山西晋中市介休市2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

**基本信息** 以汉服纹样、AI翻译耳机等文化与科技情境为载体，覆盖二次根式、平行四边形、因式分解等代数几何核心知识，通过基础巩固与动态几何综合题，考察抽象能力、空间观念与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、一次函数与不等式|结合汉服纹样考中心对称，汽车前照灯光学原理考三角形外角| |填空题|5/15|因式分解、分式方程应用|哈密瓜纹路考多边形外角和，养护车工作效率考分式方程| |解答题|8/75|不等式组、中位线证明、平移旋转综合|AI耳机采购问题考察模型意识，动态几何综合题发展推理能力与创新意识|

介休市2025—2026学年第二学期期末质量评估试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 4.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1.有意义，则实数x的取值范围是  A. B. C. D. 2.汉服承载着中华千年服饰文化，其纹样更是蕴含着丰富的文化寓意．下列汉服纹样中， 属于中心对称图形的是 A. B． C． D． 3.如图，在▱ABCD中，∠A+∠C=110°， 则∠B的度数为 A．70° B．110° C．120° D．125° 4.下列从左到右的式子变形属于因式分解的是 A． B． C． D． 5.已知，下列变形不正确的是 A. B. C. D. 6.如图，一次函数（b为常数）的图象分别与x轴交于点A(-2，0），则关 于x的不等式的解集为 A. B. C. D. 6题 7题 7.汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线 经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为 A．80° B．88° C．90° D．93° 8.刺绣是我国民间传统手艺，苏绣作为我国四大名绣之一，闻名中外. 某国际旅游公司 计划购买仿真秀和双面绣两种苏绣作品共200件，已知双面绣作品单价300元，仿真 绣作品单价200元，若总费用不超过50000元，则最多可购买双面绣作品多少件？设 可购买双面绣作品x件，则下列不等式正确的是 A. B. C. 仿真秀 双面绣 D. 9.在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE 垂直平分 AB，垂足为点E，交 BC 边于1 2 3 4 5 图 1 图 2 1 2 3 4 5 图 1 图 2 1 2 3 4 5 图 1 图 2 点 D，已知BD＝6，则 AC 的长是 A. 3 B. C. D. 10.如图，点A，B的坐标分别为（1，2），（4，0），将△OAB沿x轴向右平移，得到 △CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为 A. (2，2) B.(4，3) C. (3，2) D.(4，2) 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.因式分解：= ▲ ． 12.若分式的值为零，则的值为 ▲ . 13.夏季正值哈密瓜成熟上市的季节．哈密瓜表皮布满细密凹凸的天然纹路（图1），民 间俗称糖线；瓜尾位置的糖线弧度越向上弯曲、纹路越紧凑饱满，说明哈密瓜成熟度 越高，糖分沉淀越足．图2是哈密瓜表皮纹路的一部分，其中，，，，， 是五边形ABCDE的5个外角，若，则的度数 为 ▲ .15题 14题 图 1 图 2 13题 1 2 3 4 5 D A E C B 1 2 3 4 5 14.我国自主研发的新型道路养护车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成城市沥 青路面的摊铺任务.一辆该型号养护车每小时摊铺路面的公里数是人工修补组的8倍， 人工修补组摊铺6公里路面的时间比养护车摊铺36公里路面的时间多6小时.这辆新 型养护车每小时摊铺路面 ▲ 公里. 15.如图，在△ABD中，过点B作BC⊥AD，交AD于点C．将△BCD绕点D逆时针方 向旋转得到△B′C ′D，其中点B的对应点B′ 落在边AB上，点C对应点为C ′，B′C ′ 交AD于点E．已知∠A＝60°，∠BDA＝45°，AB＝2，则BB′的长度为 ▲ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤．） 16．(本题共12分) 计算： （1）解不等式组，并把解集表示在数轴上； （2）解分式方程： 17.(本题共7分)先化简，再求值: ，其中x=. 18.(本题共6分)在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，4)，B(4，2)， C (3，5) ( 每个方格的边长均为1个单位长度 ) （1）△ABC与△A1B1C1关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是 ▲ . （2）将△ABC平移，使点A的对应点A2的坐标为 (-3，1)，请画出平移后的△A2B2C2. （3）连接A1B2，A1C2，则△A1B2C2为 ▲ 三角形，面积为 ▲ . 19.(本题共6分)学习完因式分解后，老师布置了一道练习题，下面是小明和小红同学 的解法，老师表示虽然解题方法有所不同，但都正确，值得大家学习！ 小明：..................第一步 ..................第二步 ..................第三步 ..................第一步 ..................第二步 ..................第三步 小红： 思考：（1）在上述解题过程中，小明第二步依据的数学公式是 ▲ (用字母表 示)，小红第二步因式分解的方法叫 ▲ . （2）用你自己喜欢的方法因式分解： （3）结合你平时学习因式分解的经验，为同伴提一条可行的学习建议. 20.(本题共9分) 在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D在AB边上，BD=BC. （1）尺规作图：过点D作AB的垂线，交AC于E(保留痕迹，不写作法)； （2）求证：AB=BC+CE 21.(本题共10分)随着AI技术的不断发展升级，实时翻译耳机打破语言沟通壁垒，成 为学习、出行、商务的实用好物。它超低延迟实时双语互译，不用手持手机操作，解 放双手自由交谈；多语种精准翻译，适合外语跟读学习、出国旅游问路、跨国洽谈开 会等场景；搭配AI降噪，嘈杂环境也能清晰收音，还可留存翻译文稿，既能帮孩子 练习口语、纠正发音，也能轻松搞定跨语言交流，随时随地实现无障碍沟通.请你根据 以下素材，探索完成任务： 素材1 某数码品牌推出两款AI实时翻译耳机：讯译、通译，某数码专营店取得两款耳机经销授权.讯译单台标价比通译单台标价高200元；花费6000元采购讯译的台数和花费4000元采购通译的台数相等． 素材2 某外贸公司打算采购两款翻译耳机一共30台，用来奖励驻外业务员，采购总预算不超过13500元. 素材3 门店节日促销优惠：讯译按原价八折售卖，通译每台直接降价50元． 问题解决 任务1 求讯译、通译两款耳机原来每台标价分别是多少元？ 任务2 在促销条件下，该公司最多可以采购多少台讯译？ 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22．(本题共12分)阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应的学习任务．课堂上学习完三角形的中位线后，小丽总结可以通过旋转、剪拼发现三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，并进行了证明验.以下是小丽整理的证明过程: 已知：如图1所示：DE是△ABC的中位线 求证：DE∥BC，DE=BC 证明：延长DE至F，使EF=DE，连接FC 在△ADE与△CFE中 ∵ AE=CE, ∠AED=∠CEF, DE=EF ∴ △ADE≌△CFE ∴ ∠A=∠ECF ，AD=CF ∴ CF∥AB ∵ BD=AD ∴ CF=BD ∴ 四边形DBCF是平行四边形（依据1） ∴ DF=BC (依据2)，DF∥BC ∴ DE∥BC,DE=BC 图 1 根据材料，完成下列任务： 任务一：填空，依据1 ▲ ，依据2 ▲ . 任务二：除上述证法外，小丽在整理的过程中发现了另外两种证法： 图2的辅助线作法：延长DE到F，使EF=ED，连接DC，AF得到四边形ADCF 图3的辅助线作法：过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F 请选择其中一种辅助线的作法证明DE∥BC，DE=BC 任务三：如图4，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中 点，顺次连接E，F，G，H得到四边形EFGH，已知AC+BD=26则四边形 EFGH的周长为 ▲ .图2 图3 图4 23.（本题共13分）问题情境:在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形的平移与 旋转”为主题，开展数学活动.如图1，△ABC和△DEF是两个全等的直角三角形， ∠BAC=∠EDF=90°，∠ABC=∠DEF=30°，BC=4. 图1 （1）“博学小组”将两个三角形重叠放置，然后将△ABC固定不动，△DEF沿射线 BC方向平移，当E与C重合时停止移动，连接AD，AE，CD. ①如图2，在平移过程中，当E为BC中点时. 求证：四边形AECD是平行四边形； ②如图3，在平移过程中，“博学小组”发现四边形AECD的形状不断变化， 但它的面积始终不变，请说明理由，并求得该四边形的面积为 ▲ .图2 图3 （2）如图4，“兴趣小组”将两个三角形重叠放置，然后将△ABC固定不动，△DEF 绕点C逆时针旋转，当DE⊥BC时，连接AE，直线AE与BC交于点Q，请直 接写出△ACQ的面积. 图4 (F) 八年级数学 第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026八年级第二学期期末数学参考答案及评分标准 一、选择题 1---5.DADCD 6---10.BBAAD 二、填空题 11.mm+1Xm-1）12.113.100°14.215.3-V5 三、解答题 16.（本题12分) (1)解不等式①得：x≤4 2分 解不等式②得：x>-4 ...4分 不等式组的解集为：-4<x≤4 .6分 在数轴上表示不等式组的解集为： 7-6532101234567 .7分 (2)解：因为分式分母不为零 所以x≠±2 方程两边都乘(c+2x-2）得： 2+x(x+2)=x2-4 …2分 解之得：七=-3 .4分 经检验x=一3是原方程的根」 5分 +( gL… E 乙 =平丁 乙- gS… 乙+x C-求s gb… (亿-x)(亿+x)【-x I-x (亿-x) gE… 【-xI-x h-x,亿-x) … I-x I-x -1+对)亿-可 E-I+x) I-x t+xt-x 二( 59 S + 正T C gS… 乙+x gb… 乙-x (亿-x)(亿+x)I-x I-x (t-) t-ix I-x 【-x亿-刘= I-x I-x g -I-+ ( (亿-) 9乙… 【-x C【+9 I-x b+xh-x:一4搏 (9L头*)LT 18.(本题6分) (1)(0,0) 1分 (2) 6 5 C A2 76543201234567 B2 -2 4 5 6 3分 如图所示△A,B,C,即为所求 .4分 (3)等腰三角形 .6分 19.(本题6分) 解： (1)a2-b2=(a+b)(a-b),提公因式法 (2) -4x2+16y2 =16y2-4x2 3分 =4(4y2-x2) .4分 =4(2y-x)(2y+x) 5分 (3)因式分解时，有公因式可以先提公因式或因式分解彻底（答案不唯一，合计即可） .6分 20(本题9分) 解：(1) ①以D为圆心，AD为半径画弧 ②作AM垂直平分线 B 2分 如图所示，DE即为所求 3分 (2)证明： 连接BE 由(I)得DE LAB于点D ∴∠BDE=90=∠C 又，∠C=90°AC=BC 六∠42080°-∠C)=450 ∠DEA=90°-∠A=45° .∠DEA=∠A ..AD=DE 5分 在Rt△BDE和Rt△BCE [BD=BC BE=BE ..Rt△BDE≌Rt△BCE(HL) .7分 ..CE-DE ∴.CE=AD 又，'AB=AD+BD ∴AB=CE+BC .9分 21.（本题10分) 解：任务1：设通译单台的标价为x元，则讯译单台的标价为(+200)元，..1分 60004000 由题意得： x+200 .2分 解得：x=400, 3分 经检验，x=400是原方程的解，且符合题意， 4分 .x+200=600, 答：通译单台的标价为400元，则讯译单台的标价为600元： 5分 任务2：设能购买讯译m台，则能购买(30-m)台通译， ..6分 由题意得：600×0.8m+(400-50)(30-)≤13500， .7分 解得：m≤300 13 8分 ,为正整数， m的最大值为23， ...9分 答：最多能购买23副“灵眸X” .10分 22、(本题12分) 解：任务一：依据1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2分 依据2：平行四边形的对边相等 .4分 任务二：选择图2：证明：延长DE至点F,使EF=DE E为AC中点 ∴.AE=CE ,四边形ADCF为平行四边形 .6分 AD∥FC,AD=FC :点D为AB中点 .AD=BD ∴.BD=FC,BD∥CF 8分 ∴，四边形BDFC为平行四边形 .DF∥BC,DF=BC ∴.2DE=BC An服C 1 DE∥BC,DE=5BC .10分 选择图3：证明： 过点E作GE∥AB,过点A作AF∥BC,GE与AF交于点F ∴.四边形ABGF为平行四边形 .5分 ,AF=BG,AB=FG,∠F=∠FGC ,点E为AC中点 ∴.AE=CE且∠AEF=∠CEG ∴.△AEF三△CEG 6分 EF=EG=FG.AF=CG .7分 AF-BG=CG=1BC ,点D为AB中点 .AD=BD=-AB 2 ∴.BD=EG且BD∥EG ∴.四边形BDEG为平行四边形 .8分 ∴.DE=BG,DE∥BG 9分 DE=BC,DE∥BC .10分 任务三：26 .12分 23.(本题13) 解：(1)证明：，E是BC中点 .BE=EC 由平移可知：AD∥BE且AD=BE ∴AD∥EC且AD=EC .四边形AECD是平行四边形 .4分 (2)过A作AM⊥BC于M 当E为BC中点时，BE=EC= BC 、) S-AECD-ECAM=1 BCAM 2 .6分 当E不是BC中点时， (AD+EC)·AM S梯形ABCD一 由平移可知AD=BE (BE+EC)·AM S梯形AECD一 =BC.AM .8分 2 2 又，·平移过程中BC、AM不变 ,四边形AECD面积不会发生变化 9分 (3) 2v3 3， 2V5 .13分