13.1.2 直角三角形的判定（教学课件）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理及勾股数，通过古埃及人用13个结绳子画直角的案例导入，衔接旧知勾股定理，借助数据表格猜想、构造全等三角形证明，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以古埃及实践案例培养数学眼光，通过构造法证明逆定理发展推理能力，典例变式结合木工校验、试验田面积等问题强化应用意识。课堂小结用对比表格梳理知识，助力学生构建体系，既提升学生逻辑推理与实践能力，也为教师提供层次分明的备课资源。

13.1.2 直角三角形的判定 第13章 勾股定理 华师大版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 理解勾股定理的逆定理 掌握逆定理的内容：若三角形三边满足a²+b²=c²（c为最长边），则该三角形为直角三角形。 能区分勾股定理（已知直角推边长）与逆定理（已知边长判直角）的逻辑关系。 掌握勾股数的定义与性质 识别勾股数：满足a²+b²=c²的正整数三元组 （a，b，c） 应用逆定理解决实际问题 能根据三边长度判断三角形是否为直角三角形（如木工校验直角）。 区分锐角、钝角三角形（通过比较a²+b²和c²） 旧知复习 由上一节课的学习， 可以发现：对于任意的直角三角形， 如果它的两条直角边分别为 a、b， 斜边为 c ，那么一定有 a2+b2=c2 这种关系，我们称之为勾股定理 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 课堂导入 古埃及人曾经用下面的方法画直角： 将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图所示，那样钉成一个三角形， 他们认为其中一个角便是直角。你知道这是什么道理吗？ 新知探究 根据下表所给的数据画出三角形，你有什么发现？ a b c 结论 是否为直角三角形 3 4 5 6 8 10 4 6 8 5 12 13 a2+b2=c2 a2+b2=c2 a2+b2≠c2 a2+b2=c2 是 是 不是 是 通过上表的数据，你能得出什么结论？ 新知探究 已知：如图所示，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2 求证：∠C=90° 从上面表格中，我们能够猜想如果三角形a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，如何证明猜想呢？ 新知探究 证明：如图所示，作△A1B1C1，使∠C1=90° A1C1=b，B1C1=a，则A1B12=a2+b2=c2，即A1B1=c，在△ABC和△A1B1C1中 ∵BC=a=B1C1, AC=b=A1C1 ,AB=c=A1B1 ∴△ABC≌△A1B1C1 ∠C=∠C1=90° 验证猜想 通过以上的证明，我们能得到什么结论呢？ 新知探究 所以对于直角三角形的判定，有一般结论： 勾股定理的逆定理 如果三角形的边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角 如图所示 在△ABC中，AC=b，BC=a，AB=c，且，满足a2+b2=c2 则△ABC是直角三角形 典例分析 例1 .在△ABC中，下列条件中，不能判△ABC是直角三角形的是（ ） A. a：b：c=5:12:13 B . ∠A=∠B=∠C C. a2=3，b2=4，c2=5 D .∠A+∠B=∠C 解：选项A，设a=5k，b=12k，c=13k，a2+b2=c2，是直角三角形 选项B，∠A=∠C，∠B=∠C，根据三角形内角和定理即可得到∠C=90° 选项C，a2+b2≠c2，故不能判定为直角三角形 选项D，根据三角形内角和定义，可得∠C=90° 变式训练 在4×4的方格纸中，三角形的顶点都在格点上，则下列选项中的图形是直角三角形的是（ ） 典例分析 例2 .一个三角形的三边长分别是a、b、c，且a=n2-1，b=2n，c=n2+1，这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论． 解：这个三角形是直角三角形 证明如下： ∵a=n2-1，b=2n，c=n2+1 ∴a2+b2=(n2-1)2+4n2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1 c2=(n2+1)2=n4+2n2+1 ∴a2+b2=c2，∴这个三角形是直角三角形。 变式训练 如图，在△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，点D是△ABC外一点，连接BD、CD，CD=2，BD=6．△BCD是直角三角形吗？请说明理由． 解：△BCD是直角三角形，理由如下： ∵在△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4 ∴BC2=AC2+AB2=42+42=32 ∵CD=2，BD=6 ∴CD2=22=4，BD2=62=36 ∴CD2+BC2=4+32=36=BD2 ∴△BCD是直角三角形 新知探究 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。例如：3、4、5，6、8、10，n2-1、2n、n2+1（n为大于1的整数），等等，都是勾股数。 判断方法 （1）三个数必须是正整数;（2）必须满足a2+b2=c2 （3、4、5）（6，8，10），(5, 12, 13)，(7, 24, 25)，(8, 15, 17)，(9, 40, 41)，(11, 60, 61)等 常见的勾股数 典例分析 例3 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．1，2，3 B. 0.3，0.4，0.5 C. ，， D. 9，12，15 变式训练 下列各组数不是勾股数的是（ ） A．a=3，b=4，c=5 B. a=30，b=40，c=50 C. a=8，b=15，c=17 D. a=7，b=14，c=15 典例分析 如图一块试验田，已知CD=3m，AD=4m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块试验田的面积． 解：连接AC ∵CD=3m，AD=4m，∠ADC=90° ∴AC==5m ∴在△ABC中，∵AC=5m，AB=13m，BC=12m ∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形 ∴这块试验田的面积= 变式训练 如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地ABCD，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，∠ACB=90°，AB=15m，BC=9m，AD=5m，DC=13m．请用学过的知识求出这块空地的面积． 解：∠ACB=90°，AB=15m，BC=9m ∴AC= ∵AD=5m，DC=13m，AC=12m 且AC2+AD2=122+52=132=CD2 ∴∠DAC=90°，∴四边形ABCD面积为： BC×AC+AC×AD=84(m2) 答：这块空地的面积为84m2 新知探究 勾股定理与其逆定理的对比 课堂练习 1. 下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A．、 、 B．9、60、61 C．5、12、13 D．1、2、 2. 下列条件中，不能判定△ABC（a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边）为直角三角形的是（ ） A．∠A：∠B：∠C=7:3:11 B．∠A+∠B=∠C C．a：b：c=7:24:25 D．a2=9，b2=1，c2=10 课堂练习 3．已知△ABC的三条边分别为a，b，c，满足a2-b2=c2，下列判断正确的是（ ） A．∠C=90° B. ∠B=90° C. ∠A=90° D. ∠A-∠B=90° 4．在△ABC中，D是BC边上一点，DB=5，AB=13，AD=12，AC=15，则△ABC的面积为（ ） A．30 B. 42 C. 84 D. 100 课堂练习 5．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2cm，AD=1cm，∠B=90°，四边形ABCD的面积是____________． 6．如图，△ABC的三条边AB=10，AC=8，BC=6，CD⊥AB，则CD=______． 课堂练习 7. 如图，有一块三角形花圃ABC，其中AB=80m，AC=60m，BC=100m，现要沿DE搭建一条隔断，把花圃分成两个区域分别种植不同的花卉，点D、E分别在AB、AC上，BD=60m，CE=20m，请求出隔断DE的长． 解：∵AB=80m，AC=60m，BC=100m ∴802+602=1002，即AB2+AC2=BC2 ∴△ABC是直角三角形，且∠A=90° ∵BD=60m，CE=20m ∴AD=20m，AE=40m ∴DE= 课堂练习 8. 已知a、b、c满足． (1)求a、b、c的值； (2)请判断以a、b、c为边的三角形的形状． 解：（1）由题知：=0，=0，=0 ∴，b=1，c=3 解：（2） 故a2+b2=c2 ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角 课堂小结 勾股定理的逆定理 内容： 若一个三角形的三边长为a、b、c（c为最长边），且满足a2+b2=c2 则该三角形是直角三角形，且c为斜边 应用场景： 判断三角形是否为直角三角形。 验证已知三边能否构成直角三角形（如木工、建筑中的直角校验）。 课堂小结 勾股数 定义 满足a2+b2=c2的三个正整数（a、b、c），称为勾股数 常见勾股数 （3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）（8,15,17） （6，8，10），（9，12，15）等 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $