13.1.2 直角三角形的判定 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股逆定理，涵盖判定核心、互逆关系、三步法及勾股数等知识点。课堂导入以古埃及结绳画直角为例，衔接勾股定理性质与逆定理判定，构建从已知直角得边长到已知边长证直角的逻辑支架。 其亮点在于通过历史情境导入培养数学眼光，证明过程强化推理能力，分层练习与易错点总结提升模型意识。如结绳实例抽象数学原理，三步法规范判定步骤，帮助学生深化逻辑思维与应用能力，为教师提供系统教学资源与分层教学支持。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 13.1.2 直角三角形的判定 第十三章 勾股定理 13.1.2 直角三角形的判定（勾股逆定理）同步练习题 一、核心知识点 1. 勾股定理的逆定理（判定核心） 文字表述：如果三角形的三边长a、b、c满足 $$a^2+b^2=c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且最长边c所对的角为直角。 核心作用：已知三边长度，判定三角形是否为直角三角形（边→角）。 对应关系：c必须是最长边，对应的角为90°。 2. 勾股定理与逆定理（互逆定理） ① 勾股定理（性质）：Rt△→三边满足$$a^2+b^2=c^2$$（已知直角，得边长关系） ② 逆定理（判定）：三边满足$$a^2+b^2=c^2$$→Rt△（已知边长关系，证直角） 3. 直角三角形判定三步法（做题万能步骤） ① 排序：把三边从小到大排列，找出最长边c； ② 计算：算出两条短边的平方和、最长边的平方； ③ 对比：若$$\text{短边}^2+\text{短边}^2=\text{长边}^2$$，则为直角三角形，否则不是。 4. 勾股数定义 满足$$a^2+b^2=c^2$$的三个正整数，叫做勾股数。 常见：3、4、5；5、12、13；6、8、10；9、12、15；7、24、25。 性质：勾股数的正整数倍仍然是勾股数。 5. 拓展判定：三角形角度比例判定 若三角形三内角之比为 1:2:3，则该三角形为直角三角形（最大角90°）。 二、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（） A. 2、3、4 B. 3、4、5 C. 4、5、6 D. 5、6、7 2. 判断三角形是否为直角三角形，关键看（） A. 三边是否相等 B. 最大边的平方是否等于两短边平方和 C. 三个角是否相等 D. 两边平方和等于第三边平方 3. 一个三角形三边长为5、12、13，则该三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 4. 下列不是勾股数的是（） A. 6、8、10 B. 9、12、15 C. 4、6、8 D. 5、12、13 5. 若三角形三边长满足$$b^2+c^2=a^2$$，则直角为（） A. ∠A B. ∠B C. ∠C D. 无法确定 三、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 勾股逆定理：三角形三边长a、b、c满足________，则这个三角形是直角三角形。 2. 判定直角三角形时，必须以________边作为平方对比的斜边。 3. 三边长为7、24、25的三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。 4. 勾股数是满足条件的三个________数。 5. 若$$m^2+n^2=p^2$$，则最长边________所对的角是直角。 6. 3、4、5的2倍勾股数是________。 四、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 基础判定： 判断下列各组边长能否构成直角三角形： (1) 6、8、10 (2) 4、5、6 (3) 5、12、13 2. 规范证明判定： 已知△ABC三边AB=15，BC=9，AC=12，求证：△ABC是直角三角形。 3. 勾股数辨析： 判断 0.3、0.4、0.5 是否为勾股数，并说明理由。 4. 定理辨析： 简述勾股定理与勾股逆定理的区别与用途。 五、综合应用题（共 20 分） 1. 综合计算判定： 已知三角形三边长为 $$\sqrt{3}$$、3、$$2\sqrt{3}$$，判断是否为直角三角形。（10分） 2. 几何综合证明： 在△ABC中，AB=10，BD=6，AD=8，D在BC上，求证：AD⊥BC。（10分） --- 参考答案 一、选择题 1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 二、填空题 1. $$a^2+b^2=c^2$$ 2. 最长 3. 是 4. 正整 5. p 6. 6、8、10 三、解答题 1. 解： (1) $$6^2+8^2=36+64=100=10^2$$，是直角三角形； (2) $$4^2+5^2=16+25=41 eq36=6^2$$，不是直角三角形； (3) $$5^2+12^2=25+144=169=13^2$$，是直角三角形。 2. 证明： 先排序：9、12、15 $$BC^2+AC^2=9^2+12^2=81+144=225$$$$AB^2=15^2=225$$ ∴$$BC^2+AC^2=AB^2$$ ∴△ABC为直角三角形，∠C=90°。 3. 解： 不是勾股数。 理由：勾股数定义为三个正整数，0.3、0.4、0.5是小数，不满足定义，因此不是勾股数。 （虽然满足平方关系，但不是勾股数） 4. 答： 勾股定理（性质）：已知直角三角形，推出三边平方关系，用于求边长、计算长度； 勾股逆定理（判定）：已知三边平方关系，推出直角三角形，用于判定三角形形状、证明垂直。 四、综合应用题 1. 解： 排序：$$\sqrt{3}$$、3、$$2\sqrt{3}$$，最长边为$$2\sqrt{3}$$$$(\sqrt{3})^2+3^2=3+9=12$$$$(2\sqrt{3})^2=4\times3=12$$ ∴$$(\sqrt{3})^2+3^2=(2\sqrt{3})^2$$ ∴该三角形是直角三角形。 2. 证明： 在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8 $$BD^2+AD^2=6^2+8^2=36+64=100$$$$AB^2=10^2=100$$ ∴$$BD^2+AD^2=AB^2$$ ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90° ∴AD⊥BC，得证。 本节易错点总结 1. 不找最长边直接计算：随便代入两边平方和，导致判定完全错误。 2. 勾股数概念混淆：满足平方关系的小数、分数不是勾股数，必须是正整数。 3. 直角找错位置：等式中最长边对应的角才是直角，容易找错直角顶点。 4. 定理混用：求边长用逆定理、判形状用勾股定理，逻辑颠倒扣分。 5. 计算粗心：平方计算错误、二次根式平方化简出错。 6. 证明步骤缺失：未排序、未对比直接下结论，步骤不完整。 课堂导入 古埃及人曾经用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图所示，那样钉成一个三角形， 他们认为其中一个角便是直角。你知道这是什么道理吗？ 新知探究 根据下表所给的数据画出三角形，你有什么发现？ a b c 结论 是否为直角三角形 3 4 5 6 8 10 4 6 8 5 12 13 a2+b2=c2 a2+b2=c2 a2+b2≠c2 a2+b2=c2 是 是 不是 是 通过上表的数据，你能得出什么结论？ 新知探究 已知：如图所示，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2 求证：∠C=90° 从上面表格中，我们能够猜想如果三角形a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，如何证明猜想呢？ 新知探究 证明：如图所示，作△A1B1C1，使∠C1=90° A1C1=b，B1C1=a，则A1B12=a2+b2=c2，即A1B1=c，在△ABC和△A1B1C1中 ∵BC=a=B1C1, AC=b=A1C1 ,AB=c=A1B1 ∴△ABC≌△A1B1C1 ∠C=∠C1=90° 验证猜想 通过以上的证明，我们能得到什么结论呢？ 新知探究 所以对于直角三角形的判定，有一般结论： 勾股定理的逆定理 如果三角形的边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角 如图所示 在△ABC中，AC=b，BC=a，AB=c，且，满足a2+b2=c2 则△ABC是直角三角形 典例分析 例1 .在△ABC中，下列条件中，不能判△ABC是直角三角形的是（ ） A. a：b：c=5:12:13 B . ∠A=∠B=∠C C. a2=3，b2=4，c2=5 D .∠A+∠B=∠C 解：选项A，设a=5k，b=12k，c=13k，a2+b2=c2，是直角三角形 选项B，∠A=∠C，∠B=∠C，根据三角形内角和定理即可得到∠C=90° 选项C，a2+b2≠c2，故不能判定为直角三角形 选项D，根据三角形内角和定义，可得∠C=90° 典例分析 例2 .一个三角形的三边长分别是a、b、c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1，这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论． 解：这个三角形是直角三角形 证明如下： ∵a=n2-1，b=2n，c=n2+1 ∴a2+b2=(n2-1)2+4n2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1 c2=(n2+1)2=n4+2n2+1 ∴a2+b2=c2，∴这个三角形是直角三角形。 新知探究 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。例如：3、4、5，6、8、10，n2-1、2n、n2+1（n为大于1的整数），等等，都是勾股数。 判断方法 （1）三个数必须是正整数;（2）必须满足a2+b2=c2 （3、4、5）（6，8，10），(5, 12, 13)，(7, 24, 25)，(8, 15, 17)，(9, 40, 41)，(11, 60, 61)等 常见的勾股数 典例分析 例3 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．1，2，3 B. 0.3，0.4，0.5 C. ，， D. 9，12，15 变式训练 下列各组数不是勾股数的是（ ） A．a=3，b=4，c=5 B. a=30，b=40，c=50 C. a=8，b=15，c=17 D. a=7，b=14，c=15 典例分析 如图一块试验田，已知CD=3m，AD=4m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块试验田的面积． 解：连接AC ∵CD=3m，AD=4m，∠ADC=90° ∴AC==5m ∴在△ABC中，∵AC=5m，AB=13m，BC=12m ∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形 ∴这块试验田的面积= 新知探究 勾股定理与其逆定理的对比 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（ ）. A. 1.5，2，2.5 B. 7，24，25 C. 8，12，15 D. 6，8，10 C 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）. A.三内角之比1：2：3 B.三边长的平方之比为1：2：3 C.三边长之比为3：4：5 D.三内角之比为3：4：5 D 随堂练习 证明：∵ CD是△ABC的高，∴∠ADC=∠BDC=90°, ∴AC2=AD2 +CD2 =42+22=20， BC2=BD2 +CD2 =12+22=5， AB2=(AD + BD)2 =(4 +1)2 = 25， ∴ AC2 +BC2=AB2， ∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB=90°. 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.如图，在△ABC中，CD是高，AD=4，CD =2，BD=1， 求证：∠ACB=90°. 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4.如图是用三张正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1，3，4，5，8，选取其中三种（可重复选取）按如图的方式组成图案，要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则所选取的三种纸片的面积分别是( ) A.1，4，5 B.3，4，8 C.3，4，5 D.4，4，8 D 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5.已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为（　） A．30 B．60 C．78 D．不能确定 A 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6.如图所示的网格是正方形网格，P，A，B均在格点上，则 ∠PAB + ∠PBA = _______. 45° 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，E是AC上的一点，CE=5m，BC=13m，BE=12m. (1)判断△ABE的形状，并说明理由； 解：△ABE是直角三角形. 理由：BC =13m，BE =12 m，CE =5 m，132=169，122=144，52=25，∴BE2 + CE2= BC2, ∴∠BEC=90°，∴∠AEB=90°，∴△ABE是直角三角形. 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，E是AC上的一点，CE=5m，BC=13m，BE=12m. (2)求线段AB的长. 解：设AB =AC=xm，则AE =( x-5 )m， 由(1) 可知∠AEB=90°，∴BE2 + AE2 = AB2 , ∴122 +(x- 5)2= x2，解得x=16.9， ∴线段AB的长为16.9 m. 随堂练习 （第1题） 1. 如图，长为 的梯子靠在墙上，梯子 的底端离墙脚线的距离为 ，则梯子顶 端距离地面的高度 是( ) B A. B. C. D. 2. 圆柱形玻璃杯的底面半径为，高为 ，有一只长为 的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至 少为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 21 （第3题） 3. 如图，学校有一块直角三角形菜 地， ， . 为方便劳作，准备在菜地中间修建 一条小路.测量发现， ， ， ，则 的长为( ) B A. B. C. D. 中考考法 22 4.如图，一扇卷闸门用一块宽，长 的长方形木板 撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起____ 高. 39 （第4题） 返回 中考考法 23 （第5题） 5.［2025重庆沙坪坝区期中］小宁购买了拳击反 应球作为居家健身器材.如图，若将球体支架最 底端到球体支架最顶端看成一条线段 ，当 反应球被击打时，可看作线段绕着点 旋转得 到线段 （在安全角度范围内旋转）.小宁击打 反应球后与支架的水平距离为 ，当 130 时，，则球体支架_____ . 中考考法 24 课堂小结 勾股定理的逆定理 内容： 若一个三角形的三边长为a、b、c（c为最长边），且满足a2+b2=c2 则该三角形是直角三角形，且c为斜边 应用场景： 判断三角形是否为直角三角形。 验证已知三边能否构成直角三角形（如木工、建筑中的直角校验）。 课堂小结 勾股数 定义 满足a2+b2=c2的三个正整数（a、b、c），称为勾股数 常见勾股数 （3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）（8,15,17） （6，8，10），（9，12，15）等 $