12.4.3 角平分线（课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“角平分线”核心知识点，通过“三角形居住区修学校”的实际问题导入，衔接全等三角形判定、互逆定理等前序知识，搭建从具体情境到抽象定理的学习支架。 其亮点在于以折叠实验引导学生用数学眼光观察性质，通过全等证明培养推理意识，分层练习题结合易错总结规范数学语言。助力学生构建几何知识体系，教师可提升教学针对性与效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月31日 12.4.3 角平分线 第12章 全等三角形 第12章 全等三角形 12.4.3 角平分线 同步练习题（含答案解析） 本次练习题围绕12.4.3角平分线核心知识点编写，承接全等三角形判定、互逆定理、线段垂直平分线知识，是几何边角计算、推理证明的核心工具。重点考查角平分线的定义、性质定理、判定定理、性质与判定的互逆关系、利用角平分线性质求线段长度、角度、证明线段相等、规避距离概念混淆、性质判定混用等高频易错点。题型搭配选择、填空、解答证明题，难度循序渐进，贴合八年级几何推理节奏，帮助学生掌握角平分线双向逻辑，完善几何对称类图形知识体系，规范证明书写步骤。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 角平分线的性质定理是（） A. 角平分线上的点到角两边的距离相等 B. 到角两边距离相等的点在角平分线上 C. 角平分线平分角的对边 D. 角平分线垂直于角的两边 2. 角平分线的判定定理依据是（） A. 点在角平分线上→距离相等 B. 点到角两边距离相等→点在角平分线上 C. 角相等→距离相等 D. 距离相等→角相等 3. 已知OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，若PM=4，则PN的长为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 8 4. 下列关于角平分线的说法正确的是（） A. 角平分线是线段 B. 任意角只有一条角平分线 C. 角平分线平分角且垂直两边 D. 角平分线上的点到角顶点距离相等 5. 能判定一条射线是角平分线的条件是（） A. 射线把角分成两个角 B. 射线上任意点到角两边距离相等 C. 射线过角内部任意一点 D. 射线经过角的顶点 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 角平分线性质：角平分线上的点到________相等。 2. 角平分线判定：在角的内部，到角两边距离相等的点在________。 3. 一个角有________条角平分线，且在角的内部。 4. 若AD平分∠BAC，且DB⊥AB，DC⊥AC，DB=7，则DC=________。 5. 角平分线的性质和判定互为________命题、互逆定理。 三、解答题（共20分） 1. 判断正误（对的打√，错的打×）（8分） （1）角平分线上的点到角两边的距离相等。（） （2）到角两边距离相等的点一定在角平分线上。（） （3）角平分线是一条直线。（） （4）角平分线可以将一个角分成两个相等的角。（） 2. 基础计算题（6分） 已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=9，求PN的长度。 3. 简单证明题（6分） 已知：点P在∠AOB内部，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，求证：OP平分∠AOB。 四、参考答案与解析 一、选择题 1. A 解析：角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，B为判定定理。 2. B 解析：判定定理核心逻辑：距离相等推点在平分线上，是性质定理的逆向推理。 3. B 解析：根据角平分线性质，角平分线上的点到角两边距离相等，故PN=PM=4。 4. B 解析：角平分线是射线，不垂直角的两边，且是到两边距离相等，不是到顶点距离相等。 5. B 解析：判定角平分线需满足：角内部的点到两边距离相等，缺一不可。 二、填空题 1. 角两边的距离 2. 这个角的平分线上 3. 一 4. 7 5. 互逆 三、解答题 1. 解：（1）√ （2）√ （3）× （4）√ 2. 解：∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA，PN⊥OB， 根据角平分线的性质可得：PN=PM=9。 3. 证明：在Rt△OPM和Rt△OPN中， $$\begin{cases} OP=OP（公共边）\\ PM=PN（已知） \end{cases}$$， ∴ Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴ ∠POM=∠PON。 ∴ OP平分∠AOB。 核心易错总结：1. 严格区分性质与判定：点在平分线上→距离相等（性质），距离相等→点在平分线上（判定）；2. 角平分线是射线，区别于线段垂直平分线（直线）；3. 定理中的距离特指垂线段长度，不是任意线段长度；4. 判定定理必须强调角的内部，外部等距点不在角平分线上；5. 角平分线与线段垂直平分线均为互逆定理，是几何转化线段、角度的核心工具。 会叙述角平分线的性质及判定；（重点） 能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理． 经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理证明意识和能力． 在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置，P 在何处？ A B C 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A O B M N Q C 射线OC所在直线就是的∠AOB的对称轴，也是角平分线. 探究新知 如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E. 将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程. A O B C P D E 对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE. 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 你能给出PD=PE的证明吗？ 下面我们来证明刚才得到的结论： 即角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E. 求证：PD=PE. A O B C P D E 分析：要得到PD=PE. Rt△PDO≌Rt△PEO 请写出完整的 证明过程. A O B C P D E 证明：∵OC平分∠AOB，P是OC上一点， ∴∠DOP =∠EOP. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠ODP =∠OEP=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ ∠DOP =∠EOP，∠ODP =∠OEP，OP=OP， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO (AAS). ∴PD=PE. 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等. A O B C P D E 几何语言 ∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB. ∴PD=PE. 应用所具备的条件： 1.角的平分线； 2.点在该平分线上； 3.垂直距离. 证明线段相等又多了一种方法. 即学即练 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线 BD平分∠ABC，则△BCD的面积为______. 7.5 这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条件 结论 性质定理 逆命题 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 逆命题：如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上. 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，垂足分别为点D和点E，QD=QE. 求证：点Q在∠AOB的平分线上. A O B Q D E 分析：作射线OQ，然后证明∠AOQ和∠BOQ所在的Rt△QDO和Rt△QEO全等. A O B Q D E 证明：如图，过点O、Q作射线OQ. ∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴∠QDO=∠QEO=90°. 在Rt△QDO和Rt△QEO中， ∵OQ=OQ，QD=QE， ∴Rt△QDO≌Rt△QEO(HL). ∴∠DOQ=∠EOQ(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上. 角平分线的判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. A O B Q D E 几何语言 ∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上. 作用：判断点在角平分线上. 角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？ A B C F D E O 发现：三角形的三条角平分线交于一点． 怎样证明这个结论呢？ 只需证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了. A B C F D E O I G H AO是∠BAC的平分线 BO是∠ABC的平分线 OI＝OH OG＝OI OG＝OH 点O在∠BCA的平分线上 试试看，现在你会证明了吗？ A B C F D E O I G H 证明：过点O作OI⊥AB，OH⊥AC， OG⊥BC，垂足分别为点I、H、G. ∵BE是△ABC的角平分线，点O在BE上， ∴OG=OI. 同理OG=OH. ∴OI=OH. ∴点O在∠BAC的平分线上. 返回 1. 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是点C，D，则下列结论不一定正确的是(　　) A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．∠CPD＝∠DOC D 中考考法 17 2．如图，CD是等腰三角形ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，AC＝6，DE＝2，则△BCE的面积是(　　) A．4 B．6 C．8 D．12 B 返回 中考考法 18 3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积是10，CD∶BD＝2∶3，DE＝2，则AC的长是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 中考考法 19 返回 中考考法 4．如图，点O是∠BAC和∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于点D，OD＝3，△ABC的周长是36，则△ABC的面积为________． 54 返回 中考考法 21 返回 5．如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(　　) A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 D 中考考法 22 6．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H. (1)若点P到直线BA的距离是5 cm，求点P到直线BC的距离； 【解】如图，过点P作PF⊥BE于点F. 由题意可知PH＝5 cm. ∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PF⊥BE，∴PF＝PH＝5 cm， 即点P到直线BC的距离为5 cm. 中考考法 23 返回 6．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H. (2)求证：AP平分∠HAC. 【证明】∵CP平分∠ACE，PD⊥AC，PF⊥BE， ∴PF＝PD.由(1)知PH＝PF，∴PD＝PH. ∵PH⊥BA，PD⊥AC， ∴AP平分∠HAC. 中考考法 24 7. 如图，∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，过点P作PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E，G，F，若AB＝8，AC＝6，BC＝7，则AE＝(　　) A．4 B．3.5 C．3 D．5 B 中考考法 25 返回 中考考法 课堂小结 角平分线的性质及判定 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 【点拨】如图，过点D作DF⊥AC于F. ∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE＝2.∵△ABC的面积是10，CDBD＝23， ∴S△ADC＝S△ABC＝×10＝4，∴S△ADC＝AC·DF＝AC×2＝4，解得AC＝4. 【点拨】如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连结BO. ∵点O是∠BAC和∠ACB的平分线的交点，∴OE＝OF＝OD，∴S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△AOC＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝(AB＋BC＋AC)·OD＝×36×3＝54. 【点拨】∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，且PE⊥AB，PG⊥AC，PF⊥BC，∴PE＝PF，PF＝PG.∴PE＝PG.在Rt△BEP和Rt△BFP中，∴Rt△BEP≌Rt△BFP(HL)，∴BE＝BF， 同理得CF＝CG，AE＝AG.设AE＝x(x＞0)，则AE＝AG＝x，∵AB＝8，AC＝6，∴BF＝BE＝8－x，CF＝CG＝6－x. ∵BC＝BF＋CF＝7，∴8－x＋6－x＝7，解得x＝3.5，∴AE＝3.5. $