12.4.3 角平分线（教学课件）数学新教材华东师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦华师大版八年级上册“角平分线”，核心涵盖性质、判定及尺规作图。课堂导入以纸伞结构问题联系生活，引导学生用数学眼光观察，结合全等三角形判定（如ASA）证明性质，形成从具体到抽象的知识脉络，搭建动手操作与逻辑推理的学习支架。 其亮点在于以生活情境激发探究兴趣，通过动手测量、尺规作图等活动培养几何直观和推理意识，典例与变式分层设计，帮助学生用数学语言表达和应用。小结清晰归纳性质与判定，教师可高效备课，学生能提升推理能力和应用意识。

12.4.3 角平分线 第12章 全等三角形 华师大版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 掌握角平分线的性质 熟练运用角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 理解角平分线的对称性（角的对称轴）。 学会判定角平分线的方法 能通过定义法（证明两角相等）或距离法（点到两边距离相等）判定角平分线。 拓展与联系 理解角平分线与其他几何概念（如垂直平分线、中线）的区别与联系。 能在复杂图形中识别并构造角平分线辅助解题。 课堂导入 思考：我国纸伞的结构十分巧妙。如图，伞不管是张开还是收拢，伞柄 AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC，且AE＝AF，DE＝DF，从而保 证伞圈D能沿着伞柄滑动。为什么？ 新知探究 同学们在草稿纸上利用量角器画出∠AOB的角平分线OP，在角平分线OP上取P1、P2，分别过P1、P2作OA、OB两边的垂线，利用直尺测量P1N1、P1M1、P2N2、P2M2之间的数量关系 新知探究 已知：P 是∠BAC 的平分线上的一点，PD⊥AB 于点 D，PE⊥AC 于点 E。 比较PD和PE的大小， 解：∵AP是∠CAB的平分线，∴∠CAP=∠BAP ∵PD⊥AB、PE⊥AC，∴∠PEA=∠PDA 在△APE和△APD中 ∴△APE≌△APD（ASA） ∴PE=PD 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 典例分析 例1 .如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若CD=3,AB=10，则△ABD的面积是（ ） A．15 B. 30 C. 20 D. 10 提示：过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可得CD=ED，根据三角形的面积计算即可 变式训练 如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，若AB=6，AD=4，△ABC=6，则△ACD的面积为（ ） A．8 B. 6 C. 5 D. 4 提示：作CF⊥AD，垂足为F，根据角平分线的性质，得到CE=CF，根据三角形的面积公式进行计算即可 新知探究 尺规作图作角平分线 已知∠BAC，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。 1.以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E，F两点。 2. 分别以点 E，F 为圆心，大于EF 长为半径作弧，两条弧交于∠BAC 内一点D。 3.作射线AD。 射线AD就是∠BAC的平分线。 典例分析 例2 .如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点D和E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点M，作MN⊥AC于点N．若MN=2，则△ABM的面积为（ ） A．4 B. 5 C. 8 D. 10 变式训练 “西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可） 新知探究 原命题：角平分线上的点到角两边的距离相等 题设： 。 结论： 。 逆命题： 。 一个点在角的角平分线上 这个点到角两边的距离相等 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在角的角平分线上 对于逆命题，你能尝试自己证明一下吗？ 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 典例分析 例3 .如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E，∠B+∠AFD=180°，点F在AC上，DB=DF，求证：AD平分∠BAC． 证明：∵∠B+∠AFD=180°，∠CFD+∠AFE=180° ∴∠B=∠CFD，∵∠C=90° ，DE⊥AB ∴∠C=∠BED=90° 在△BDE和△FDC中，, △BDE≌△FDC(AAS) ∴CD=DE,∵∠C=90°，DE⊥AB ∴AD平分∠BAC 变式训练 已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF，求证：AD是△ABC的角平分线． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° ∵D是BC中点，∴BD=CD，∵BE=CF ∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）∴DE=DF ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴点D在∠BAC的平分线上 ∴AD平分∠BAC，即AD是△ABC的角平分线 合作学习 同学们利用尺规作图分别作出三角形三个内角的角平分线，观察三条角平分线是否交于一点，这个点有什么性质？ 三角形三内角的角平分线交于一点，这个点到三角形三边的距离相等 课堂练习 1.如图两条笔直的公路l1、l2相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=AD=62km，CB=CD=58km，C村到公路l1的距离为5km，则C村到公路l2的距离是（ ） A．6.2km B．5.8km C．5.4km D．5km 课堂练习 2．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，若∠ADC=100°，则∠MAB=（ ）． A．50° B. 40° C. 30° D. 35° 课堂练习 3．如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点D和E，再分别以点D、E为圆心，大于DE长为半径画弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点M，作MN⊥AC于点N．若MN=2，则△ABM的面积为（ ） A．4 B. 5 C. 8 D. 10 课堂练习 4. 如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm2，AB=18cm，BC=12cm，则DE=______cm 2 5. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，E为△ABC外一点，BC平分∠ACE，AB=BE，若CD=4，AD=1，则EC的长为 。 3 课堂练习 6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC．若BC=5，BD=3，则点D到AB的距离为____． 7. 在正方形网格中，∠ABC的位置如图所示，点 M，N在格点上，其中到∠ABC两边距离相等的点是点_______．（填“M”或“N”） 2 M 课堂练习 8. 如图，在△ABC中，点D为△ABC下方一点，连接AD、BD、CD，DB=DC，过点D作DF⊥AB于点F，DG⊥AC交AC的延长线于点G，BF=CG．求证：AD平分∠BAC． 解：∵DF⊥AB，DG⊥AC ∴∠DFB=∠DGC=90° 在Rt△DFB和Rt△DGC中， ∴Rt△DFB≌Rt△DGC ∴DF=DG，∵DF⊥AB，DG⊥AC ∴AD平分∠BAC 课堂小结 角平分线的性质 角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 对称性：角平分线是角的对称轴，角两边关于角平分线对称。 角平分线的判定 若一点到角两边的距离相等，则该点在角平分线上。 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $