9．(24-25八下·陕西宝鸡高新中学·期中)在证明命题“一个三角形中至少有一个内角不大于”成立时，我们利用反证法，先假设（   ），则可推出三个内角之和大于，这与三角形内角和定理相矛盾． A．一个三角形中没有一个内角不大于 B．一个三角形中至多有两个内角不大于 C．一个三角形中至多有三个内角不大于 D．一个三角形中至少有两个内角不大于 10．(24-25八下·浙江杭州文华中学·期中)用反证法证明：“中，若，则”，应先假设（   ） A． B． C． D． 题型二：判断命题是否正确 1．(24-25八下·四川成都高新区·期末)下列说法正确的是（    ） A．六边形的外角和大于五边形的外角和 B．一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段可能垂直 C．三角形的三条角平分线和交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 D．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应假设这个三角形中有一个内角大于60° 2．(24-25八下·河南郑州郑州高新技术产业开发区·期末)下列说法，正确的是（    ） A．两个等腰三角形的顶角和底边分别相等，那么这两个三角形全等 B．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 C．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”，先假设底角等于 D．三角形三条角平分线相交于一点，且这一点到三个顶点的距离相等 3．(24-25八下·四川达州渠县·期末)下列说法正确的是（    ） A．平行四边形是轴对称图形 B．等腰三角形两底角的平分线相等 C．“对顶角相等”的逆命题是真命题 D．用反证法证明“”时应假设“” 4．(24-25九·山东聊城实验中学·三模)下列命题是真命题的是（    ） A．有一个角是的三角形是等边三角形 B．若，则 C．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 D．用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设 5．(24-25八下·四川达州达川区·期末)下列说法中，错误的是（   ） A．如果两个三角形成中心对称，那么这两个三角形一定全等 B．若等腰三角形的两边长分别为，则该等腰三角形的周长是或 C．三角形的三边分别为a，b，c，如果满足，那么该三角形是直角三角形 D．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，第一步应假设“三角形中三个内角都小于” 6．(24-25八下·广东清远清新区第三中学教育集团·期中)下列说法，正确的是（   ） A．若三边a，b，c比例为，则这个三角形为直角三角形 B．角的平分线上的点到角的两边距离相等 C．“若，则”此命题是真命题 D．用反证法证明“等腰三角形的底角小于”，先假设底角等于 7．(24-25八下·辽宁朝阳·期中)下列说法中，正确的结论有（    ） ①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； ③“对顶角相等”的逆命题是真命题； ④反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角大于． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．(24-25八下·广东深圳65校联考·期中)下列命题中真命题是（   ） A．用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时候，第一步应假设“三角形中有一个内角小于” B．三角形三个内角平分线交点到三角形三边的距离相等 C．等腰三角形的高线、角平分线、中线重合 D．三角形的外角等于它的两个内角之和 9．(24-25八下·宁夏银川西夏区银川第二十四中学·期中)下列说法错误的是（   ） A．用反证法证明“”时，应假设 B．“同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题 C．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等 D．边长为3，6的等腰三角形的周长为15 10．如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题： ①如果，那么为中点； ②如果，那么． 对于这两个命题判断正确的是（   ） A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题； C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题． 题型三：用反证法求证判断选项是否正确 1．(24-25八下·福建三明大田县·期中)已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（   ） A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于 C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于 2．(24-25八上·湖南衡阳城区初中联考·期末)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 3．(23-24八下·辽宁本溪·期末)证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 4．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与三角形内角和为矛盾 ②因此假设不成立，∴ ③假设在中， ④由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 5．(23-24八下·山东枣庄中区·期中)已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 6．(23-24八上·河北石家庄裕华区·期末)已知：如图， 求证：在中，如果它含直角，那么它只能有一个直角． 下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴，这与“三角形内角和等于”相矛盾． ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不成立． ∴如果三角形含直角，那么它只能有一个直角． ③假设有两个（或三个）直角，不妨设． ④∵， 这四个步骤正确的顺序应是（　　） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 7．(24-25八下·河南平顶山·期中)已知在中，，求证：．下面写出了用反证法证明该问题过程中的四个步骤：①所以，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以；③假设；④那么由，得，即．这四个步骤正确的顺序是（    ） A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③②① 8．(24-25八下·浙江宁波江北区·期末)用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（    ）步骤如下： ①假设在中，． ②因此假设不成立，． ③由，得，即，，这与“三角形三个内角的和等于”产生矛盾． A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②① 题型四：利用反证法进行证明 1．(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·)用反证法证明：等腰三角形的底角小于 2．(25-26八上·山东聊城阳谷县七级中学·月考)用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 3．求证：如果实数a、b满足，那么且．（用反证法证明） 4．(24-25七下·江苏无锡新吴区·期末)请用反证法证明：已知：，求证：． 5．(24-25七下·江苏南京师范大学附属中学树人学校·月考)已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明） 6．求证：对于任意连续的三个正整数，都存在一个质数p，使得三个数中有且只有一个数是p的整数倍． 7．(23-24八下·陕西西安莲湖区·期中)用反证法证明：一个三角形中，至少有一个角不小于 8．(24-25八下·陕西咸阳实验中学·月考)用反证法证明在中至多有两个角大于． 9．用反证法证明： (1)已知：，求证：a必为负数． (2)求证：形如的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和． 题型五：反证法中填空题型 1．(23-24八下·浙江杭州萧山区·月考)用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 2．(23-24七下·福建莆田·期末)人教版七年级下册数学课本第页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数和，使得， 两边平方得， 即 ．① 故是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以也是偶数． 设，代入①得， ． 即 ． 所以也是偶数，则和都是偶数，不互质．这与假设和互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【运用并解决】 类比上述的阅读与思考，推理说明不是有理数． 3．(23-24八下·陕西榆林第十中学·月考)用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设___________． 在中，， ∴___________． ∵___________， ∴___________， ∴___________． 与假设相矛盾， ∴假设___________ ∴原命题成立，即． 4．(24-25七下·上海普陀区·期末)用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 5．(24-25七下·江苏无锡长泾第二中学·)用反证法证明“”，求证：必为负数． 证明：假设不是负数，那么是__________或是__________． ①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零； ②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________． 综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数． 6．(24-25八下·广东揭阳惠来县第一中学·月考)用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， ________， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 7．(24-25八上·福建漳州长泰区·期中)阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程． 证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商， 设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知． ， ∴_______________． 是一个偶数， 是一个偶数． ∴_______________． 设（k是正整数）， ， _____________， 是一个偶数． ∴_______________． ∴p和q均为偶数． 这与__________________的假设矛盾． 这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立， 所以不是有理数． 8．(24-25八下·贵州贵阳青岩贵璜中学·期中)用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证： 证明：假设______． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______． ∴______． ∴与假设相矛盾． ∴假设不成立． ∴原命题成立，即． 9．(24-25七下·江苏南京玄武区·期末)证明：三角形中至少有一个内角小于或等于 已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于． 证明：假设①___________， 所以，②_____________． 这与“③___________”矛盾． 所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于． 题型一：反证法与几何综合 1．(24-25八上·江苏南京师大附中新城初级中学·月考)如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 2．(23-24八下·陕西西安部分学校·月考)如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求证：是直角三角形； (3)能否为等边三角形？请说明理由． 3．(24-25七下·浙江杭州萧山区杭州高级中学启成学校·月考)如图，已知直线，，E、F在线段上，且满足，平分， ．   (1)与是否平行？说明理由； (2)求的度数； (3)若平行移动线段，是否存在？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 4．(24-25八上·湖南岳阳岳阳县·期末)如图，在中，，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且， (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数； (3)可能是等腰直角三角形吗？为什么？ 1．(25-26八上·山东聊城运河教育联合体·月考)用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（    ） A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角 C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角 2．用反证法证明时，假设“点在圆内或圆外”，经过推理后得出矛盾，则点和圆的位置关系是（   ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不确定 3．(24-25八下·贵州毕节赫章县·期末)下列说法正确的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互补 B．不等式的正整数解只有1 C．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是真命题 D．用反证法证明命题“在中，若，则”时，应先假设 4．(24-25八下·河南项城第四初级中学·月考)在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（   ） A．举反例法 B．整体代入法 C．反证法 D．数学归纳法 5．(24-25八下·浙江宁波江北区·期末)牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精当的武器之一”，用反证法证明“在中，若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·河北石家庄外国语教育集团（43中）·期末)下列说法中，①；②到三角形三边距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点；③说明“任何数的平方都大于0．”是假命题的一个反例可以是：；④“对顶角相等”的逆命题是真命题；⑤用反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设“这个三角形中最小角大于”．正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．(24-25七下·上海松江区东华大学附属实验学校·月考)用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么 ． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以 ． 8．(24-25八下·江苏宿迁沭阳县沭阳如东实验学校·月考)用反证法证明“在中，，且，那么．”应先假设 ． 9．(24-25七上·湖北黄石第十六中学·)我军从敌方截获了10组数据：14073　63136　29402　35862　84271　79588　42936　98174　50811　07145．破译人员知道这是一个五位数密码，每一组数据与这个密码都只有一个数位上的数字相同．这个密码是 10．(23-24九下·湖南长沙雅礼教育集团南雅中学·期中)在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色． 小雅说：“红色球在我手上”； 小培说：“红色球不在我手上”； 小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”． 三个同学只有一个说对了，则红色球在 的手上． 11．(25-26八上·山东聊城阳谷县、东阿县部分学校联考·调研)用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”． 12．用反证法证明：将自然数1，2，3，…，21这21个数任意地放在一个圆周上，一定有相邻的3个数，它们的和不小于33． 13．(2025·福建省泉州市·模拟)已知实数a、b、c、m、n满足，． (1)当时，求证：； (2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数． 14．(24-25八上·福建泉州第五中学·期末)阅读正文并解答下列问题： 如图，已知在中，，求证：． 证明：假设， ①若，则在上取点D，连接，使． ∵， ∴； 在上取点E，使，则， 即：， ∴． 这与已知相矛盾， ∴假设不成立； ②若， … 综上，． (1)上述证明过程采用的方法是_________（填写：“A”或“B”）； A．直接证明法；    B．反证法． (2)请你补充②中所缺失的部分． 15．(24-25七下·福建厦门外国语学校·期末)阅读下列材料： 正方形的边长为a，则其面积为．若正方形的边长增加b，则其面积是多少？ 探究：如图把正方形分割成四个正方形或长方形，从中可以求得正方形面积是，同时又可以求得正方形的面积是．    所以可以得到：． 我们把公式称为完全平方公式． 例如： (1)探究1：请模仿上述例子进行填空： ______=______； (2)探究2：究竟有多大呢？探究并完成填空： 我们知道面积是2的正方形的边长是，并且．设，则，由完全平方公式可得：______． ∵x的值很小，∴的值更小，可以略去，得： 解得：______．（保留到0.001）∴______． (3)探究3：是不是有理数呢？ 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得，于是有． ∵是偶数，∴也是偶数，∴n是偶数， 设（t是正整数），则，即， ∴，∴m也是偶数 ∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾．∴假设错误 ∴不是有理数． 解决问题：请你探究是不是有理数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $