12.2.5 斜边直角边（培优课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦八年级上册“斜边直角边（HL）”判定定理，通过复习旧知（SAS、ASA等普通三角形全等判定）和“舞台背景直角三角形被遮挡”的实际问题导入，结合画图验证活动，搭建从普通三角形到直角三角形全等判定的学习支架。 其亮点在于题型梯度完整（填空、选择、解答题），注重易错点辨析（如普通三角形不能用HL），通过实例培养数学眼光，规范证明过程（如例1及变式）发展数学思维和推理能力，课堂小结明确HL前提与方法。帮助学生夯实基础、提升推理能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 12.2.5 斜边直角边 第12章 全等三角形 12.2.5 斜边直角边（HL） 同步练习题（含解析） 本节习题适配华东师大版八年级上册12.2.5知识点，紧扣斜边直角边（HL）判定定理，是直角三角形专属的全等判定方法。重点掌握HL的适用条件、区分普通三角形与直角三角形判定差异，明确HL无需夹角、无需角条件的特殊性，规避“普通三角形用HL判定”“边角不对应”等高频易错点。题型梯度完整，覆盖概念填空、正误辨析、条件补充、规范证明，完善全等判定知识体系。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. ________三角形专属的全等判定方法是斜边直角边定理，简写成________。 2. HL定理：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等。 3. HL判定只能用于________三角形，不能用于普通锐角、钝角三角形。 4. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若AB=DE，________，可依据HL判定全等。 5. 直角三角形全等判定中，HL________用到角相等的条件（填“需要”或“不需要”）。 6. 判定两个直角三角形全等，除HL外，还可使用________、________、ASA、AAS。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列判定方法只适用于直角三角形的是（） A. SSS B. SAS C. HL D. ASA 2. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠A=∠D=90°，斜边BC=EF，AC=DF，则判定为（） A. HL B. SAS C. ASA D. 无法判定 3. 下列说法正确的是（） A. 任意三角形都能用HL判定全等 B. HL需要两组直角边对应相等 C. HL只需斜边、一条直角边对应相等 D. HL判定必须有角相等条件 4. 不能判定两个直角三角形全等的是（） A. 斜边和一条直角边相等 B. 两条直角边对应相等 C. 三个角对应相等 D. 一个锐角和斜边对应相等 5. 已知两个直角三角形斜边相等，要用HL判定全等，需补充条件（） A. 一个锐角相等 B. 一条直角边对应相等 C. 直角相等 D. 任意一边相等 三、解答题（共50分） 1. 基础判定辨析（每题6分，共24分）：判断能否用HL判定全等，说明理由。 （1）两个直角三角形，斜边和一条直角边对应相等 （2）两个锐角三角形，两条边对应相等 （3）两个直角三角形，只有斜边相等 （4）两个直角三角形，斜边、一条直角边对应相等 2. 条件补充证明（12分）：已知∠C=∠D=90°，AB=AE，补充条件利用HL证明Rt△ABC≌Rt△AED。 3. 规范证明题（14分）：已知：AC⊥BC，AD⊥BD，AC=BD。求证：Rt△ABC≌Rt△BAD。 四、参考答案与解析 填空题答案：1. 直角、HL 2. 斜边、直角边 3. 直角 4. $$AC=DF$$（或$$BC=EF$$） 5. 不需要 6. SSS、SAS 选择题答案：1.C 2.A 3.C 4.C 5.B 解答题解析：1.（1）能，符合HL直角三角形全等判定定理；（2）不能，HL仅适用于直角三角形；（3）不能，缺少对应直角边相等条件；（4）能，满足HL完整判定条件。 2. 补充条件：$$BC=ED$$。证明：∵$$\angle C=\angle D=90^\circ$$，∴△ABC、△AED为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△AED中，$$\begin{cases}AB=AE(\text{已知})\\BC=ED(\text{补充条件})\end{cases}$$，∴Rt△ABC≌Rt△AED(HL)。 3. 证明：∵$$AC\perp BC，AD\perp BD$$，∴$$\angle C=\angle D=90^\circ$$。在Rt△ABC和Rt△BAD中，$$\begin{cases}AB=BA(\text{公共斜边})\\AC=BD(\text{已知})\end{cases}$$，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)。 核心考点总结：HL是直角三角形专属判定，无需角度；判定条件：一斜边、一直角边对应相等即可；绝对易错点：普通三角形不能使用HL；解题常挖掘公共斜边、公共直角边作为隐含条件，是直角三角形全等证明的高频考点。 学习目标 1.已知斜边、直角边会画直角三角形 2.经历画直角三角形探究得到“HL”定理，体会“HL”的合理性. 3.掌握“HL”定理，能正确应用“HL”定理证明两个三角形全等 学习目标 复习回顾 1.请将判定定理填到相应的图形下. 40° 92° 40° 92° 48° 43° 48° 43° 45° 45° SAS ASA AAS SSS 2.说一说直角三角形的三条边的名称. 90° 直角边 直角边 斜边 舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住，无法测量． (1) 你能帮他想个办法吗？ 根据“SAS”可测量其余两边与这两边的夹角. 根据“ASA”，“AAS”可测量对应一边和一锐角. 利用“HL”判定直角三角形全等 1 5 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是，他就肯定 “两个直角三角形是全等的”. 你相信这个结论吗？ (2) 如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗?　 下面，让我们来验证这个结论. 斜边和一条直角边对应相等 → 两个直角三角形全等 如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边. 2 cm 3 cm 步骤： 1. 画一条线段 AB，使它等于 2 cm； 2. 画∠MAB = 90°(用量角器或三角尺)； 3. 以点 B 为圆心、3 cm 长为半径画圆弧，交射线 AM 于 C； △ABC 即为所求. 4. 连结 BC. M A B C 把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？ 画一画 “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL ”). 几何语言： A B C A′ B′ C′ 在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL ). ∵AB = A′B′， BC = B′C′， “SSA ”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 知识要点 例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD， 求证：BC = AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角. ∵AB = BA， AC = BD . 在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC = AD. A B D C 应用“HL ”的前提条件是在直角三角形中 这是应用“HL”判定方法的书写格式 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路 典例精析 练一练 变式1 如图，∠ACB ＝ ∠ADB ＝ 90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) A B D C AD ＝ BC ∠DAB ＝∠CBA BD ＝ AC ∠DBA ＝∠CAB HL HL AAS AAS 如图，AC、BD 交于点 P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AD = BC. 求证：BD = AC. 变式2 HL BD ＝ AC Rt△ABD ≌ Rt△BAC 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系. 变式3 HL ∠ADB ＝ ∠CBD Rt△ABD ≌ Rt△CDB AD∥BC 证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高， ∴∠D＝∠F＝90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC＝AE， AD＝AF， ∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD＝EF. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， 例2 如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC ＝ BE. AB＝AB， AD＝AF， ∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴ BD＝BF. ∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE. 证明: ∵ DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ ∠BED=∠CFD=90°(垂直的定义)， ∴△BED与△CFD都是直角三角形(直角三角形的定义)． ∵D为BC的中点，∴BD=CD． 在Rt△BED与Rt△CFD中， ∵BD=CD(已证)，DE=DF(已知)， ∴Rt△BED≌Rt△CFD (HL)． 练 习 1.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，DE=DF. 求证：Rt△BED≌Rt△CFD. 随堂练习 2.如图，AC=AD，∠C=∠D=90°. 求证：BC=BD. 证明：∵∠C=∠D=90°(已知)， ∴△ACB和△ADB都是直角三角形 (直角三角形的定义). 在Rt△ACB和Rt△ADB中， ∵AB=AB(公共边)，AC=AD(已知)， ∴Rt△ACB≌ Rt△ADB (HL)． ∴BC=BD(全等三角形的对应边相等)． 随堂练习 3.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的跨度DF相等，这两个滑梯的倾斜角∠CBA与∠EFD的大小有什么关系？说说你的想法和理由. 解：∠CBA+∠EFD=90°.理由： 在Rt△BAC和Rt△EDF中，∵BC=EF(已知)，AC=DF(已知)， ∴Rt△BAC≌ Rt△EDF (HL)． ∴∠CBA=∠FED(全等三角形的对应角相等)． ∵∠FED+∠EFD=90°(直角三角形的两个锐角互余)， ∴∠CBA+∠EFD=90°(等量代换). 随堂练习 返回 1. 如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是(　　) A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ C 考试考法 17 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝(　　) A．28° B．59° C．60° D．62° B 返回 考试考法 18 返回 3. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，若DF＝2 m，DE＝3 m，AD＝1 m，则BF的长为______m. 6 考试考法 19 4. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，连结对角线AC，且AC＝AD，点E在边BC上，连结DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，若AB＝AF.求证： (1)∠DAC＝∠FAB； 返回 考试考法 20 (2)DF＝CE＋EF. 考试考法 21 返回 5．Rt△ABC和Rt△DEF如图所示，∠C＝∠F＝90°. (1)若∠A＝∠D，BC＝EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”； (2)若∠A＝∠D，AC＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”； (3)若AC＝DF，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”； (4)若AC＝DF，CB＝FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是“________”． AAS ASA HL SAS 考试考法 22 6．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD＋∠BDC＝________°. 90 返回 考试考法 23 7．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD交于点O，OB＝OC，连结OA，则图中全等的直角三角形共有(　　) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 B 考试考法 24 考试考法 返回 考试考法 “斜边直角边” 内容 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一组对应边相等） 课堂小结 【点拨】在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，∴Rt△CAE≌Rt△DAE(HL)，∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB. ∵∠B＋∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°－28°＝62°，∴∠AEC＝90°－∠CAB＝90°－31°＝59°. 【证明】∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°. 在Rt△AFD和Rt△ABC中， ∴Rt△AFD≌Rt△ABC.∴∠DAF＝∠CAB， ∴∠DAF＋∠CAF＝∠CAB＋∠CAF，即∠DAC＝∠FAB. 【证明】如图，连结AE，易知∠AFE＝90°. 在Rt△AEF和Rt△AEB中， ∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)，∴EF＝BE. ∵Rt△AFD≌Rt△ABC，∴DF＝BC. ∵BC＝CE＋BE＝CE＋EF，∴DF＝CE＋EF. 【点拨】∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO＝∠ADO＝∠AEO＝∠CEO＝90°.在△DOB和△EOC中，∴△DOB≌△EOC(AAS)，∴OD＝OE，BD＝CE.在Rt△ADO和Rt△AEO中， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，∴AD＝AE， ∴AB＝AC.在Rt△ADC和Rt△AEB中，∴Rt△ADC≌Rt△AEB(HL)．∴共有3对全等的直角三角形． $