12.2.5 斜边直角边（课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“斜边直角边（HL）”判定定理，承接SSS、SAS等通用全等判定，通过作图实践、叠合验证引导学生探究直角三角形专属全等条件，构建完整知识体系。 其亮点在于以动手操作培养几何直观，通过分层练习强化推理意识，结合中考真题提升应用能力。易错总结助力规范书写，教师可高效教学，学生能夯实基础并发展数学思维与创新意识。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月31日 12.2.5 斜边直角边 第12章 全等三角形 第12章 全等三角形 12.2.5 斜边直角边（HL）同步练习题（含答案解析） 本次练习题围绕12.2.5斜边直角边（HL）判定定理编写，是专门适用于直角三角形的特殊全等判定方法，承接SSS、SAS、ASA、AAS通用判定定理。重点考查HL定理的专属适用条件、斜边与直角边的对应识别、利用HL证明直角三角形全等、区分HL与普通三角形判定定理、结合公共边推导全等、规避“普通三角形用HL判定”等易错点。题型搭配选择、填空、解答证明题，难度循序渐进，贴合八年级几何推理节奏，帮助学生掌握直角三角形专属全等判定方法，完善全等判定知识体系，规范几何证明书写步骤。 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 斜边直角边定理（HL）适用的三角形是（） A. 任意三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 2. HL定理判定直角三角形全等的条件是（） A. 两条直角边对应相等 B. 一斜边、一直角边对应相等 C. 两锐角对应相等 D. 斜边对应相等 3. 下列关于HL定理的说法正确的是（） A. HL可以判定任意三角形全等 B. HL是直角三角形专属全等判定定理 C. 直角三角形只能用HL判定全等 D. 一锐角一边相等即可用HL判定 4. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，已知AB=DE，补充下列哪个条件可用HL判定全等（） A. ∠A=∠D B. AC=DF C. ∠B=∠E D. BC=EF 5. 不能判定两个直角三角形全等的是（） A. 一斜边和一直角边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 三个角对应相等 D. 一锐角和一条直角边对应相等 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 斜边直角边定理简记为________，仅适用于________三角形。 2. HL定理的判定条件：两个直角三角形的________和一条________对应相等，则两三角形全等。 3. 直角三角形全等，除HL外，还可使用________、________、________、AAS通用判定定理。 4. 在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB为公共斜边，补充条件________，可利用HL证明全等。 5. 判定直角三角形全等时，优先观察是否满足HL条件，可________（填“简化”或“复杂”）证明步骤。 三、解答题（共20分） 1. 判断正误（对的打√，错的打×）（8分） （1）HL定理只能用于直角三角形全等判定。（） （2）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（） （3）两个直角三角形仅有斜边相等，即可用HL判定全等。（） （4）锐角三角形和钝角三角形不能使用HL判定全等。（） 2. 补全证明过程（6分） 已知：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=DC，求证：Rt△ABC≌Rt△DCB。 3. 完整规范证明（6分） 已知：AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ABD。 四、参考答案与解析 一、选择题 1. B 解析：HL（斜边直角边）是直角三角形专属的全等判定定理，不适用于其他三角形。 2. B 解析：HL定理核心条件：斜边与任意一条直角边对应相等，即可判定直角三角形全等。 3. B 解析：HL仅限直角三角形使用，直角三角形既可以用HL，也可以用普通三角形四种判定定理。 4. B 解析：AB、DE为斜边，补充一组直角边AC=DF，满足斜边+直角边，符合HL判定条件。 5. C 解析：三角对应相等只能证明三角形相似，无法确定边长大小，不能判定全等。 二、填空题 1. HL；直角 2. 斜边；直角边 3. SSS；SAS；ASA 4. $$AC=AD$$（或$$BC=BD$$） 5. 简化 三、解答题 1. 解：（1）√ （2）√ （3）× （4）√ 2. 证明：∵ △ABC和△DCB均为直角三角形，∠A=∠D=90°， 在Rt△ABC和Rt△DCB中，$$\begin{cases} BC=CB（公共斜边）\\ AB=DC（已知） \end{cases}$$，∴ Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）。 3. 证明：∵ $$AC\perp BC，AD\perp BD$$，∴ $$\angle C=\angle D=90^\circ$$，即△ABC、△ABD为直角三角形。 在Rt△ABC和Rt△ABD中，$$\begin{cases} AB=AB（公共斜边）\\ AC=AD（已知） \end{cases}$$，∴ Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）。 核心易错总结：1. HL专属直角三角形，绝对不能用于锐角、钝角三角形；2. HL条件缺一不可：必须同时满足斜边+一条直角边对应相等；3. 直角三角形全等判定优先选HL，步骤更简洁，无需多用普通定理；4. 区分HL与SAS：两边相等若为两直角边用SAS，若为斜边+直角边用HL；5. 仅有角相等、仅有斜边相等，均无法判定直角三角形全等。 已知斜边、直角边会画直角三角形，经历画直角三角形探究得到“HL”定理，体会“HL”的合理性.（重点） 掌握“HL”定理，能正确应用“HL”定理证明两个三角形全等.（难点） 能正确应用所学的全等三角形的判定定理解决问题．（难点） 1. 全等三角形的对应边 　 ，对应角 　 ． 相等 相等 2. 判定三角形全等的方法有： SAS ，ASA ， AAS ，SSS . 再忆直角三角形 Rt△ABC 直角边 斜边 A B C 直角边 3 2.说一说直角三角形的三条边的名称. 90° 直角边 直角边 斜边 探究新知 猜想：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？ 如图，已知线段a、b（b>a），试作Rt△ABC，使∠B=90°，BC=a，AC=b. 作法：（1）作线段BC，使BC=a； （2）作∠CBM=90°； C B M （3）以点C为圆心、线段b的长为半径作圆弧，交射线BM于点A； A （4）连结AC. △ABC 即为所要求作的三角形. A′ B′ C′ 比一比：把你作的直角三角形与其他同学作的直角三角形进行比较，或剪下你作的直角三角形，放到其他同学作的直角三角形上，你有什么发现? A B C 叠合 Rt△ABC与Rt△A′B′C′重合，说明这两个直角三角形全等. 换两条线段，试试看，是否有同样的结论？ 于是可得： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. A′ B′ C′ A B C 简写成“斜边直角边”或“HL”. 几何语言 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∵AC=A′C′ BC=B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 这是一个定理，以后会给出它的证明. 例8 如图，AC=BD，∠C=∠D=90°. 求证：BC=AD. 证明：∵∠C = ∠D = 90°(已知)， ∴△ABC和△BAD都是直角三角形(直角三角形的定义). 在Rt△ABC与 Rt△BAD中， ∵AB=BA(公共边)，AC=BD(已知)， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴BC=AD(全等三角形的对应边相等). 即学即练 已知：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，且AC=BD. 求证：AB=CD. 证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC(已知). ∴△ABC和△DCB都是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△DCB中， ∵AC=DB (已知)，BC=CB(公共边)， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL). ∴AB=CD(全等三角形的对应边相等). A B C D 返回 1. 如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是(　　) A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ C 中考考法 11 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝(　　) A．28° B．59° C．60° D．62° B 返回 中考考法 12 返回 3. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝2 m，DE＝3 m，AD＝1 m，则BF的长为______m. 6 中考考法 13 4. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，连结对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连结DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF.求证： (1)∠DAC＝∠FAB； 返回 中考考法 14 (2)DF＝CE＋EF. 中考考法 15 返回 5．Rt△ABC和Rt△DEF如图所示，∠C＝∠F＝90°. (1)若∠A＝∠D，BC＝EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”； (2)若∠A＝∠D，AC＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”； (3)若AC＝DF，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”； (4)若AC＝DF，CB＝FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”． AAS ASA HL SAS 中考考法 16 6．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD＋∠BDC＝________°. 90 返回 中考考法 17 7．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD交于点O，OB＝OC，连结OA，则图中全等的直角三角形共有(　　) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 B 中考考法 18 中考考法 返回 中考考法 8. 如图，C，D两点分别在射线OA，OB上，点P在∠AOB的内部，且CP＝DP，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M，N，且CM＝DN，若DN＝3，CO＝7，则DO的长为(　　) A．10 B．13 C．15 D．17 B 中考考法 21 返回 中考考法 课堂小结 斜边直角边（HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（简写成“HL”） 只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等）. 内容 前提 在直角三角形中 用法 【点拨】在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，∴Rt△CAE≌Rt△DAE(HL)，∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB. ∵∠B＋∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°－28°＝62°，∴∠AEC＝90°－∠CAB＝90°－31°＝59°. 【证明】∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°. 在Rt△AFD和Rt△ABC中， ∴Rt△AFD≌Rt△ABC.∴∠DAF＝∠CAB， ∴∠DAF＋∠CAF＝∠CAB＋∠CAF，即∠DAC＝∠FAB. 【证明】如图，连结AE，易知∠AFE＝90°. 在Rt△AEF和Rt△AEB中， ∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)，∴EF＝BE. ∵Rt△AFD≌Rt△ABC，∴DF＝BC. ∵BC＝CE＋BE＝CE＋EF，∴DF＝CE＋EF. 【点拨】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO＝∠ADO＝∠AEO＝∠CEO＝90°.在△DOB和△EOC中，∴△DOB≌△EOC(AAS)，∴OD＝OE，BD＝CE.在Rt△ADO和Rt△AEO中， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，∴AD＝AE， ∴AB＝AC.在Rt△ADC和Rt△AEB中，∴Rt△ADC≌Rt△AEB(HL)．∴共有3对全等的直角三角形． 【点拨】∵PM⊥OA，PN⊥OB，∴△CPM，△DPN，△OPM，△OPN是直角三角形．在Rt△CPM和Rt△DPN中，∴Rt△CPM≌Rt△DPN(HL)， ∴PM＝PN.在Rt△OPM和Rt△OPN中，∴Rt△OPM≌Rt△OPN(HL)，∴OM＝ON，∴DO＝ON＋DN＝OM＋DN＝CO＋DN＋DN＝CO＋2DN.∵DN＝3，CO＝7，∴DO＝13. $