12.4.3 角平分线 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角平分线的性质与判定”，通过让学生动手画角平分线、测量垂线段长度引入，结合全等三角形证明得出性质定理，形成从操作到推理的学习支架，衔接全等三角形知识。 其亮点在于注重动手探究与逻辑推理结合，如尺规作图、合作学习观察三角形角平分线三线共点，体现几何直观与推理意识，通过“西气东输”选址等实例培养应用意识，帮助学生发展空间观念，教师可高效落实知识点提升教学效果。

华东师大版数学8年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月16日 12.4.3 角平分线 第十二章 全等三角形 12.4.3 角平分线的性质与判定 同步练习题（适配八上，统一题型格式） 一、核心知识点 1. 角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 几何语言：若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=½∠AOB。 2. 角平分线性质定理（必考） 文字：角平分线上的点到角两边的距离相等。 关键：必须是垂线段距离，不是斜边长！ 几何语言： ∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PD=PE 作用：直接证垂线段相等，无需全等，简化步骤。 4. 互逆定理关系 性质：点在角平分线上 ⇒ 到角两边距离相等（位置→数量） 判定：到角两边距离相等 ⇒ 点在角平分线上（数量→位置） 二者为标准互逆定理，均为真命题。 5. 三角形角平分线交点性质（内心） 三角形三条内角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心。 核心性质：内心到三角形三边的距离相等。 6. 高频对比记忆（超级易错） ① 垂直平分线交点（外心）：到三个顶点距离相等； ② 角平分线交点（内心）：到三条边距离相等。 7. 做题必备条件 使用角平分线性质/判定，题干必须出现垂直（高、距离），无垂直不能直接用定理！ 二、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 角平分线上的点到角两边的什么相等（） A. 斜线段长度 B. 垂线段距离 C. 任意线段 D. 边长 3. 在∠AOB内部，点P到OA、OB的距离相等，则可判定（） A. OP=OA B. OP=OB C. P在∠AOB平分线上 D. P是角顶点 4. 三角形内心的性质是（） A. 到三顶点距离相等 B. 到三边距离相等 C. 三边垂直平分线交点 D. 平分三角形边长 5. 下列说法正确的是（） A. 只要有角平分线，就有边长相等 B. 无垂直条件，不能直接用角平分线性质证距离相等 C. 内心在三角形外部 D. 角平分线是直线 6. 下列不属于角平分线定理必备条件的是（） A. 点在角平分线上 B. 垂直角的两边 C. 顶点重合 D. 斜线段相等 三、填空题（每题 4 分，共 24 分） 1. 角平分线上的点到角两边的________相等。 3. 角内部到角两边距离相等的点在这个角的________上。 4. 三角形三条角平分线的交点叫做________，它到三角形________距离相等。 5. 使用角平分线性质定理，必须具备________条件，保证是垂线段距离。 6. 若OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=5，则PN=________。 7. 角平分线性质与判定是一对________定理。 四、解答题（每题 9 分，共 36 分） 1. 基础计算： 已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，PD=8cm，求PE的长，并写出依据。 3. 判定应用证明： 已知点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，求证：OP平分∠AOB。 4. 简单几何证明： 已知△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：DE=DF。 5. 概念辨析简答： 三角形内心和外心的区别是什么？ 五、综合应用题（共 20 分） 1. 综合证明1： 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD垂直平分EF。（10分） 3. 综合证明2： 已知△ABC的外角平分线交于点P，求证：点P到直线AB、BC、AC的距离相等。（10分） --- 参考答案 一、选择题 1.B 2.C 3.B 4.B 5.D 二、填空题 1. 垂线段距离 2. 平分线 3. 内心；三边 4. 垂直 5. 5 6. 互逆 三、解答题 1. 解： PE=8cm。 依据：角平分线上的点到角两边的垂线段距离相等。 ∵OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB ∴PE=PD=8cm。 2. 证明： ∵PM⊥OA，PN⊥OB（已知），PM=PN（已知） ∴点P在∠AOB的平分线上（角平分线判定定理） ∴OP平分∠AOB。 3. 证明： ∵BD平分∠ABC（已知） DE⊥AB，DF⊥BC（已知） ∴DE=DF（角平分线性质定理）。 4. 答： 内心：三角形三条角平分线交点，到三边距离相等，永远在三角形内部。 外心：三角形三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等，位置可内、可外、可在边上。 四、综合应用题 1. 证明： ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE=DF（角平分线性质） 在Rt△ADE和Rt△ADF中 $$\begin{cases} AD=AD\\ DE=DF \end{cases}$$ ∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL） ∴AE=AF 又∵DE=DF ∴A、D都在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在中垂线上） ∴AD垂直平分EF。 3. 证明： 设△ABC的外角平分线BP、CP交于点P， 分别作PM⊥AB、PN⊥BC、PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q。 ∵BP平分外角，PM⊥AB，PN⊥BC ∴PM=PN（角平分线性质） ∵CP平分外角，PN⊥BC，PQ⊥AC ∴PN=PQ（角平分线性质） ∴PM=PN=PQ 即：点P到直线AB、BC、AC的距离相等。 本节易错点总结 1. 最大易错点：乱用角平分线定理！无垂直，无距离，不能用定理，只能用全等。 3. 距离概念错误：定理中的“距离”是垂线段长度，不是任意斜线段。 4. 内心外心混淆：角平分线交内心（到边等距），中垂线交外心（到顶点等距），考试高频混淆。 5. 判定条件缺失：证明点在角平分线上，必须写清“两边垂直+距离相等”，缺一不可。 7. 图形认知错误：角平分线是射线，不是直线、不是线段。 10. 跳步扣分：使用定理不写垂直条件，直接得出线段相等，步骤不完整。 新知探究 同学们在草稿纸上利用量角器画出∠AOB的角平分线OP，在角平分线OP上取P1、P2，分别过P1、P2作OA、OB两边的垂线，利用直尺测量P1N1、P1M1、P2N2、P2M2之间的数量关系 新知探究 已知：P 是∠BAC 的平分线上的一点，PD⊥AB 于点 D，PE⊥AC 于点 E。 比较PD和PE的大小， 解：∵AP是∠CAB的平分线，∴∠CAP=∠BAP ∵PD⊥AB、PE⊥AC，∴∠PEA=∠PDA 在△APE和△APD中 ∴△APE≌△APD（ASA） ∴PE=PD 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 典例分析 例1 .如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若CD=3,AB=10，则△ABD的面积是（ ） A．15 B. 30 C. 20 D. 10 提示：过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可得CD=ED，根据三角形的面积计算即可 变式训练 如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，若AB=6，AD=4，△ABC=6，则△ACD的面积为（ ） A．8 B. 6 C. 5 D. 4 提示：作CF⊥AD，垂足为F，根据角平分线的性质，得到CE=CF，根据三角形的面积公式进行计算即可 新知探究 尺规作图作角平分线 已知∠BAC，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。 1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。 2. 分别以点 E，F 为圆心，大于EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内一点D。 3.作射线AD。 射线AD就是∠BAC的平分线。 典例分析 例2 .如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点D和E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点M，作MN⊥AC于点N．若MN=2，则△ABM的面积为（ ） A．4 B. 5 C. 8 D. 10 变式训练 “西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可） 新知探究 原命题：角平分线上的点到角两边的距离相等 题设： 。 结论： 。 逆命题： 。 一个点在角的角平分线上 这个点到角两边的距离相等 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在角的角平分线上 对于逆命题，你能尝试自己证明一下吗？ 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 典例分析 例3 .如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，∠B+∠AFD=180°，点F在AC上，DB=DF，求证：AD平分∠BAC． 证明：∵∠B+∠AFD=180°，∠CFD+∠AFE=180° ∴∠B=∠CFD，∵∠C=90° ，DE⊥AB ∴∠C=∠BED=90° 在△BDE和△FDC中，, △BDE≌△FDC(AAS) ∴CD=DE,∵∠C=90°，DE⊥AB ∴AD平分∠BAC 变式训练 已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF，求证：AD是△ABC的角平分线． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° ∵D是BC中点，∴BD=CD，∵BE=CF ∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）∴DE=DF ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴点D在∠BAC的平分线上 ∴AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线 合作学习 同学们利用尺规作图分别作出三角形三个内角的角平分线，观察三条角平分线是否交于一点，这个点有什么性质？ 三角形三内角的角平分线交于一点，这个点到三角形三边的距离相等 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，OP是∠AOB的平分线，且PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，则下列结论中不一定成立的是( ）. A. PA =PB B. PO平分∠APB C. AB垂直于OP D. AB垂直平分OP D 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长度是 ( ) . A.4 B.3 C.6 D.5 B 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3.已知：如图，△ABC中， AB= AC，D是BC的中点， DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F. 求证：DE=DF. 证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD， ∵ AB= AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS) ∴∠BAD=∠CAD， 又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，∴DE=DF. 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4.如图，将两个完全相同的直角三角板按如图所示方式放置，使得顶点C重合，∠OEC= ∠OFC=90°，若∠AOC= 25°，则∠OCF的度数是_______. 65° 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，∠CBJ的平分线BD与∠BCI的平分线CE相交于点P.若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 C 随堂练习 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6.如图，已知∠B =∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC， ∠CMD = 35°，则∠MAB的度数是______. 35° 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 如图，在△ABC中，∠B= 60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F，求证：FE = FD. 证明：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA = 180°-60°=120°， ∵AD，CE分别平分∠BAC与∠BCA， ∴∠FAC+∠FCA=60°， ∴∠CFD=∠AFE =60°，∠AFC=120°. 随堂练习 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 如图，在△ABC中，∠B= 60°，∠BAC与∠BCA的平分线AD，CE分别交BC和AB于点D，E，AD与CE相交于点F，求证：FE = FD. 在AC上截取AG =AE，连结GF. 在△AEF和△AGF中，AE=AG，∠EAF = ∠CAF， AF = AF，∴△AEF≌△AGF(SAS)， ∴∠AFG= ∠AFE =60°，FE=FG，∴∠CFG=∠CFD =60°. 又∵CF =CF，∴△CDF≌△CGF(ASA)，∴FD =FG，FE =FD. G 随堂练习 （第1题） 1. 如图，是 的角平分线，且 ，则与 的面 积之比为( ) A. B. C. D. √ 返回 中考考法 21 （第2题） 2. ［2024常州］如图，在纸上画有 ， 将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点 在 的平分线上，则( ) A. 与一定相等 B. 与 一定不相等 C. 与一定相等 D. 与 一定不相等 √ 返回 中考考法 22 （第3题） 3. 如图，是等腰三角形 底边上的 中线，平分,交于点 , ，，则 的面积是 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 √ 返回 中考考法 23 4.如图，在中，，平分交于点 ， ，垂足为，的面积为5，则 的长为___. 2 （第4题） 中考考法 24 【点拨】过作于 ，如图. （第4题） 平分，， ， . 的面积为5， . 又，， . 返回 中考考法 25 课堂小结 角平分线的性质 角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 对称性：角平分线是角的对称轴，角两边关于角平分线对称。 角平分线的判定 若一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上。 $